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课后限时集训(六十三)坐标系(建议用时:60分钟)A组基础达标1在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C:x2y236变为何种曲线,并求曲线的焦点坐标解设圆x2y236上任一点为P(x,y),伸缩变换后对应的点的坐标为P(x,y),则4x29y236,1.曲线C在伸缩变换后得椭圆1,其焦点坐标为(,0)2在极坐标系中,求直线cos1与圆4sin 的交点的极坐标解cos1化为直角坐标方程为xy2,即yx2.4sin 可化为x2y24y,把yx2代入x2y24y,得4x28x120,即(x)20,所以x,y1.所以直线与圆的交点坐标为(,1),化为极坐标为.3在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线sin与极轴的交点,求圆C的极坐标方程解在sin中,令0,得1,所以圆C的圆心坐标为(1,0)因为圆C经过点P,所以圆C的半径|PC|1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为2cos .4在直角坐标系xOy中,直线l:yx,圆C:(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线l与圆C的极坐标方程;(2)设直线l与圆C的交点为M,N,求CMN的面积解(1)将C的参数方程化为普通方程,得(x1)2(y2)21,xcos ,ysin ,直线l的极坐标方程为(R),圆C的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40,得2340,解得12,2,|MN|12|,圆C的半径为1,CMN的面积为1sin .5在极坐标系中,已知直线l的极坐标方程为sin1,圆C的圆心的极坐标是C,圆的半径为1.(1)求圆C的极坐标方程;(2)求直线l被圆C所截得的弦长解(1)设O为极点,OD为圆C的直径,A(,)为圆C上的一个动点,则AOD或AOD,|OA|OD|cos或|OA|OD|cos.所以圆C的极坐标方程为2cos.(2)由sin1,得(sin cos )1,直线l的直角坐标方程为xy0,又圆心C的直角坐标为满足直线l的方程,直线l过圆C的圆心,故直线被圆所截得的弦长为2.6极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴已知曲线C的极坐标方程为4cos ,直线l的参数方程为(t为参数,0),射线,与曲线C交于极点O外的三点A,B,C.(1)求证:|OB|OC|OA|;(2)当时,B,C两点在直线l上,求m与的值解(1)证明:依题意,得|OA|4cos ,|OB|4cos,|OC|4cos,则|OB|OC|4cos4cos4cos |OA|.(2)当时,B,C两点的极坐标分别为,化为直角坐标分别为B(1,),C(3,)直线l是过点(m,0),倾斜角为的直线,又经点B,C的直线方程为y(x2),所以m2,.B组能力提升1已知曲线C1:xy和C2:(为参数)以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程;(2)设C1与x,y轴交于M,N两点,且线段MN的中点为P.若射线OP与C1,C2交于P,Q两点,求P,Q两点间的距离解(1)曲线C1化为cos sin .sin.曲线C2化为1,(*)将xcos ,ysin 代入(*)式得cos2sin21,即2(cos23sin2)6.曲线C2的极坐标方程为2.(2)M(,0),N(0,1),P.OP的极坐标方程为,把代入sin,得11,P.把代入2,得22,Q.|PQ|21|1,即P,Q两点间的距离为1.2在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线与曲线C2交于点D.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知极坐标系中两点A(1,0),B,若A,B都在曲线C1上,求的值解(1)C1的参数方程为C1的普通方程为y21.由题意知曲线C2的极坐标方程为2acos (
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