高考数学总复习第七章不等式、推理与证明第41讲基本（均值）不等式练习理新人教版.docx

第41讲基本(均值)不等式夯实基础【p88】【学习目标】1了解基本(均值)不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题【基础检测】1函数y(x0)取最大值时x的值为()A.B.C.D2【解析】因为y，当且仅当2x，即x时，等号成立【答案】A2已知a0，b0，ab，则的最小值为()A4 B2C8 D16【解析】由ab，有ab1，则22.【答案】B3设0x1，a0，b0，a，b为常数，则的最小值是()A4ab B2(a2b2)C(ab)2D(ab)2【解析】x(1x)a2b2，又2ab，当且仅当x时等号成立，所以的最小值为(ab)2.【答案】C4某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_【解析】由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为64x48240，当且仅当x30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.【答案】30【知识要点】1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0(2)等号成立的条件：当且仅当ab2几个重要的不等式(1)a2b2_2ab_(a，bR)；(2)_2_(a，b同号)；(3)ab(a，bR)；(4)(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)典例剖析【p88】考点1利用基本(均值)不等式求最值(1)已知xy1，且0y，则的最小值为()A4 B.C2D4【解析】xy1且0y，所以x2y0.x2y4，当且仅当x1，y时等号成立【答案】A(2)已知a0，b0，且a21，则a的最大值为_【解析】因为a0，所以a.又a2，所以a，当且仅当a2，即a，b时等号成立，即(a)max.【答案】考点2基本(均值)不等式与函数的综合问题已知a2a2，且aN*，求函数f(x)x的值域【解析】由不等式a2a2解得1a0时，f(x)x22，当且仅当x，即x时不等式取“”当x0时，因为x0，所以f(x)x22，当且仅当x，即x时不等式取“”综上，函数f(x)的值域为(，22，)设f(x)|lg(x1)|，若0ab且f(a)f(b)，则ab的取值范围是_【解析】先画出函数f(x)|lg(x1)|的图象，如图，0ab，且f(a)f(b)，1a2，lg(a1)lg(b1)，b1，a1，abb1b1224，因为b1，ab4，ab的取值范围是(4，)【答案】(4，)【点评】可利用基本不等式求形如y的值域，但在求解的过程中要注意运用基本不等式时，等号是否成立，若等号不成立，则可以利用函数的单调性求解考点3基本(均值)不等式的实际应用某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(150.1x)万套现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润售价供货价格问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？【解析】(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为150.11005(万套)，所以每套丛书的供货价格为3032(元)，故书商所获得的总利润为5(10032)340(万元)(2)每套丛书售价定为x元时，由得0x150.设单套丛书的利润为P元，则Pxx30，因为0x150，所以150x0，所以P120，又(150x)221020，当且仅当150x，即x140时等号成立，所以Pmax20120100.故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元【点评】(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解方法总结【p89】1a2b22ab成立的条件是a，bR，而成立，则要求a0，b0.2利用基本不等式求最值，要注意使用条件：一正(各数为正)，二定(和或积为定值)，三相等(等号在允许取值范围内能取到)，要熟悉均值不等式的各种变形.3连续使用以上公式中的任一个或两个，取等号的条件要在同一条件下取得，方可取到最值走进高考【p89】1(2018天津)已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为_【解析】a3b60，2a2a23b222，当且仅当2a23b时，即a3b3时取等号【答案】考点集训【p222】A组题1已知x0，y0，且xy2xy，则x4y的最小值为()A4 B.C.D5【解析】由xy2xy得2，由x0，y0，x4y(x4y)(54)，当且仅当时，等号成立，即x4y的最小值为.【答案】C2设xy1，x，y(0，)，则x2y2xy的最小值为()A.B.CD【解析】因为x0，y0，xy1，故xy，当且仅当xy等号成立又x2y2xy(xy)2xy1xy，故x2y2xy的最小值为.【答案】B3函数ylog2xlogx(2x)的值域是()A(，1 B3，)C1，3 D(，13，)【解析】因为ylog2xlogx(2x)log2xlogx21log2x1，令tlog2x，因为x0且x1，所以t0，所以t2或t2，所以yt1(，13，)【答案】D4已知1对于任意的x恒成立，则()Aa的最小值为3 Ba的最小值为4Ca的最大值为2 Da的最大值为4【解析】因为x，所以x10，x0. 不等式1可化为a22a2x，即a22a2x11，因为x11215，当且仅当即x3时，上式取“”号所以a22a25，解得3a1.即a的最小值为3，最大值为1.【答案】A5一艘轮船在航行中的燃油费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃油费是每小时6元其他与速度无关的费用是每小时96元，则使行驶每公里的费用总和最小时，该轮船的航行速度为_公里/小时【解析】设速度为v公里/小时，则公里费用y，又k1036，k，yv2，yv2v23，当且仅当v2，即v20时取等号【答案】206规定记号“”表示一种运算，即abab(a，b为正实数)若1k3，则k的值为_，此时函数f(x)的最小值为_【解析】1k1k3，即k20，1或2(舍)，k1.f(x)1123，当且仅当，即x1时等号成立f(x)的最小值为3.【答案】1；37已知正实数a，b满足ab4，则的最小值为_【解析】ab4，a1b38，(a1b3)(22)，当且仅当a1b3，即a3，b1时取等号，的最小值为.【答案】8已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值【解析】(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，当且仅当时，等号成立由解得的最小值为.B组题1一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c(0，1)，已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为()A.B.C.D.【解析】由已知得，3a2b0c2，即3a2b2，其中0a，0bbc0，则2a210ac25c2的最小值是()A2 B4 C2D5【解析】2a210ac25c2(a5c)2a2abab(a5c)2aba(ab)0224，当且仅当a5c0，ab1，a(ab)1时，等号成立，即a，b，c时满足条件【答案】B3设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值