（北京专用）2020届高考数学一轮复习12.4统计课件.pptx

12.4 统计,高考数学 (北京专用),A组 自主命题北京卷题组,五年高考,1.(2015北京文,4,5分)某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教 师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为 ( ),A.90 B.100 C.180 D.300,答案 C 本题考查分层抽样,根据样本中的青年教师有320人,且青年教师与老年教师人数的 比为1 600900=169,可以得到样本中的老年教师的人数为 320=180,故选C.,2.(2017北京文,17,13分)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使 用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:20,30),30,4 0),80,90,并整理得到如下频率分布直方图: (1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率; (2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间40,50)内的人数;,(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计 总体中男生和女生人数的比例.,解析 本题考查频率分布直方图,古典概型,分层抽样方法.考查运算求解能力. (1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)10=0.6, 所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4. 所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4. (2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)10=0.9, 分数在区间40,50)内的人数为100-1000.9-5=5. 所以总体中分数在区间40,50)内的人数估计为400 =20. (3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)10100=60, 所以样本中分数不小于70的男生人数为60 =30. 所以样本中的男生人数为302=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为6040= 32. 所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为32.,方法总结 在频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相应各组的频率,所有小长方形的面 积的和等于1.,3.(2016北京文,17,13分)某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分 按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民, 获得了他们某月的用水量数据,整理得到频率分布直方图如图: (1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少 定为多少? (2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均水 费.,解析 (1)由用水量的频率分布直方图知, 该市居民该月用水量在区间0.5,1,(1,1.5,(1.5,2,(2,2.5,(2.5,3内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.2 5,0.15. 所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%. 依题意,可得w至少定为3. (2)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:,该市居民该月的人均水费估计为 40.1+60.15+80.2+100.25+120.15+170.05+220.05+270.05=10.5(元).,思路分析 第(1)问,需要计算该市居民月用水量在各区间内的频率,根据样本的频率分布直 方图即可获解. 第(2)问,由月用水量的频率分布直方图和w=3可得居民该月用水费用的数据分组与频率分布 表,由此可估计该市居民该月的人均水费.,难点突破 第(2)问本质上是考查加权平均数的概念,这个权重就是频率,所以结合第(1)问和 加权平均数的概念,就可以算出人均水费.,评析 本题考查了频率分布直方图及用样本估计总体,属于中档题.,4.(2014北京,18,13分)从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的 数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:,(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率; (2)求频率分布直方图中的a,b的值; (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课 外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论),解析 (1)根据频数分布表知,100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2 =10名,所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1- =0.9. 故从该校随机选取一名学生,估计其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9. (2)课外阅读时间落在组4,6)内的有17人,频率为0.17,所以a= = =0.085. 课外阅读时间落在组8,10)内的有25人,频率为0.25,所以b= = =0.125. (3)样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组.,思路分析 (1)用间接法求出一周课外阅读时间少于12小时的频率,用频率估计概率. (2)由小矩形的高= ,求a,b的值. (3)利用平均数公式求得数据的平均数,即可得答案.,解后反思 本题考查概率与统计中的基本概念,平均数的估计,直方图横纵坐标的含义等.坐标 系中横坐标是随机变量的取值范围,纵坐标与区间大小的乘积,也就是每个矩形的面积,代表随 机变量位于这个区间的频率,理解这两点是解题的关键.,5.(2011北京,17,13分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一 个数据模糊,无法确认,在图中以X表示. (1)如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数Y的分布列 和数学期望. 注:方差s2= (x1- )2+(x2- )2+(xn- )2,其中 为x1,x2,xn的平均数,解析 (1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是8,8,9,10,所以平均数为 = = ; 方差为 s2= = . (2)当X=9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵数是9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是9,8,9,10. 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有44=16种可能的结果,这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同 学植树8棵”,所以该事件有2种可能的结果,因此P(Y=17)= = . 同理可得P(Y=18)= ;P(Y=19)= ;P(Y=20)= ;P(Y=21)= . 所以随机变量Y的分布列为,EY=17P(Y=17)+18P(Y=18)+19P(Y=19)+20P(Y=20)+21P(Y=21)=17 +18 +19 +20 +21 =19.,失分警示 (1)因不理解茎叶图的概念,求方差时计算出错等原因而失分. (2)因算错随机变量的值以及相对应的概率,算错随机变量的期望等原因而失分.,B组 统一命题省(区、市)卷题组,考点一 随机抽样,1.(2017江苏,3,5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300, 100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应 从丙种型号的产品中抽取 件.,答案 18,解析 本题考查分层抽样方法及用样本估计总体. 从丙种型号的产品中抽取的件数为60 =18.,2.(2015福建,13,4分)某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方 法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为 .,答案 25,解析 男生人数为900-400=500.设应抽取男生x人,则由 = 得x=25.即应抽取男生25人.,考点二 统计图表,1.(2018课标,3,5分)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为 更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入 构成比例,得到如下饼图:,则下面结论中不正确的是 ( ) A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半,答案 A 本题主要考查统计图. 设建设前经济收入为a,则建设后经济收入为2a,由题图可知:,根据上表可知B、C、D结论均正确,结论A不正确,故选A.,2.(2017课标,3,5分)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了20 14年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图. 根据该折线图,下列结论错误的是 ( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳,答案 A 本题考查统计,数据分析. 观察2014年的折线图,发现从8月至9月,以及10月开始的三个月接待游客量都是减少的,故A选 项是错误的.,3.(2017山东,8,5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件). 若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为 ( ) A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7,答案 A 由茎叶图,可得甲组数据的中位数为65,从而乙组数据的中位数也是65,所以y=5. 由乙组数据59,61,67,65,78,可得乙组数据的平均值为66, 故甲组数据的平均值也为66,从而有 =66,解得x=3.故选A.,4.(2016山东,3,5分)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频 率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5,30,样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),2 5,27.5),27.5,30.根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 ( ) A.56 B.60 C.120 D.140,答案 D 由频率分布直方图知200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1-(0.02+ 0.10)2.5=0.7,则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为2000.7=140,故 选D.,5.(2015课标,3,5分)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱 形图,以下结论中不正确的是( ) A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关,答案 D 由柱形图可知:A、B、C均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势,所 以排放量与年份负相关,D不正确.,方法指导 从柱形图中获取信息,结合选项来判断.,6.(2015湖北文,14,5分)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计, 发现消费金额(单位:万元)都在区间0.3,0.9内,其频率分布直方图如图所示. (1)直方图中的a= ; (2)在这些购物者中,消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为 .,答案 (1)3 (2)6 000,解析 (1)由频率分布直方图可知, 0.1(0.2+0.8+1.5+2.0+2.5+a)=1,解得a=3. (2)消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的频率为0.1(3.0+2.0+0.8+0.2)=0.6,所以所求购物者 的人数为0.610 000=6 000.,7.(2019课标全国理,17,12分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验: 将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子 溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出 残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:,记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值; (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).,解析 本题主要考查频率分布直方图的含义,以及用频率分布直方图估计样本的数字特征,通 过实际问题的应用考查学生的运算求解能力,考查了数学运算的核心素养,体现了应用意识. (1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35. b=1-0.05-0.15-0.70=0.10. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为 20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00.,方法总结 由频率分布直方图估计样本的数字特征: (xi表示第i个小矩形底边中点的横坐标,Si表示第i个小矩形的面积) 平均数 =x1S1+x2S2+xiSi+xnSn; 方差s2=(x1- )2S1+(x2- )2S2+(xn- )2Sn; 中位数:从左到右(或从右到左)小矩形面积之和等于0.5时的横坐标; 众数:最高小矩形底边中点的横坐标.,8.(2019课标全国文,19,12分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查 了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.,(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例; (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表).(精确到0.01) 附: 8.602.,解析 本题考查了统计的基础知识、基本思想和方法,考查学生对频数分布表的理解与应用, 考查样本的平均数,标准差等数字特征的计算方法,以及对现实社会中实际数据的分析处理能 力. (1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为 =0.21.,产值负增长的企业频率为 =0.02. 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值 负增长的企业比例为2%. (2) = (-0.102+0.1024+0.3053+0.5014+0.707)=0.30, s2= ni(yi- )2 = 2(-0.40)2+24(-0.20)2+5302+140.202+70.402=0.029 6, s= =0.02 0.17. 所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.,方法总结 利用频数分布表求平均数估计值的方法:各组区间中点值乘该组频数,并求和,再除 以样本容量.利用频数分布表求标准差估计值的方法:用各组区间中点值代表该组,代入标准差 公式即可.,9.(2018课标全国,19,12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和 使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下: 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表,使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表,(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图; (2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率; (3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水.(一年按365天计算,同一组中的数据以这组 数据所在区间中点的值作代表),解析 (1) (2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.20.1+10.1+ 2.6 0.1+20.05=0.48, 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48. (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 = (0.051+0.153+0.252+0.354+0.459+0.5526+0.655)=0.48. 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 = (0.051+0.155+0.2513+0.3510+0.4516+0.555)=0.35.,估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)365=47.45(m3).,易错警示 利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时,应注意: (1)最高的小长方形下底边中点的横坐标即是众数; (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的; (3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长 方形下底边中点的横坐标之和.,考点三 样本的数字特征,1.(2019课标全国理,5,5分)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的 成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原 始评分相比,不变的数字特征是 ( ) A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差,答案 A 本题考查样本数字特征的基本概念;以演讲比赛的评分为背景考查学生的数据处 理能力;充分考查了数据分析的核心素养. 根据中位数特征可知,去掉最高分和最低分后,只有中位数一定不会变化.故选A.,易错警示 学生对中位数、平均数、方差、极差的概念理解不清,从而导致出错.,2.(2019课标全国理,3,5分)西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典 文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调 查了100位学生,其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位,阅读过红楼梦的 学生共有80位,阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位,则该校阅读过西游 记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 ( ) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8,答案 C 本题主要考查用样本估计总体;考查学生对实际问题的处理能力和数据分析能力; 考查了数据分析的核心素养. 在样本中,仅阅读过西游记的学生人数为90-80=10,又由既阅读过西游记又阅读过 红楼梦的学生人数为60,得阅读过西游记的学生人数为10+60=70,所以在样本中,阅 读过西游记的学生人数所占的比例为 =0.7,即为该校阅读过西游记的学生人数与 该校学生总数比值的估计值.,解题关键 在样本中,由阅读过西游记或阅读过红楼梦的学生人数为90,阅读过 红楼梦的学生有80位,可得仅阅读过西游记的学生有10位是解决本题的关键.,3.(2017课标全国,2,5分)为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产 量(单位:kg)分别为x1,x2,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的 是 ( ) A.x1,x2,xn的平均数 B.x1,x2,xn的标准差 C.x1,x2,xn的最大值 D.x1,x2,xn的中位数,答案 B 本题考查样本的数字特征. 统计问题中,体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差.故选B.,方法总结 样本的平均数体现的是样本数据的平均水平,样本的方差和标准差体现的是样本 数据的稳定性.,4.(2019江苏,5,5分)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 .,答案,解析 本题主要考查样本的数字特征,考查学生数据处理能力,考查的核心素养是数据分析、 数学运算. = =8,s2= (6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2= .,解题关键 数据x1,x2,xn的平均数为 = ,方差为s2= (x1- )2+(x2- )2+(xn- )2, 准确记忆公式是解题关键.,5.(2016江苏,4,5分)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 .,答案 0.1,解析 = =5.1, 则该组数据的方差 s2= =0.1.,6.(2016四川,16,12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调 整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过 x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年1 00位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照0,0.5),0.5,1),4,4.5分成9组,制成了如图 所示的频率分布直方图. (1)求直方图中a的值; (2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由; (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.,解析 (1)由频率分布直方图知,月均用水量在0,0.5)中的频率为0.080.5=0.04, 同理,在0.5,1),1.5,2),2,2.5),3,3.5),3.5,4),4,4.5中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02. 由0.04+0.08+0.5a+0.20+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1, 解得a=0.30. (2)由(1)知,100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 0000. 12=36 000. (3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.880.85, 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.730.85,所以2.5x3. 由0.3(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9. 所以,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.,C组 教师专用题组,考点一 随机抽样,1.(2014天津,9,5分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽 样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年 级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4556,则应从一年级本科生中抽取 名学生.,答案 60,解析 300=60.,2.(2014湖北,11,5分)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800 件,采用分层抽样的方法从中 抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的 产品总数为 件.,答案 1 800,解析 设乙设备生产的产品总数为x件, 则 = , 50x=304 800-30x, 80x=304 800, x=1 800,故乙设备生产的产品总数为1 800件.,考点二 统计图表,1.(2015山东,6,5分)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中 14时的气温数据(单位:)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论:,甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温; 甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温; 甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差; 甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 由茎叶图中的数据通过计算求得 =29, =30,s甲= ,s乙= , s乙,故 正确.选B.,2.(2014山东,7,5分)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒 张压数据(单位:kPa)的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,将其按从左到右的顺 序分别编号为第一组,第二组,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知 第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为 ( ) A.6 B.8 C.12 D.18,答案 C 由题图可知,第一组和第二组的频率之和为(0.24+0.16)1=0.40,故该试验共选取的 志愿者有 =50人.所以第三组共有500.36=18人,其中有疗效的人数为18-6=12.,3.(2018江苏,3,5分)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打 出的分数的平均数为 .,答案 90,解析 本题考查茎叶图、平均数. 5位裁判打出的分数分别为89,89,90,91,91,则这5位裁判打出的分数的平均数为 (89+89+90+ 91+91)=90.,方法总结 要明确“茎”处数字是十位数字,“叶”处数字是个位数字,正确写出所有数据,再 根据平均数的概念进行计算.,4.(2016课标全国文,19,12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器 有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如 果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集 并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需,的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数. (1)若n=19,求y与x的函数解析式; (2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值; (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分 别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的 同时应购买19个还是20个易损零件?,解析 (1)当x19时,y=3 800; 当x19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700, 所以y与x的函数解析式为 y= (xN). (4分) (2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为 19. (5分) (3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上 的费用为3 800元,20台的费用为4 300元,10台的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损 零件上所需费用的平均数为 (3 80070+4 30020+4 80010)=4 000(元). (7分) 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费 用为4 000元,10台的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 (4 00090+4 50010)=4 050(元). (10分) 比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件. (12分),5.(2015安徽,17,12分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工, 根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为: 40,50),50,60),80,90),90,100. (1)求频率分布直方图中a的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率; (3)从评分在40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在40,50)的概率.,解析 (1)因为(0.004+a+0.018+0.0222+0.028)10=1,所以a=0.006. (2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)10=0.4,所以 该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4. (3)受访职工中评分在50,60)的有500.00610=3(人),记为A1,A2,A3; 受访职工中评分在40,50)的有500.00410=2(人),记为B1,B2. 从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是A1,A2,A1,A3,A1,B1,A1, B2,A2,A3,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B2,又因为所抽取2人的评分都在40,50)的结果 有1种,即B1,B2,故所求的概率为P= .,6.(2015课标,18,12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20 个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区: 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分 的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);,(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:,记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价 结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.,解析 (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:,通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散. (2)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”; CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”; CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”; CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1CB2CA2. P(C)=P(CB1CA1CB2CA2) =P(CB1CA1)+P(CB2CA2) =P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2). 由所给数据得CA1,CA2,CB1,CB2发生的频率分别为 , , , ,故P(CA1)= ,P(CA2)= ,P(CB1)= ,P(CB2)= ,P(C)= + =0.48.,思路分析 (1)将A、B地区数据逐一填入茎叶图,然后通过茎叶图作比较.(2)设出事件且指明 事件间的关系,利用相应概率公式得结论.,7.(2014课标,19,12分)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民.根据这 50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高),绘制茎叶图如下:,(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率; (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.,解析 (1)由所给茎叶图知,50位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第25,26位的是75,75, 故样本中位数为75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门 的评分由小到大排序,排在第25,26位的是66,68,故样本中位数为 =67,所以该市的市民对 乙部门评分的中位数的估计值是67. (2)由所给茎叶图知,50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为 =0.1, =0.16,故该 市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16. (3)解法一:由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数,而 且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差,说明该 市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大. 解法二:由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的平均数高于对乙部门的评分的平均数,而且由 茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于乙部门的评分的标准差,说明该市市民 对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大.,考点三 样本数字特征,1.(2014陕西,9,5分)设样本数据x1,x2,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1, 2,10),则y1,y2,y10的均值和方差分别为 ( ) A.1+a,4 B.1+a,4+a C.1,4 D.1,4+a,答案 A x1,x2,x10的均值 =1,方差 =4,且yi=xi+a(i=1,2,10),y1,y2,y10的均值 = (y1 +y2+y10)= (x1+x2+x10+10a)= (x1+x2+x10)+a= +a=1+a,其方差 = (y1- )2+(y2- )2+ +(y10- )2= (x1-1)2+(x2-1)2+(x10-1)2= =4.故选A.,2.(2015广东,17,12分)某工厂36名工人的年龄数据如下表.,(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年 龄数据为44,列出样本的年龄数据; (2)计算(1)中样本的均值 和方差s2;,(3)36名工人中年龄在 -s与 +s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?,解析 (1)由系统抽样,将36名工人分为9组(4人一组),每组抽取一名工人. 因为在第一分段里抽到的是年龄为44的工人,即编号为2的工人,故所抽样本的年龄数据为44,4 0,36,43,36,37,44,43,37. (2)均值 = =40; 方差s2= (44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2= . (3)由(2)可知s= .由题意,年龄在 内的工人共有23人,所占的百分比为 10 0%63.89%.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点一 随机抽样,1.(2017北京东城一模,2)某高校共有学生3 000人,其中大一学生有800人,现对大学生社团活动 情况进行抽样调查,用分层抽样的方法在全校抽取300人,那么应在大一学生中抽取的人数为 ( ) A.200 B.100 C.80 D.75,答案 C 设在大一学生中抽取的人数为x, 则用分层抽样的方法可得 = . x=80.故选C.,2.(2019清华中学生标准学术能力试卷文,14)某高中共有学生1 500名,各年级男、女生人数如 下表:,已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二年级男生的概率是0.18.现用分层抽样的方法在全校 抽取75名学生,问应在高三年级抽取 名学生.,答案 23,解析 高二年级男生有1 5000.18=270名,所以高三学生有460名,用分层抽样的方法在全校抽 取75名学生,因为全校共有学生1 500名,所以应在高三年级抽取23名学生.,3.(2018北京顺义二模,16)2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕,中国以1金6银2 铜的成绩结束本次冬奥会的征程.某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会 中国队表现”的满意度调查(结果只有“满意”和“不满意”两种),按分层抽样从被调查的 学生中随机抽取了11人,具体的调查结果如下表:,(1)若该班女生人数比男生人数多4人,求该班男生人数和女生人数; (2)在该班全体学生中随机抽取一名学生,由以上统计数据估计该生持满意态度的概率; (3)若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查,记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表 现”满意的人数为,求随机变量的分布列及其数学期望.,解析 (1)不妨设该班女生人数为X,男生人数为Y,则X-Y=4, 又由分层抽样可知, = , 联立可得X=24,Y=20. 故该班男生人数为20,女生人数为24. (2)设该生持满意态度为事件A,则基本事件的总数有11种,事件A中包含的基本事件有6种,所以 P(A)= . (3)的可能取值为0,1,2, =0对应的事件为从该班11名调查对象中抽取2人,2人中恰好有0人持满意态度, 基本事件的总数有 =55种,其中包含的基本事件有 =10种, 所以P(=0)= = , 同理P(=1)= = ,P(=2)= = , 所以的分布列为,所以数学期望E=0 +1 +2 = .,4.(2019北京门头沟一模文,17)在某区“创文明城区”(简称“创城”)活动中,教委对本区A,B, C,D四所高中学校按各校人数分层抽样,随机抽查了100人,将调查情况进行整理后制成下表:,(注:参与率是指一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值) 假设每名高中生是否参与“创城”活动是相互独立的. (1)若该区共2 000名高中生,估计A学校参与“创城”活动的人数; (2)在随机抽查的100名高中生中,随机抽取1名学生,求该生恰好没有参与“创城”活动的概 率; (3)在上表中从B、C两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人,求恰好B、C两校各有 1人没有参与“创城”活动的概率.,解析 (1)A学校总人数为50 =1 000人, A学校参与“创城”活动的人数为1 000 =800人. (2)设恰好该生没有参与“创城”活动这一事件为M, 则P(M)= = . (3)B学校这5人分别记为A1,A2,A3,A4,A5,C学校这1人记为B1,任取2人共A1A2,A1A3,A1A4,A1A5,A1B1,A2 A3,A2A4,A2A5,A2B1,A3A4,A3A5,A3B1,A4A5,A4B1,A5B115种情况, 设事件N为抽取2人中B,C两校各有1人没有参与“创城”活动,则P(C)= = .,考点二 统计图表,1.(2018北京海淀期末,4)下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学测试中 的选择题的成绩(单位:分,每道题5分,共8道题). 已知两组数据的平均数相等,则x,y的值可以分别为 ( ) A.0,0 B.0,5 C.5,0 D.5,5,答案 B 根据题意得 = y-x=5.结合各选项知选 B.,2.(2018北京昌平二模,17)为评估大气污染防治效果,调查区域空气质量状况,某调研机构从A,B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据,得到A,B两地区的空气质量指数(AQI),绘制如下频率 分布直方图: A地区,B地区 根据空气质量指数,将空气质量状况分为以下三个等级:,(1)试根据样本数据估计A地区当年(365天)的空气质量状况“优良”的天数; (2)若分别在A、B两地区上述20天中,且空气质量指数均不小于150的日子里随机各抽取一天, 求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.,解析 (1)从A地区选出的20天中随机选出一天,这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.008 +0.007)50=0.75,估计A地区当年(365天)的空气质量状况“优良”的频率为0.75,则A地区当年 (365天)的空气质量状况“优良”的天数约为3650.75274. (4分) (2)A地区20天中空气质量指数在150,200)内,有200.00350=3天,设为a1,a2,a3; 空气质量指数在200,250)内,有200.00150=1天,设为a4,B地区20天中空气质量指数在150,20 0)内,有200.00250=2天,设为b1,b2, 空气质量指数在200,250)内,有200.00350=3天,设为b3,b4,b5. 设“A,B两地区的空气质量等级均为重度污染”为事件C, 则基本事件空间=a1b1,a1b2,a1b3,a1b4,a1b5,a2b1,a2b2,a2b3,a2b4,a2b5,a3b1,a3b2,a3b3,a3b4,a3b5,a4b1,a4b2,a4b 3,a4b4,a4b5,共20个基本事件,C=a4b3,a4b4,a4b5,事件C包含3个基本事件, 所以A,B两地区在抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率P(C)= . (13分),3.(2019北京东城期末,16)某中学有学生500人,学校为了解学生的课外阅读时间,从中随机抽取 了50名学生,获得了他们某个月课外阅读时间的数据(单位:小时),将数据分为5组:10,12),12,1 4),14,16),16,18),18,20,整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的x的值; (2)试估计该校所有学生中,课外阅读时间不小于16小时的学生人数; (3)已知课外阅读时间在10,12)的样本学生中有3名女生,现从阅读时间在10,12)的样本学生中 随机抽取3人,记X为抽到女生的人数,求X的分布列与数学期望E(X).,解析 (1)由0.052+0.082+0.102+0.122+2x=1, 可得x=0.15. (3分) (2)课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.102+0.052=0.30. 所以可估计该校所有学生中,课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为5000.30=150. (6 分) (3)课外阅读时间在10,12)的学生的样本频率为0.082=0.16,所以阅读时间在10,12)的学生样 本人数为500.16=8, 8名学生为3名女生,5名男生, 随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3, P(X=0)= = ;P(X=1)= = ; P(X=2)= = ;P(X=3)= = . 所以X的分布列为,故X的期望E(X)=0 +1 +2 +3 = . (13分),考点三 样本的数字特征,1.(2017北京海淀二模,6)北京市2016年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示.由图判断,四个 季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是 ( ) A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度,答案 B 方差越小数据越稳定,由题图知,第二季度的三个月数据波动最小.,2.(2017北京东城二模,11)如图所示的茎叶图记录了甲,乙两班各六名同学一周的课外阅读时