2020版高中数学第一章导数及其应用1.5.3定积分的概念练习（含解析）新人教A版.docx

1.5.3定积分的概念课时过关能力提升基础巩固1.设曲线f(x)在区间a,b上连续,将区间a,bn等分,在每个小区间上任取i,则abf(x)dx等于()A.limni=1nf(i)B.limni=1nf(i)b-anC.limni=1nf(i)iD.limni=1nf(i)(i-i-1)解析:根据定积分的概念可知,B选项正确,其余均不等于abf(x)dx,故选B.答案:B2.设连续函数f(x)0,则当ab时,定积分abf(x)dx的符号()A.一定是正的B.一定是负的C.当0ab时是正的,当ab(2)abB.abcC.a=bcD.acb解析:根据定积分的几何意义,易知01x3dx01x2dxbc,故选B.答案:B4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示),则对于图中给定的t0和t1,下列判断一定正确的是()A.在t1时刻,甲车在乙车的前面B.t1时刻后,甲车在乙车的后面C.在t0时刻,两车的位置相同D.t0时刻后,乙车在甲车的前面解析:由题图可知,曲线v甲比v乙在0t0,0t1与t轴所围成图形的面积大,则在t0,t1时刻,甲车均在乙车的前面,故选A.答案:A5.已知01x2dx=13,12x2dx=73,则02(x2+1)dx=.解析:由定积分的性质,可得02(x2+1)dx=02x2dx+021dx,而由已知,得02x2dx=01x2dx+12x2dx=13+73=83.又由定积分的几何意义知021dx=12=2,故02(x2+1)dx=83+2=143.答案:1436.(1)计算-33(9-x2-1)dx的值;(2)已知f(x)=x,x0,2),4-x,x2,3),52-x2,x3,5,求f(x)在区间0,5上的定积分.分析:可先根据定积分的几何意义求出相关函数的定积分,再根据定积分的性质进行加减运算.解:(1)如图,由定积分的几何意义,得-339-x2dx=322=92,-331dx=6.由定积分的性质,得-33(9-x2-1)dx=-339-x2dx-331dx=92-6.(2)如图,由定积分的几何意义,得02xdx=1222=2,23(4-x)dx=12(1+2)1=32,3552-x2dx=1221=1,所以05f(x)dx=02xdx+23(4-x)dx+3552-x2dx=2+32+1=92.7.弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比,即力F(x)=kx(k为常数,x是伸长量),求弹簧从平衡位置拉长b所做的功.解:将物体用常力F沿着力的方向移动距离x,则所做的功为W=Fx,本题F是克服弹簧拉力的变力,是移动距离x的函数F(x)=kx.将区间0,bn等分,记x=bn,分点依次为x0=0,x1=bn,x2=2bn,xn-1=(n-1)bn,xn=b.当n很大时,在分段xi,xi+1所用的力约为kxi,所做的功Wikxix=kxibn.则从0到b所做的总功W近似地等于i=0n-1Wi=i=0n-1kxix=i=0n-1kibnbn=kb2n20+1+2+(n-1)=kb2n2n(