大数定律和中心极限定理.ppt

电子课件,史 册 主讲,概率论与数理统计,大数定律 中心极限定理,第五章 大数定律和中心极限定理,教学基本要求,熟悉：用中心极限定理近似计算有关随机事件的概率。 了解：切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律），棣莫弗拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）。 重点: 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）。 难点：大数定律和中心极限定理,第五章 大数定律与中心极限定理,本章要解决的问题,为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？,为何能以样本均值作为总体 期望的估计？,为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？,大样本统计推断的理论基础 是什么？,ANSWER,大数 定律,中心极 限定理,大数定律和中心极限定理是概率论的重要基本理 论，它们揭示了随机现象的重要统计规律，在概率 论与数理统计的理论研究和实际应用中都具有重要 的意义。 迄今为止,人们已发现很多大数定律(laws of large numbers) 所谓大数定律，简单地说，就是大量数目的随机变量所呈现 出的规律，主要描述一系列随机变量的和的平均结果的稳定性 中心极限定理是用来描述满足一定条件的一系列随机变量的和的概率分布的极限的定理。 下面首先来介绍大数定律,一、大数定律的客观背景,大量随机试验中,大量抛掷硬币 正面出现频率,生产过程 中的废品率,文章中字 母使用频率,The law of large numbers,第一节 大数定理,一、依概率收敛,第一章曾将频率的稳定值表述为：设随机事件A的概率为p，在n次重复 试验中事件A发生的频率为 ，则随着试验次数n的增加，频率 将逐渐稳定于概率p。这里的逐渐稳定仅是一种直观描述，可以理解为某种意义下的收敛，但是不同于微积分上的收敛。,但是取,即不论N多大，在N以后总有可能存在n，使得 对于这样的n,定理 (Chebysherv大数定理),二、大数定律,大数定律是研究随机变量平均值稳定性的一系列定理的总称。大数定律 的基本定理可以表述为：在一定条件下，随机变量的算术平均值依概率 收敛于其数学期望,定理 (Bernoulli大数定理),Bernoulli,Bernoulli大数定理应用,寻找随机事件概率提供了一条实际可行的途径,切比雪夫大数定理应用,寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径,The law of large numbers,一、中心极限定律的客观背景,在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综 合（或和)影响所形 成。例如：炮弹射 击的落点与目标的 偏差，就受着许多 随机因素（如瞄准， 空气阻力，炮弹或 炮身结构等）综合影响的。每个随机因素的对弹着点（随机 变量和）所起的作用都是很小的。那么弹着点服从怎样分布 呢 ？,第二节 中心极限定理,自从高斯发现测量误差服从正态分布之后，人们通过大量的观察和研究发现，正态分布在自然界中极为常见。在概率论中，习惯于把随机变量和的分布收敛于正态分布这一类定理叫作中心极限定理。,由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量.,在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.,定理1（独立同分布的中心极限定理）,注,3、在一般情况下，我们很难求出 的分布函数。但当n很大时，可用正态分布来近似求解。,例：某种零件每箱100个，每个零件的重量独立同分布，其数学期望为100克，标准差为10克，求一箱零件的重量超过10.2千克的概率。,例：将1200个数据按四舍五取为整数后相加，设各数据的舍入误差相互独立，均服从区间(-0.5,0.5)上的均匀分布，求舍入误差之和的绝对值小于10的概率。,定理(De Moivre-Laplace中心极限定理),中心极限定理的应用,Lindeberg-Levy中心极限定理应用,De Moivre-Laplace中心极限定理应用,独立地掷10颗骰子，求掷出的点数之和在30到40点之间的概率。,在一家保险公司有一万人参加保险，每年每人付12元保险费。在一年内这些人死亡的概率都为0.006，死亡后家属可向保险公司领取1000元，试求： （1）保险公司一年的利润不少于6万元的概率； （2）保险公司亏本的概率。,公司一年的利润为：,(1)保险公司一年的利润不少于6万元的概率为,(2)保险公司亏本的概率为,独立地测量一个物理量，每次测量产生的误差都服从区间（1，1）上的均匀分布,近似服从标准正态分布,于是所求概率为,例 甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此