高考数学总复习第十二章不等式选讲第75讲绝对值不等式练习理新人教版.docx

第75讲绝对值不等式夯实基础【p171】【学习目标】1理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：|ab|a|b|；|ab|ac|cb|.2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.3会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利用基本不等式求一些特定函数的最(极)值【基础检测】1不等式|32x|5的解集是()Ax|x1 Bx|1x4Cx|x1或x4 Dx|x4【解析】因为|32x|5，所以32x5或32x5，即x1或x4.【答案】C2若不等式|x4|x3|a对一切xR恒成立，那么实数a的取值范围是()Aa1 Ba1 Ca1 Da1【解析】根据绝对值不等式，分类讨论去绝对值，得f(x)所以f(x)max1，所以a1.【答案】D3若a，b，cR，且满足|ac|c；bca；acb；|a|b|c|.其中错误的个数为()A1个B2个C3个D4个【解析】、都正确，不正确又|ac|ca|c|a|，|c|a|b，|c|a|c|.正确【答案】A4已知|a|b|，m，n，则m、n之间的关系是()Amn Bma(或0)去绝对值；定义法：利用绝对值定义去绝对值；平方法：利用不等式两边同时平方去绝对值；几何法：利用绝对值的几何意义求解考点2含绝对值不等式的证明(1)已知|a|1，|b|1.(2)求实数的取值范围，使不等式|1对满足|a|1，|b|1的一切实数a，b恒成立【解析】(1)|1ab|2|ab|21a2b2a2b2(a21)(b21)|a|1，|b|1，a210，b210，|1ab|ab|.1.(2)|1|1ab|2|ab|2(a221)(b21)0.b21，a2210对于任意满足|a|1的a恒成立当a0时，a2210成立；当a0，只需2对于任意满足|a|1，21.的取值范围是11.【点评】证明含有绝对值的不等式，其思路主要有两条：一是恰当地运用|a|b|ab|a|b|进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件；二是把含有绝对值的不等式等价转化为不含有绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法等进行证明，其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法考点3绝对值不等式的综合应用已知函数f(x)|x1|.(1)解不等式f(x)f(2x5)x9；(2)若a0，b0，且2，证明：f(xa)f(xb)，并求f(xa)f(xb)时，a，b的值【解析】(1)f(x)f(2x5)|x1|2x4|x9，当x2时，不等式为4x12x3.当2x1时，不等式为59，不成立；当x1时，不等式为2x6x3；综上所述，不等式的解集为(，33，)(2)法一：f(xa)f(xb)|xa1|xb1|xa1(xb1)|ab|，|ab|(ab)(ab)2，当且仅当，即b2a时“”成立；由可得a，b3.法二：f(xa)f(xb)|xa1|xb1|，当x1a时，f(xa)f(xb)xa1xb12x2abab；当1ax1b时，f(xa)f(xb)xa1xb1ab；当x1b时，f(xa)f(xb)xa1xb12x2abab；f(xa)f(xb)的最小值为ab，ab(ab)2，当且仅当，即b2a时“”成立；由可得a，b3.【点评】(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法方法总结【p172】含绝对值不等式的求解策略(1)解含有绝对值的不等式的指导思想是设法去掉绝对值符号常用的方法是：由定义分段讨论(简称零点分区间法)；利用绝对值不等式的性质(题型法)；平方法；数形结合法等(2)解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论注意：要考虑参数的总取值范围；用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏(3)含绝对值不等式的证明，要善于应用分析转化法(4)灵活运用绝对值不等式的两个重要性质定理|ab|a|b|，特别注意等号成立的条件走进高考【p172】1(2018全国卷)已知f(x)|x1|ax1|.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若x(0，1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围【解析】(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)1的解集为.(2)当x(0，1)时|x1|ax1|x成立等价于当x(0，1)时|ax1|0，|ax1|1的解集为0x，所以1，故0a对于一切xR恒成立，求实数a的取值范围【解析】由绝对值的几何意义知：|x4|x5|9，则log3(|x4|x5|)2，所以要使不等式log3(|x4|x5|)a对于一切xR恒成立，则需a0恒成立，即(|x3|x7|)minm，由于x轴上的点到点(3，0)和点(7，0)的距离之和的最小值为4，所以要使不等式恒成立，则m4.5求不等式|x3|2x1|1的解集【解析】当x3时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x10，x3.当3x时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x，3x.当x时，原不等式化为(x3)(2x1)2，x2.综上可知，原不等式的解集为.6已知函数f(x)x1x2.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式fx2xm的解集非空，求m的取值范围【解析】(1)法一：f(x)当x2时，由f(x)1解得x2.综上所述，f(x)1的解集为x|x1【点评】零点分区间，一步一区，终步并区！法二：几何意义法：实数x到1的距离与到2的距离只差等于1的位置即x1的位置，大于等于1，即x1.所以f(x)1的解集为x|x1【点评】几何意义，将数化形，有如神助！法三：构造函数法：f(x)画出f(x)x1x2的图象和g(x)1图象，两图象交点的横坐标为x1，所以不等式的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm得m|x1|x2|x2x，而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|，且当x时，|x1|x2|x2x.故m的取值范围是.【点评】构造函数，用图“画”答案，轻描淡写，闲庭信步！【解后反思】解法1：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；解法2：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解法3：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想B组题1设不等式2|x1|x2|0的解集为M，a，bM.(1)证明：；(2)比较|14ab|与2|ab|的大小，并说明理由【解析】(1)记f(x)|x1|x2|由22x10解得x，即集合M.|a|b|.(2)由(1)得a2，b20，|14ab|2(2|ab|)2，即|14ab|2|ab|.2已知函数f(x)g(x)af(x)|x2|，aR.(1)当a0时，若g(x)|x1|b对任意x(0，)恒成立，求实数b的取值范围；(2)当a1时，求函数yg(x)的最小值【解析】(1)当a0时，g(x)|x2|(x0)，g(x)|x1|bb|x1|x2|，|x1|x2|(x1)(x2)|1，当且仅当1x2时等号成立b1，故实数b的取值范围是1，)(2)当a1时，g(x)当0xg(1)0；当x1时，g(x)0，当且仅当x1时等号成立；故当x1时，函数yg(x)取得最小值0.3已知a和b是任意非零实数(1)求的最小值；(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，求实数x的取值范围【解析】(1)4，的最小值为4.(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，即|2x|2x|恒成立，故|2x|2x|.由(1)可知的最小值为4，x的取值范围即为不等式|2x|2x|4的解集解不等式得2x2，故实数x的取值范围为2，24已知函数f(x)ax2xa的定义域为1，1(1)若f(0)f(1)，解不等式|f(x)1|ax；(2)若|a|1