高考数学第二篇导数在研究函数中的应用（第五课时）利用导数研究函数零点专题应用能力提升.docx

第五课时利用导数研究函数零点专题【选题明细表】知识点、方法题号利用导数研究函数零点个数7,9根据函数零点求参数1,2,3,4函数零点的综合应用5,6,8基础巩固(建议用时:25分钟)1.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在三个零点,则a的取值范围是(D)(A)(-,-2)(B)(-2,2)(C)(2,+)(D)(-2,0)(0,2)解析:很明显a0,由题意可得f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).则由f(x)=0可得x1=0,x2=,由题意得不等式f(x1)f(x2)=-+11,a24,-2a0时,x=ln,当xln,f(x)ln,f(x)0,f(x)单调递增,所以f(x)min=f(ln)=2a-2e-1-aln,由f(x)在(0,1)内有两个零点,所以解得2e-1a0,f(x)为(1,+)上的增函数,又f(1)=20,则f(x)=0无解,所以k3,令f(x)=0得x=ek-3,在x(0,ek-3),f(x)0,f(x)单调递增,因为原方程在(1,+)有唯一实数解,所以f(x)在(1,+)有唯一零点,所以f(ek-3)=-ek-3+k=0,当k=4时,-ek-3+k=-e+40,当k=5时,-ek-3+k=-e2+50,所以4k5.故选B.4.(2018广西二模)若函数f(x)=x3-3x2-a(a0)只有2个零点,则a=.解析:由f(x)=x3-3x2-a,则f(x)=3x2-6x.令3x2-6x=0,可得x=0或x=2,即函数有两个极值点,函数f(x)=x3-3x2-a(a0)只有2个零点,由f(0)=-a=0得a=0,由f(2)=8-12-a=0得a=-4,综上a=0或-4时,f(x)有且只有2个零点.答案:0或-45.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是.解析:令f(x)=3x2-3=0,得x=1,可得极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,如图,观察得-2a0,g(x)在R递增,不合题意,舍去,(ii)a0时,令g(x)=0,解得x=ln ,当x0,g(x)在(-,ln )递增,且x-时,g(x)ln 时,g(x)0,g(x)在(ln ,+)递减,且x+时,g(x)0,所以1,即0a0),令g(x)=xex-a(x0),g(x)=(x+1)ex0,所以g(x)在(0,+)上单调递增,所以g(x)g(0)=-a.所以当a0或a=e时,f(x)=0只有1个零点,当0ae时,f(x)有两个零点.8.(2018辽宁凌源市高考模拟)已知函数f(x)=xex.若直线y=x+2与曲线y=f(x)的交点的横坐标为t,且tm,m+1,求整数m所有可能的值.解:由题可知,原命题等价于方程xex=x+2在xm,m+1上有解.由于ex0,所以x=0不是方程的解,所以原方程等价于ex-1=0,令r(x)=ex-1.因为r(x)=ex+0对于x(-,0)(0,+)恒成立,所以r(x)在(-,0)和(0,+)内单调递增.又r(1)=e-30,r(-3)=-0,所以直线y=x+2与曲线y=f(x)的交点仅有两个,且两交点的横坐标分别在区间1,2和-3,-2内,所以整数m的所有值为-3,1.9.(2018北京市丰台区二模)已知函数f(x)=xcos x-ax+a,x0,(a0).(1)当a1时,求f(x)的单调区间;(2)求证:f(x)有且仅有一个零点.(1)解:根据题意,f(x)=xcos x-ax+a,则f(x)=cos x-xsin x-a.令g(x)=cos x-xsin x-a,x0,则g(x)=-2sin x-xcos x0.所以g(x)在区间0,上单调递减.因为g(0)=1-a0,所以g(x)0,即f(x)0,所以f(x)的单调递减区间是0,没有单调递增区间.(2)证明:由(1)知,g(x)在区间0,上单调递减,且g(0)=1-a,g()=-a.当a1时,f(x)在0,上单调递减.因为f(0)=a0,f()=a(1-)0,所以f(x)有且仅有一个零点.当-a0,即a-时,g(x)0,即f(x)0,f(x)在0,上单调递增.因为f(0)=a0,所以f(x)有且仅有一个零点.当-a0,g()=-a0,所以存在x0(0,),使得g(x0)=0;x,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,x0)x0(x0,)f(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在(0