西南大学电动力学复习提纲及复习习题参考答案资料.doc

2012级电动力学复习提纲数学准备理解散度、旋度、梯度的意义，熟悉矢量的梯度、散度、旋度在直角、球、圆柱坐标系中的运算，以及散度定理（高斯定理）、旋度定理（斯托克斯定理）。章后练习1、2。第1章理解全章内容，会推导本章全部公式。重点推导麦克斯韦方程组，以及用积分形式的麦克斯韦方程组推出边值关系。章后练习1、2、5、9、10、12第2章能推导能量转化与守恒定律，并且能说明各物理量及定律的物理意义。能认识电磁场动量及动量转化和守恒定律，并且能说明各物理量及定律的物理意义。了解电磁场的角动量，理解电磁场有角动量且角动量转化和守恒的意义。P35例题，书后练习2、3第3章理解静电场和静磁场的势函数，为什么可以提出，在求解静电磁场时有什么意义。势的方程和边值关系及推导。深入理解唯一性定理，能应用其解释电磁现象，比如静电屏蔽现象。熟悉电磁能量势函数表达式及意义。会独立完成P48例题1,，P55例1、例2，P57例5,。练习1、3、6、7第4章掌握静像法、简单情形下的分离变量法；掌握电偶极矩的势、场，以及能量、受力等；知道电四极矩的表示，计算。了解磁偶极矩的表示、能量。熟悉超导的基本电磁性质及经典电磁理论的解释。会独立熟练计算P62例题1、P64例2及相关讨论；P69例1、P72例3；P74例1、例2。练习3、4、5、7、10、12第5章1、理解如何由麦克斯韦方程推导自由空间的波动方程，理解其意义。2、能推出电场和磁场的定态方程（亥姆霍兹方程），熟练掌握自由空间平面电磁波表达式，并且能应用其证明平面电磁波性质；3、能推导反射、折射定律、费涅尔公式，并且能应用其讨论布儒斯特定律、半波损失等常见现象；4、理解全反射现象，知道什么情形下发生全反射，折射波表示，透射深度；5、熟悉电磁波在导体空间表达式，理解其物理意义、理解良导体条件及物理意义；能推导导体中电荷密度；知道导体内电场和磁场的关系；理解趋肤效应，计算趋肤深度；理想导体的边值关系；6、理解波导管中电磁波的求解过程和结果，知道结构。能计算截止频率。了解谐振腔中的电磁场解，理解且求解共振频率。7、独立计算P103，P111，P120例1、P121的例2、例3。练习5、7、8、9，10第6章1、熟悉并且理解时变电磁场的电磁势及与电磁场的关系；2、什么是规范变换和规范不变性，熟悉库仑规范和洛仑兹规范；3、熟悉达朗贝尔方程，理解什么是近区、感应区、辐射区及特点；了解多极展开方法的应用；理解什么是推迟势，物理意义和表达式；4、熟悉电偶极辐射的电磁场及性质特点、偶极辐射的功率特点。5、独立完成练习2第7章1、了解狭义相对论的产生过程，对电磁学发展的意义；2、熟练掌握狭义相对论的原理；洛仑兹变换式、间隔的概念及表示；3、熟悉物理量按变换性质分类；理解如何得到协变物理量、判断物理规律的协变性、熟悉教材给出的四维物理量、洛伦兹变换矩阵；4、熟练掌握相对论的多普勒效应及特点；5、了解协变的电动力学规律；6、熟悉如何求解以匀速运动的带电粒子的势函数、电磁场及特点；7、独立完成P159例4、P162例1、P164例2，P165例3、例4，练习2、8，9， 11,12第8章1、理解相对论的时空效应，能用洛仑兹变换式推出同时的相对性，长度收缩，动钟变慢，因果律及光速极限，并且能够应用计算；2、理解相对论的时空结构；熟悉速度变换式并且能应用计算；3、熟悉质能关系式并且理解怎么提出的，深入理解静能、动能的概念。4、独立完成P171例1，P173例2，P177例3，P180例1，P181例2，P182例3. 练习1、2、5、7、8、10、11第9章了解运动带电粒子的电磁场，什么时候能产生辐射；了解经典电动力学的适用范围。部分习题答案习题一（1、2、12自己证明）1用静电场的高斯定理说明电力线总是从正电荷发出，止于负电荷，且静电场线不可能是闭合的。2用磁场的高斯定理说明磁力线总是闭合的。5试证明：在均匀介质内部，极化电荷密度与自由电荷密度的关系为，其中是介质的电容率 证明：因为，电容率与坐标无关，由，和，得一般介质，因此与符号相反。9平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为和今在两极板间接上电动势为的电池，求电容器两板上的自由电荷面密度；介质分界面上的自由电荷面密度若分界面是漏电的，电导率分别为和，当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？解 （1）求两板上自由电荷面密度和，在介质绝缘情况下，电容器内不出现电流. (1)边值关系为 , (2)在两种绝缘介质的分界面上，没有自由电荷分布， (3)因为两极板中（导体中）电场为0，;在导体和介质的分界面2处有得 在另一导体与介质的分界面1处有 （4） 联立解得 可见，整个电容器保持（电中性）（2）当介质略为漏电，并达到稳恒时，要保持电流连续性条件成立 即 在两介质界面上有自由电荷积累，此时，应有 极板的电导率远大于和，故极板中电场近似为0 根据边值关系最后得出,各交界面上自由电荷面密度为 , ,10试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面证明：因为 ，导体内（1）电场为0，所以导体外（2）电场的切向分量为0，电场线总是垂直于导体表面。在恒定电流情况下，则有，又由欧姆定律 故导体中，所以电场仅有切向分量，电场线平行于导体表面。12.用静电场的环路定理说明，电力线不可能是闭合曲线。习题二内外半径分别为和的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为，板间填充电导率为的非铁磁物质证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消因此内部无磁场求随时间的衰减规律求与轴相距为的地方的能量耗散功率密度求长度为的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率解：由高斯定理可得，则 由欧姆定律微分形式 而位移电流密度，对其两边求散度 又由 ，得 ，所以 。因为介质是非铁磁性的，即，故任意一点，任意时刻有由，解这个微分方程得功率密度长度为的一段介质耗散的功率为 能量密度长度为的一段介质内能量减少率为 一很长的直圆筒，半径为，表面上带有一层均匀电荷，电荷量的面密度为在外力矩的作用下，从时刻开始，以匀角加速度绕它的几何轴转动，如图所示z试求筒内的磁感应强度；试求筒内接近内表面处的电场强度和玻印廷矢量；试证明：进入这圆筒长为一段的的通量为 解：单位面电流 在圆筒的横截面内，以轴线为心，为半径作一圆，通过这圆面积的磁通量为 由法拉第定律，得 因为 所以 考虑到方向，则有 在筒内接近表面处， 该处的能流密度为 负号表明，S垂直于筒表面指向筒内。进入这圆筒长为一段的S的通量为 而 所以 讨论：此结果表明，筒内磁场增加的能量等于S流入的能量。由于筒未转动时，筒内磁场为零，磁场能量为零，磁场能都是经过玻印廷矢量由表面输入的。习题三 试证明，在两种导电介质的分界面上，证明：因为 所以，又， 即 3. 试论证：在没有电荷的地方，电势既不能达到极大值，也不能达到极小值（提示：分真空和均匀介质空间，用泊松方程证明）证明：由 （1）没有电荷的地方 （2）如果为极大，则，这不满足（2）式，可见没有电荷处，不能为极大。同理可以证明不能为极小。在均匀介质中，有，若没有自由电荷，也就没有极化电荷。方程（2）仍然成立，证明和前面一样。 6三个同心薄金属球壳形成一个静电系统，内球半径为，中间球半径为,外球半径为 ，球壳之间为真空，内外球壳接地，电荷Q置于中间球壳上，试求：（1）内球壳上的感应电荷值;(2) 外球面上的感应电荷的值. 解 在所研究场域内无电荷分布，故场域满足 .因为电场具有球对称的特点，故选用球坐标，且，于是 或在球坐标系中 (1)积分得 (2)同理得 (3)根据边界条件确定常数A 、B.由 , 得 (4)由 得（5）联立（4）、（5）式，得 ; 因此，球壳之间电场分布为;内球壳上感应电荷分布总电荷外球壳内表面感应电荷分布为 总电荷 .7.（1）根据电荷守恒定律证明稳恒电流情况下的边界条件：电流密度的法向分量连续.（2）证明导体表面电位移的法向分量(为面电流密度），但 D不在导体表面的法线方向. 解（1）在两种导电媒质的分界面上，作一扁圆柱体（高），把连续性方程 用于这个圆柱面上，则或，法向单位基矢n 由媒质1指向媒质2，因此电流密度在界面法线n上的分量连续.（2）由于介质中各点 ，故导电媒质与非导电媒质交界面上边界条件为 t ,因为电场有切向分量，所以D不在导体表面法线方向。分析 （1）在稳流场中，两种导电媒质界面上 连续，而不连续是由于界面上存在面电荷.面电荷密度为界面上积累电荷密度激发的电场将影响整个空间的电场分布.（2）两种导电媒质的交界面不是等势面，当交界面上各点切向分量 ，界面才是等势面.（3）对理想导体 ，其内部电流密度有限，故 ，整个理想导体为等势体.在稳流场中，一般把供电电极作为理想导体使用，而不论其电导率的值为多大.习题四接地的空心导体球内外半径为和，在球内离球心为处置一点电荷，求空间的电势分布导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？答案：，分布在内表面感应电荷不等于像电荷提示：该题的解法与例题2完全类似，只是像电荷在球外空间。上题的导体球壳不接地，而是带电荷，或使其有确定的电势，试求这两种情况的电势又问和是何种关系时，两情况的解相等？解：由叠加原理，本题可以看作3题再叠加一个半径为的均匀带电球面，球面带电为。若题给条件是导体球壳电势为，则在3题基础上叠加一电势为球面。所以或者，当时，两种情况的结果相等在处和处有两个互相垂直的无限大导体面，设有一点电荷从无限远处准静态地移至，z=0处，试求电荷在这位置上所受的电场力及移动中外力所做的功解：用电像法求点电荷所受电场力，即像电荷给点电荷的力，再求力的功。qq1q2q3abxy设点电荷电量为q，有三个像点电荷，如图示，q受到的力为3个像电荷的力外力的功为 为q所在点感应电荷电势，也即3个像电荷的电势叠加所以在接地的导体平面上有一半径为的半球凸起，半球的球心在导体平面上，点电荷位于系统的对称轴上，并与平面相距为，如题图求空间的电势题图解：有三个像电荷，如图示位置分别为空间的电势是及三个像电荷电势的叠加10均匀外电场中置入半径为的导体球。试用分离变量法求下列两种情况下空间的电势分布： 导体球上接有电池，使球与地保持电势; 导体球上带电荷解: 以球心为坐标原点，设原点处原来电势为，问题具有轴对称性.所以满足拉普拉斯方程 （） 满足的边界条件有 由轴对称情形拉普拉斯方程通解 再由边界条件 则有 再由得即，所以有 解拉普拉斯方程 边界条件：1、 2、 3、， 12. 在均匀外电场中置入一带均匀自由电荷的绝缘介质球（介电常数），求空间各点的电势。解：设球外电势为，球内电势为，则有由迭加原理，是拉普拉斯方程解，是均匀带电球解，故，由边界条件得R0，有限所以习题五5试用菲涅尔公式说明，当时，反射波电矢量与入射波电矢量反相，即半波损失现象。提示：直接用菲涅尔公式即可得到。7有一个可见平面光波由水入射到空气，入射角为证明这时将会发生全反射，并求折射波的透入深度设该波在空气中的波长为，水的折射率为解：全反射临界角为，故会发生全反射透入深度为cm8.已知海水的，试计算频率为的三种电磁波在海水中的透入深度解：则透入深度分别为9频率为的电磁波，在的矩形波导中可能传播哪些波型？ 解：对一组 截止频率为 只有当截止频率小于，相应的波模才能在波导管内传播，计算得 因为TM波的最低波型（波模）为TM11，而现在，所以TM波都不可能传播。所以可以传播TE01和TE10波型。10试证明矩形波导中不存在波或波但可以有波和波。证：因为电场解为磁场解为有所以可以有波和波。而TM波有所以不存在波或波因为这样会仅有或，线为直线，从波导管的一个侧面到另一侧面，这与矛盾习题六2. （1）两圆形极板构成的平板电容器板间距为d。其中的介质是有损耗的，电导率为，介电常数为。假设平板间电场均匀并不计边缘效应，板间加电压U=Umsint，求电容器中任一点的磁场。（2） 试求与空间磁场H=A1相应的位移电流。解 （1）平板间电场均匀，且为E=因此，传导电流密度为位移电流密度根据电流分布可知距圆形极板的中心轴等远处磁场H数值相等，磁力线分布是一系列圆心在中心轴上的同心圆，设某点离轴r远，由安培环路定律Hdl= H=, B=（1） 根据 （因为此空间没有传导电流） 相应的位移电流为jD=A2习题七2用洛仑兹变换式和四维坐标矢量，导出洛仑兹变换矩阵。 解：洛仑兹变换式为 （1）令，按矢量的变换性质，则 （2）为洛仑兹变换矩阵，设为 （3）由（2）式矩阵计算为 （4）（4）式计算结果为 (5)将（5）式和（1）式比较，不难得出 其中 ，L中其余各量为0. 所以 .8某星球发出的Ha线在其静止参考系中波长为.若地球上的观察者测得该星球的运动速度为,试计算下列情况下地球上的观察者看到从该星球发出的Ha线的波长.该星球的运动方向与辐射方向所夹角为.解 由多普勒效应 设波源对系静止，故多普勒效应的波长表示为 其中 c=3.0108 v=3.0105 表示星球逆着观察者视方向，迎观察者而来，此时故 （紫移） 表示星球顺着观察者的视方向，离观察者而去 （红移）表示星球的运动方向与观察者的视方向垂直；由(1)式 （横向红移）9设有一发光原子，当其静止时，辐射的光波波长为，现此原子以速度v相对于惯性系S运动，试求在该惯性系中顺v的方向和垂直v的方向传播的光波频率 。解 按Lorentz变换关系，设v沿S系中x轴正方向，则S中观察光的频率与原子静止坐标系中光频率有如下关系设光波传播方向在S系中与x轴夹角为，则 其中 沿着v方向光频率为 垂直v方向光频率为 。11（1）计算，其中为四维速度矢量。（2）证明为四维矢量.解（1） =是不变量。（2），故是四维协变矢量算符。12证明：如果在一个惯性系中，则在其他惯性系中必然有。解 根据电磁场变换关系，若系中有E、B, （相对以v沿x轴运动）中有、，则有变换关系如是所以 显然，若在中,在中亦有。习题八1设两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为，它们以相同的速率相对于某一参考系运动，但是运动方向相反，且平行于尺子。求站在一根尺子上测量另一根尺子的长度。解：设1尺系沿系轴正向以速度运动，则2尺系相对于系的速度为，因此在1尺上测得2尺的速度及其长度分别为 两尺看对方长度一样。 5火箭A和B分别以和的速度相对于地球向右和向左飞行。由火箭B的观察者测得火箭A的速度是多少？解 方法一：取如下对应关系：地球; 火箭B ; 火箭A运动物体P。这样一来问题变