2020版高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数练习（含解析）新人教A版.docx

1.3.1函数的单调性与导数课时过关能力提升基础巩固1.下列函数在区间(-1,1)内是减函数的是()A.y=2-3x2B.y=ln xC.y=1x-2D.y=sin x解析:对于函数y=1x-2,其导数y=-1(x-2)20,得x2,即函数f(x)的单调递增区间是(2,+).答案:D3.若函数y=x3-2bx+6在区间(2,8)内单调递增,则()A.b6B.b6解析:y=3x2-2b,由题意知y0在(2,8)内恒成立,即b32x2在(2,8)内恒成立,所以b6.故选A.答案:A4.已知f(x)=2cos2x+1,x(0,),则f(x)的单调递增区间是()A.(,2)B.(0,)C.2, D.0,2解析:f(x)=2cos2x+1=2+cos2x,x(0,),f(x)=-2sin2x.令f(x)0,则sin2x0.又x(0,),02x2.2x2,即2x0的解集为()A.(-,-2)(1,+)B.(-,-2)(1,2)C.(-,-1)(-1,0)(2,+)D.(-,-1)(-1,1)(3,+)解析:原不等式f(x)0,x2-2x-30或f(x)0,x2-2x-30,即x1,x3或-1x1,-1x3,解得x3或-1x0,所以只能有f(x)0恒成立.所以=4-12m0,故m13.经检验,当m=13时,只有一个点使f(x)=0符合题意,故实数m的取值范围是13,+.答案:13,+7.若函数y=-43x3+bx有三个单调区间,则b的取值范围是.解析:若函数y=-43x3+bx有三个单调区间,则其导数y=-4x2+b=0有两个不相等的实数根,所以b0.答案:(0,+)8.已知函数y=ax3+bx2+6x+1的递增区间为(-2,3),求a,b的值.分析:因为函数y=ax3+bx2+6x+1的递增区间是(-2,3),根据求单调区间的步骤可知,-2和3是方程y=0的两根.解:y=3ax2+2bx+6.因为函数的递增区间为(-2,3),所以y=3ax2+2bx+60的解集为-2x3,也就是说,-2和3是方程3ax2+2bx+6=0的两根,即12a-4b+6=0,27a+6b+6=0,解得a=-13,b=12.所以a,b的值分别为-13,12.9.已知函数f(x)=4x+a+ln x(a0,所以函数f(x)的定义域为x|x0,且x-a,f(x)=-4(x+a)2+1x.依题意可知f(1)=0,即f(1)=-4(1+a)2+11=0,解得a=-3(a=1舍去).(2)由(1)知,函数f(x)的定义域为x|x0,且x3,f(x)=-4(x-3)2+1x=x2-10x+9x(x-3)2=(x-1)(x-9)x(x-3)2.令f(x)0,解得x9或0x1;令f(x)0,解得1x3或3x9.故函数f(x)的单调递增区间是(0,1)和(9,+),递减区间是(1,3)和(3,9).能力提升1.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在区间(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是()A.a1B.a=1C.a1D.0ak1,则下列结论一定错误的是()A.f1k1k-1C.f1k-1kk-1解析:构造函数F(x)=f(x)-kx,则F(x)=f(x)-k0,函数F(x)在R上单调递增.1k-10,F1k-1F(0).F(0)=f(0)=-1,f1k-1-kk-1-1,即f1k-1kk-1-1=1k-1,f1k-11k-1,故C错误.答案:C4.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(x)恒不为0,当x0,且f(3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是()A.(-3,0)(3,+)B.(-3,0)(0,3)C.(-,-3)(3,+)D.(-,-3)(0,3)解析:令F(x)=f(x)g(x)(g(x)恒不为0),则F(x)为奇函数,F(x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)g2(x).当x0,当x0,F(x)在(-,0)内为增函数.又F(3)=f(3)g(3)=0,F(-3)=0.当x-3时,F(x)0;当-3x0.又F(x)为奇函数,当0x3时,F(x)3时,F(x)0.而不等式f(x)g(x)0和f(x)g(x)0为同解不等式,不等式f(x)g(x)0的解集为(-,-3)(0,3).答案:D5.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)内单调递增,则k的取值范围是.解析:f(x)=k-1x0在(1,+)内恒成立,即k1x.而g(x)=1x1,所以k1.答案:1,+)6.已知函数y=ax与y=-bx在区间(0,+)内都是减函数,试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.分析:可先由函数y=ax与y=-bx的单调性确定a,b的取值范围,再根据a,b的取值范围确定y=ax3+bx2+5的单调区间.解:因为函数y=ax与y=-bx在区间(0,+)内都是减函数,所以a0,b0,得3ax2+2bx0,所以-2b3ax0.令y0,得3ax2+2bx0,所以x0.故函数y=ax3+bx2+5的单调递增区间为-2b3a,0,单调递减区间为-,-2b3a和(0,+).7.设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解:(1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f(x)=(1-x)ea-x+b.依题意得,f(2)=2e+2,f(2)=e-1,即2ea-2+2b=2e+2,-ea-2+b=e-1,解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知,f(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)内单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)内的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+).8.设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中aR.(1)讨论f(x)的单调性;(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)1x-e1-x在区间(1,+)内恒成立(e=2.718为自然对数的底数).解:(1)f(x)=2ax-1x=2ax2-1x(x0).当a0时,f(x)0时,由f(x)=0,有x=12a.此时,当x0,12a时,f(x)0,f(x)单调递增.(2)令g(x)=1x-1ex-1,s(x)=ex-1-x.则s(x)=ex-1-1.而当x1时,s(x)0,所以s(x)在区间(1,+)内单调递增.又由s(1)=0,有s(x)0,从而当x1时,g(x)0.当a0,x1时,f(x)=a(x2-1)-lnxg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有a0.当0a1.由(1)有f12a0,所以此时f(x)g(x)在区间(1,+)内不恒成立.当a12时,令