2020版高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念练习（含解析）新人教A版.docx

1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课时过关能力提升基础巩固1.已知函数y=f(x)=x2+1,则当x=2,x=0.1时,y的值为()A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44解析:x=2,x=0.1,y=f(x+x)-f(x)=f(2.1)-f(2)=(2.12+1)-(22+1)=0.41.答案:B2.若函数f(x)=x2-3在区间1,b上的平均变化率为3,则实数b的值等于()A.1B.2C.3D.4解析:依题意得b2-3-(1-3)b-1=3,解得b=2(b=1舍去).答案:B3.已知函数f(x)=16x2,则f(-3)的值等于()A.32 B.1C.-1D.-12解析:f(-3)=limx0f(-3+x)-f(-3)x=limx016x-1=-1.答案:C4.若函数f(x)在x0处可导,则limh0f(x0+h)-f(x0)h的值()A.与x0,h都有关B.仅与x0有关,而与h无关C.仅与h有关,而与x0无关D.与x0,h均无关解析:由导数的定义可知,limh0f(x0+h)-f(x0)h=f(x0),仅与x0有关,而与h无关.故选B.答案:B5.已知某质点运动的方程为s=5-3t2,则该质点在t=1时的瞬时速度是()A.-3B.3C.6D.-6解析:由平均速度和瞬时速度的关系可知,s|t=1=limt05-3(1+t)2-5+312t=limt0(-3t-6)=-6.答案:D6.如图所示,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于.答案:-17.函数f(x)=x+1x在x=2处的导数是.解析:f(2)=limx0f(2+x)-f(2)x=limx02+x+12+x-2+12x=limx01-12(2+x)=34.答案:348.航天飞机发射后的一段时间内,t时刻的高度h=f(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.(1)f(0),f(1)分别表示什么?(2)求第1 s内高度的平均变化率.(3)求第1 s时高度的瞬时变化率,并说明它的意义.分析:先确定f(0),f(1)的含义,再利用平均变化率和瞬时变化率的定义求解.解:(1)f(0)表示航天飞机未发射时的高度,f(1)表示航天飞机发射1s时的高度.(2)ht=f(1)-f(0)1-0=80,即第1s内高度的平均变化率为80m/s.(3)f(1)=limt0ht=limt0f(1+t)-f(1)t=limt05(t)2+45t+120=120,即第1s时高度的瞬时变化率为120m/s.它说明在第1s附近,航天飞机的高度大约以120m/s的速度增加.9.已知质点做直线运动,且位移s关于时间t的函数解析式是s=s(t)=3t2+2t+1.(1)求从t=2到t=2+t的平均速度,并分别求当t=1,t=0.1与t=0.01时的平均速度;(2)求当t=2时的瞬时速度.分析:(1)根据平均变化率的概念可求平均速度;(2)即求位移s在t=2处的导数.解:(1)从t=2到t=2+t的平均速度为st=s(2+t)-s(2)t=3(2+t)2+2(2+t)+1-34-22-1t=14t+3(t)2t=14+3t.当t=1时,平均速度为14+31=17;当t=0.1时,平均速度为14+30.1=14.3;当t=0.01时,平均速度为14+30.01=14.03.(2)当t=2时的瞬时速度为v=limt0st=limt0(14+3t)=14.能力提升1.已知函数y=f(x)=x2+1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+x,2+y),则limx0yx等于()A.2B.2xC.2+xD.2+(x)2解析:邻近一点的坐标为(1+x,2+y),2+y=f(1+x)=(1+x)2+1=2+2x+(x)2.y=(x)2+2x.yx=2+x.limx0yx=limx0(2+x)=2.故选A.答案:A2.已知一个物体的运动方程为s(t)=1-t+t2,其中位移s的单位是m,时间t的单位是s,则物体在第3 s时的瞬时速度是()A.7 m/sB.6 m/sC.5 m/sD.8 m/s解析:s(3)=limt0s(3+t)-s(3)t=limt01-(3+t)+(3+t)2-(1-3+32)t=limt0(5+t)=5.答案:C3.已知函数f(x)=ax+3,若f(1)=3,则a的值为()A.2B.-2C.3D.-3解析:f(1)=limx0f(1+x)-f(1)x=limx0a(1+x)+3-(a+3)x=a,f(1)=a=3.答案:C4.函数y=-1x在点x=4处的导数是()A.18B.-18C.116D.-116解析:y=-14+x+14=12-14+x=4+x-224+x=x24+x(4+x+2),yx=124+x(4+x+2).limx0yx=limx0124+x(4+x+2)=124(4+2)=116.y|x=4=116.答案:C5.已知质点运动规律为s=12gt2,则质点在3,3+t内的平均速度等于.(g=10 m/s2)答案:30+5t6.已知成本c与产量q的函数关系式为c=4q2+q-6,求当产量q=10时的边际成本.(注:边际成本是指在一定产量水平下,增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数)分析:由题意知当q=10时的边际成本即为函数c=4q2+q-6在q=10处的导数.解:c=4(10+q)2+(10+q)-6-(4102+10-6)=4(q)2+80q+q=4(q)2+81q,cq=4(q)2+81qq=4q+81.边际成本为limq0cq=limq0(4q+81)=81.故当产量q=10时的边际成本为81.7.路灯距地面8 m,一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度从路灯在地面上的射影点C处沿某直线离开路灯.(1)求身影的长度y与人和路灯间的水平距离x之间的关系式;(2)求人离开路灯后,在0 s到10 s内身影的平均变化率.分析:(1)画出示意图,根据平面几何知识,可求y与x之间的关系;(2)由求平均变化率的步骤即可得解.解:(1)如图,设人从点C运动到B处的路程为xm,AB的长度为身影的长度,AB的长度为ym.因为CDBE,则ABAC=BECD,即yy+x=1.68,所以y=14x.(2)84m/min=1.4m/s,当从0s到10s时,身影的长度增加了141.410-141.40=72(m),身影的平均变化率为7210-0=720(m/s),即人离开路灯后,在0s到10s内身影的平均变化率为720m/s.8.柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠液体状.如果开始加热后第x h沥青的温度(单位:)为y=f(x)=80x2+20,0x1,-2049(x2-2x-244),1x8,求开始加热后第15 min和第4 h沥青温度变化的瞬时速度,并说明它们的意义.解:15min=0.25h,且当0x1时,f(x)=80x2+20,yx=f(0.25+x)-f(0.25)x=80(0.25+x)2+20-(800.252+20)x=800.5x+(x)2x=40+80x.f(0.25)=limx0(40+80x)=40.又当1x8时,f(x)=-2049(x2-2x-244),当x=4时,yx=-2049(4+x)2-2(4+x)-244+2049(42-24-244)x=-20