2019年高考数学专题六数列、不等式及数学归纳法第1讲等差数列与等比数列梯度训练新人教A版.docx

第1讲等差数列与等比数列选题明细表知识点方法巩固提高A巩固提高B等差、等比数列的基本运算1,5,9,10,11,12,13,178等差、等比数列的性质2,3,4,8,153,4,5,6,10,13,14数列的定义与性质的综合问题6,7,14,161,2,7,9,11,12,15,16巩固提高A一、选择题1.设an是等差数列,下列结论中正确的是(C)(A)若a1+a20,则a2+a30(B)若a1+a30,则a1+a20(C)若0a1(D)若a10解析:对于A选项,由于a3,a1大小关系不确定,所以错误,同理排除B;对于D,(a2-a1)(a2-a3)=-d20,错误;对于C,由于a1a3,所以a2=,故选C.2.等比数列an的各项为正数,a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+ log3a10等于(B)(A)12 (B)10(C)8 (D)2+log35解析:a5a6+a4a7=18,所以a5a6=9,log3a1+log3a2+log3a10=log3(a1a2a10)=log3(a5a6)5=5log39=10.3.设公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn,若a4=2(a2+a3),则等于(C)(A)(B)(C)7(D)14解析:因为a4=2(a2+a3),所以a4=2(a1+a4),则=7,故选C.4.设an是公差不为0的等差数列,满足+=+,则该数列的前10项和S10等于(C)(A)-10 (B)-5 (C)0 (D)5解析:设等差数列的公差为d(d0),因为+=+,所以(a4-a6)(a4+a6)=(a7-a5)(a7+a5),所以a5+a6=0,由等差数列的性质有a1+a10=a5+a6=0,所以S10=0,故选C.5.数列an是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列bn中连续的三项,则数列bn的公比为(C)(A) (B)4 (C)2 (D)解析:设数列an的公差为d(d0),由=a1a7得(a1+2d)2=a1(a1+6d),解得a1=2d,故数列bn的公比q=2.6.数列an满足a1=1,an+1=ran+r(nN*,rR且r0),则“r=1”是“数列an为等差数列”的(A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当r=1时,易知数列an为等差数列;由题意易知a2=2r,a3=2r2+r,当数列an是等差数列时,a2-a1=a3-a2,即2r-1=2r2-r,解得r=或r=1,故“r=1”是“数列an为等差数列”的充分不必要条件.7.数列an中,a2=2,a6=0,且数列是等差数列,则a4等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:4d=-=1-=,从而d=.=+2d=+=,从而a4=.故选A.8.已知项数为奇数的等差数列an共有n项,其中奇数项之和为4,偶数项之和为3,则项数n的值是(B)(A)5(B)7(C)9(D)11解析:由数列an项数为奇数,可设共有(2k+1)项,其中奇数项共有(k+1)项,S奇=,偶数项共有k项,S偶=,所以=,所以k=3.数列an共有7项,n=7,选B.二、填空题9.已知等差数列an的前n项和为Sn,a2+5=2a4,a10=-3,则a1=,S8=.解析:由题设得解得S8=8a1+d=64.答案:156410.已知单调递减的等比数列an满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项,则公比q=,通项公式an=.解析:由题意得,2(a3+2)=a2+a42(a3+2)+a3=28a3=8,所以a2+a4=20+8q=20q=或2(舍),所以通项公式为an=a3qn-3=()n-6.答案:()n-611.已知等差数列an满足a1+a3+a5+a7+a9=10,-=36,则a11的值为.解析:由题意,a5=2,-=(a8+a2)(a8-a2)=24d=36,d=,所以a11=a5+ 6d=11.答案:1112.已知正项数列an满足-6=an+1an,若a1=2,则数列an的前n项和Sn=.解析:由-6=an+1an,得(an+1-3an)(an+1+2an)=0,因为an0,所以an+1=3an,即an是首项为2,公比为3的等比数列,于是Sn=3n-1.答案:3n-113.已知等差数列an的公差d0 ,且a3+a9=a10-a8.若an=0 ,则n=.解析:a3+a9=a10-a8a2+a10=a10-a8a2+a8=02a5=0a5=0,因此n=5.答案:514.等比数列an的各项均为实数,其前n项的和为Sn,已知S3=,S6=,则a8=.解析:当q=1时,显然不符合题意;当q1时,解得则a8=27=32.答案:3215.设等差数列an的前n项和为Sn,且满足S2 0140,S2 01500a1+a2 0140a1 007+a1 0080,S2 01500a1+a2 0150a1 0080且=,当Sn取最大值时,n的值为(B)(A)9 (B)10 (C)11 (D)12解析:由题意,不妨设a6=9t,a5=11t,则公差d=-2t,其中t0,因此a10=t,a11=-t,即当n=10时,Sn取得最大值.故选B.5.已知一个等比数列的前三项的积为3,后三项的积为9,且所有项的积为243,则该数列的项数为(B)(A)9 (B)10 (C)11 (D)12解析:a1a2a3=3,an-2an-1an=9,相乘求得a1an=3,又a1a2an-1an=243=35=(a1an)5,从而n=10.故选B.6.已知等比数列an中,a2a3a4=1,a6a7a8=64,则a5等于(A)(A)2 (B)-2 (C)2 (D)4解析:a2a3a4=1a3=1,a6a7a8=64a7=4,=a3a7=4,a3,a5,a7同号,所以a5=2.7.数列an前n项和为Sn,已知a1=,且对任意正整数m,n,都有am+n=aman,若Sna恒成立,则实数a的最小值为(A)(A)(B)(C)(D)2解析:令m=1,则=a1=,从而an是等比数列,Sn=1-()n0,若S6-2S3=5,则S9-S6的最小值为.解析:=,=S3(S9-S6),S9-S6=S3+1010+10=20,当且仅当S3=5时取“=”,则S9-S6最小值为20.答案:2013.各项均为正数的等比数列an满足:a11,a6+a7a6a7+12,记数列an前n项积为Tn,则满足Tn1的最大正整数n的值为.解析:a6+a7a6a7+12因为a11,所以a6a71a1a12=a2a11=a6a71T121,a71a1a13=a2a12=a6a81T130,即,当n3时,-0,此时单调递减,=,=,=,=,由题意知,A中有且仅有3个元素,只需大于第四项即可,所以.答案:,三、解答题15.设数列an的前n项和为Sn,nN*,已知a1=1,a2=,a3=,且当n2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1 .(1)求a4的值;(2)证明:为等比数列;(3)求数列an的通项公式.(1)解:令n=2,则4S4+5S2=8S3+S1 ,所以4(1+a4)+5(1+)=8(1+)+1,解得a4=.(2)证明:4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-14Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn,即4an+2+an=4an+1 ,所以4(an+2-an+1)=2an+1-an=2(an+1-an),所以an+2-an+1=(an+1-an),所以n2时,是公比为的等比数列.当n=1时,由a1=1,a2=,a3=可验证得,a3-a2=(a2-a1).综上可得,是公比为的等比数列.(3)解:由(2)以及a2-a1=1可得,an+1-an=(a2-a1)=,所以-=42n+1an+1-2nan=4.所以2nan是公差为4的等差数列,所以2nan=2a1+(n-1)4=4n-2,所以an=(4n-2)=(2n-1).16.已知正项数列an,bn满足:对任意nN*,都有an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列,且a1=10,a2=15.(1)求证:数列是等差数列;(2)求数列an,bn的通项公式;(3)设Sn=+,如果对任意nN*,不等式2aSn2-恒成立,求实数a的取值范围.(1)证明:由已知,2bn=an+an+1,=bnbn+1,由可得,an+1=,将代入得,对任意nN*,n2时,有2bn=+,即2=+,所以是等差数列.(2)解: