概率论课后习题.doc

第一章 概率论的基本概念（一） 1、多选题: 以下命题正确的是（ ）。; ; . 某学生做了三道题，表示第题做对了的事件，则至少做对了两道题的事件可表示为（ ）. 2、为三个事件，说明下述运算关系的含义：3、个工人生产了三个零件，与分别表示他生产的第个零件为正、次品的事件。试用与表示以下事件： 全是正品； 至少有一个零件是次品； 恰有一个零件是次品； 至少有两个零件是次品。4、 下列命题中哪些成立，哪些不成立：； ； ； ； ； 。（二）1、选择题： 若事件与相容，则有（ ） ； ； ； 事件与互相对立的充要条件是（ ） 2、袋中有12个球，其中红球5个，白球4个，黑球3个。从中任取9个，求此9球恰好有4个红球，3个白球，2个黑球的概率。3、4、在扑克牌游戏(共52张牌，“”最大)中，求以下事件的概率：以“”为头的同花顺次五张牌；其它的同花顺次五张牌；有四张牌同点数；有三张牌同点数且另两张牌也同点数；五张同花；异花顺次五张牌；三张同点数且另两张牌不同点数；五张中有两对； 五张中有一对。 （三）1、选择题： 已知且，则（ ）成立。 ； ; ; 。 若且，则（ ）成立。； ； 相容； 不相容。2、 知，求。3、 种灯泡能用到3000小时的概率为0.8，能用到3500小时的概率为0.7。求一个已用到了3000小时的灯泡还可以再用500小时的概率。4、某市男性色盲发病率为7%,女性色盲发病率为0.5%。今有一人到医院求治色盲求此人为女性的概率。(设该市性别结构为男 : 女=0.502 : 0.498)5、有两箱同类型的零件。第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，做不放回抽样。求 第一次取到的零件是一等品的概率， 第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。（四）1、选择题（可能不止一个选项）： 对于事件与，以下命题正确的是( )，若互不相容，则也互不相容; 若相容，则也相容; 若独立，则也独立; 若对立，则也对立; 若事件与独立，且，则（ ）成立，； ； 相容； 不相容。2、 知互相独立，证明也互相独立。3、设为互相独立的事件，求证都与独立。4、一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为，求此射手每次射击的命中率。5、甲、乙、丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击，三人各自击中目标的概率分别是0.4、0.5、0.7。目标被击中一发而冒烟的概率为0.2，被击中两发而冒烟的概率为0.6，被击中一发则必定冒烟，求目标冒烟的概率。6、袋中有个黑球，个白球，甲、乙、丙三人依次从袋中取出一个球(取后不放回)，分别求出他们各自取到白球的概率。7、甲、乙、丙三个炮兵阵地向目标发射的炮弹数之比为172，而各地每发炮弹命目标的概率分别为0.05、0.1、0.2。现在目标已被击毁，试求目标是被甲阵地击毁的概率。 第二章 随机变量及其分布（一）1、填空题：. 当 时,是随机变量的概率分布，当 时, 是随机变量的概率分布；. 当 时, 是随机变量的概率分布； 设某射手对某一目标进行独立射击,每次射击的命中率均为,若以表示射击进行到击中目标为止时所需的射击次数,则的分布律为 ； 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率均为3/4。用表示直到试验获得成功所需的试验次数，则的分布律为 ； 把一枚质量均匀的硬币独立地抛掷次，以表示此次抛掷中落地后正面朝上的次数，则的分布律为 。2、只同类型的零件中有只次品，现在从中取次，每次取只，取后不放回。以表记取出的只中的次品数，求的分布律与分布函数。3、袋中有6个球，其中三个球上各印有1个点，两个球上各印有2个点，一个球上印有3个点。从此袋中随机地取出3个球，并以表记取出的三个球上点数之和，试求随机变量的分布律与分布函数及以下概率：。 （二）1、以下函数能否成为某随机变量的概率密度： ； ； , （ ）； （ ）；（）2、设连续型随机变量的概率密度为： 试求：（1）常数；（2）的分布函数；（3）概率。3、设随机变量的概率密度为：试求：（1）常数；（2）的分布函数；（3）概率。4、设连续型随机变量的分布函数为试求： 常数，概率密度， 。（三）0.40.30.20.11、设随机变量的分布律如右。求：；的分布律。2、已知随机变量的概率密度为求的函数的概率密度。3、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(以分计)服从参数为的指数分布, 某顾客在窗口等待服务，若超过分钟，他就离开。他一个月要到银行次。以表示一个月内他未等到服务而离开的次数，写出的分布律，并求。第三章 多维随机变量及其分布(一)1、若随机变量独立，分布函数分别为则()的联合分布函数为( )。a. b. c. d.2、设二维随机变量取数组(,-1)、(0,)、()、(0,-1)的概率分别为a、b、试求： 的联合分布律； 确定常数a和b，使和相互独立； 分别关于和的边缘分布律。 3、甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5；以X、Y分别表示甲、乙的命中次数，试求X、Y的联合分布律。(二)1、设(X，Y)为二维随机变量，其联合概率密度为： 试求：(1)常数c； (2)PX0.5；Y0.7；PX0.5；PYa,已知P（AB）=7/9，求常数a.3、设某班车起点站上车人数X服从参数为(0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0p1)，乘客中途下车与否相互独立。以Y表示在中途下车的人数，求：(1) 在发时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；(2) 二维随机变量(X,Y)的概率分布。4、设随机变量X、Y相互独立，X具有概率密度Y服从0，1内的均匀分布，试求Z=X+Y的概率密度函数。5、设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为：， 试求随机变量Z=X+Y的概率密度。6、已知随机向量（X，Y）服从正方形G=(x,y): 1x3, 1y3上的均匀分布，试求随机变量U=|X-Y|的概率密度p(u)。第四章 随机变量的数字特征（一）1、选择题（每小题只有一个正确答案，把正确的题号写的括号内）:（1）掷一个均匀的骰子，所得点数的数学期望为（ ）。a . 1， b . , c . , d . 6（2）已知100个产品中有10个次品，从中任意取出5个产品其中次品数的期望为（ ）. a .0.5 , b .0.25, c .1 , d .1 2、填空题:（1） 连续型随机变量X具有概率密度 ，则 。（2） 设随机变量与相互独立，且都服从参数为的两点分布,并记=,则与的联合分布为 ,的期望 .3、游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的5分钟，25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早八点第分钟到达底层候梯，且，求该游客等候时间的数学期望。4、某工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从指数分布，其概率密度为:。工厂规定，出售的设备在售出一年之内可以调换，若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元,试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。5、设随机变量互相独立，且其概率密度分别为: , .试求：（1），（2）.6、设在上服从均匀分布，其中由轴，轴及直线围成，求，。 7、设随机变量相互独立，且， 试求随机变量的概率密度函数。（二） 1、选择题（1） 掷一对均匀的骰子，其点数之和的方差为 （2）概率密度为的随机变量的方差为 （3）设与的相关系数=0，则 a. 与相互独立。 b. 与不一定相关。 c. 与必不相关。 d. 与必相关。（4）设随机变量与的期望和方差存在，且，则下列说法哪个是不正确的 。 a. b. ， c. 与不相关， d. 与独立；2、填空题：（1） 设随机变量X的分布函数为， 则 ， 。（2） 设随机变量与相互独立，并且， 则 。(3) 设随机变量取的概率都是0.5，那么关于原点的前四阶矩1= ，2= ，3= ，4= 。（4）设随机变量的数学期望，方差，则由契比雪夫不等式有 。3、设随机变量的概率密度为求。 4、一门大炮不断地对目标进行轰击，假定目标被击中3次才能摧毁，且各次轰击相互独立，在每次轰击中击中目标的概率是2/3，规定在5次以内轰击到摧毁目标为止，而轰击5次后必停止，求总共轰击次数的期望与方差。 5、在每次试验中，事件发生的概率为0.5，利用契比雪夫不等式估计：在1000试验中，事件发生的次数X在400600之间的概率。6、设是二维随机变量，已知： 试求7、已知随机变量与都服从二项分布B(20，0.1)，并且与的相关系数xy=0.5，试求X+Y的方差及与的协方差。8、设连续型随机变量的概率密度是偶函数，且，试证与不相关。 第五章 大数定律与中心极限定理1、 每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为，求在100次射击中有180到达220发炮弹命中目标的概率2、由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率为90% 为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件正常工作，求整个系统能正常运行的概率3、设有30个同类型的某电子器件，若的寿命服从参数为的指数分布，令为30个器件正常使用的总计时间，求4、在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布，若以表示次称量结果的平均值，问至少取多大，使得 5、某单位设置一电话总机，共有200门电话分机，每门电话分机有5%的时间要用外线通话，假设各门分机是否使用外线通话是相互独立的，问总机至少要配置多少条外线，才能以90%的概率保证每门分机要使用外线时，有外线可供使用第六章 样本及抽样分布1、设总体， 是来自的样本，求 2、设总体， 是来自的样本，求 样本均值与总体值之差的绝对值大于1的概率； ；3、设总体， 是来自的样本，求 证明统计量服从自由度为2的分布第七章 参数估计1、设总体服从负指数分布，其概率密度函数为其中，试求的矩估计量。2、使用同一测量仪器对同一值进行了12次独立测量，其结果如下：232.50，232.48，232.15，232.53，232.45，232.30232.48，232.05，232.45，232.60，232.47，232.30试用矩估计法估计测量值的真值和方差（设仪器无系统误差）。3、设总体服从几何分布，它的分布律为是来自总体的样本，求的极大似然估计量和矩估计量。4、设总体的概率密度为是来自总体的样本，求分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量。5、设总体服从正态分布，是从此总体中抽取的一个样本。试验证下面三个估计量： （1） （2） （3）都是的无偏估计，并指出哪一个估计量有效。6、设和分别为来自正态总体和的样本，其中，已知，试求常数使为的无偏估计量，并使其方差最小。7、设参数的无偏估计量为，其方差依赖于样本容量。若，试证是的相合估计量。8、设总体为其样本的观测值，试求参数的置信度为0.95的置信区间(其中)。9、随机地取某种炮弹9发作试验，测得炮口速度的样本标准差（米/秒）。设炮口速度服从，求这种炮弹的炮口速度的标准差和方差的95%的置信区间。10、设两总体，相互独立，从中抽取的样本，=82，从中抽取的样本，试求的95%的置信区间。11、设两总体，相互独立，从中抽取的样本，从中抽取的样本，算得，试求两总体方差比的90%的置信区间。12、假定每次试验时，出现事件的概率相同但未知。如果在60次独立试验中，事件出现15次，试求的置信度为95%的置信区间。13、从一批某种型号电子管中抽出容量为10的样本，计算的标准差。设整批电子管寿命服从正态分布。试求出这批电子管寿命的标准差的置信度为95%的单侧置信上限。第 八 章 假设检验1、某工作人员在某一个星期里,曾经接见访问者12次,所有这12次的访问恰巧都是在星期二或星期四.试求该事件的概率.是否可断定他只在星期二或星期四接见访问者?若12次访问没有一次是在星期日,是否可以断言星期日他根本不会客?2、 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测定了9炉铁水,其平均含碳量为4.484,如果估计方差没有变化,可否认为现在生产之铁水平均含碳量仍为4.55()?3、有一批枪弹,出厂时,其初速,其中,经过较长时间储存,取9发进行测试,得样本值(单位:米/秒)如下: 914,920,910,934,953,945,912,924,940。据检验,枪弹经储存,其初速仍服从正态分布,且可认为不变,问是否可认为这批枪弹的初速显著降低?4、设在木材中抽出100根,测其小头直径,得到样本平均数为,已知标准差.问该批木料小头的平均直径能否认为是在12cm以上?5、从一批灯泡中抽取50个灯泡的随机样本,算得样本平均数小时,样本标准差小时,以的水平,检验整批灯泡的平均使用寿命是否为2000小时？6、某种导线的电阻服从正态分布,今从新生产的一批导线中抽取9根,测其电阻,得欧姆,对于,能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005？7、两厂生产同一产品，其质量指标假定都服从正态分布，标准规格的为均值等于120，现从甲厂抽出5件产品，测得其指标值为119，120，