（江苏专用）2020版高考数学一轮复习第四章三角函数4.4解三角形课件.pptx

4.4 解三角形,高考数学 (江苏省专用),A组 自主命题江苏卷题组,五年高考,考点一 正弦定理与余弦定理,1.(2016江苏,15,14分)在ABC中,AC=6,cos B= ,C= . (1)求AB的长; (2)求cos 的值.,解析 (1)因为cos B= ,0B, 所以sin B= = = . 由正弦定理知 = , 所以AB= = =5 . (2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C), 于是cos A=-cos(B+C)=-cos =-cos Bcos +sin Bsin , 又cos B= ,sin B= , 故cos A=- + =- . 因为0A,所以sin A= = . 因此,cos =cos Acos +sin Asin =- + = .,评析 本题主要考查正(余)弦定理、同角三角函数基本关系与两角和(差)的三角函数,考查运 算求解能力.,2.(2015江苏,15,14分)在ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60. (1)求BC的长; (2)求sin 2C的值.,解析 (1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=4+9-223 =7,所以BC= . (2)解法一:由正弦定理知, = , 所以sin C= sin A= = . 因为ABBC,所以C为锐角, 则cos C= = = . 因此sin 2C=2sin Ccos C=2 = . 解法二:由余弦定理得cos C= = , 因为C(0,),所以sin C= = , 因此sin 2C=2sin Ccos C=2 = .,考点二 解三角形及其综合应用,1.(2019江苏,15,14分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b= ,cos B= ,求c的值; (2)若 = ,求sin 的值.,解析 本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查 运算求解能力.满分14分. (1)因为a=3c,b= ,cos B= , 由余弦定理得cos B= ,得 = , 即c2= .所以c= . (2)因为 = , 由正弦定理 = ,得 = ,所以cos B=2sin B. 从而cos2B=(2sin B)2,即cos2B=4(1-cos2B), 故cos2B= . 因为sin B0,所以cos B=2sin B0,从而cos B= . 因此sin =cos B= .,2.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高 均为32 cm,容器的底面对角线AC的长为10 cm,容器的两底面对角线EG,E1G1的长分别 为14 cm和62 cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为 40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计) (1)将l放在容器中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度; (2)将l放在容器中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.,解析 (1)由正棱柱的定义,知CC1平面ABCD,所以平面A1ACC1平面ABCD,CC1AC. 记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处. 因为AC=10 ,AM=40, 所以MC= =30,从而sinMAC= . 记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1AC,Q1为垂足, 则P1Q1平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1= =16. 答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm. (如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm) (2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.,由正棱台的定义,知OO1平面EFGH, 所以平面E1EGG1平面EFGH,O1OEG. 同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O1OE1G1. 记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处. 过G作GKE1G1,K为垂足,则GK=OO1=32. 因为EG=14,E1G1=62,所以KG1= =24,从而GG1= = =40.,设EGG1=,ENG=, 则sin =sin =cosKGG1= . 因为 ,所以cos =- . 在ENG中,由正弦定理可得 = ,解得sin = . 因为0 ,所以cos = . 于是sinNEG=sin(-)=sin(+) =sin cos +cos sin = + = . 记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2EG,Q2为垂足,则P2Q2平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2= =20. 答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm. (如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20 cm),考点一 正弦定理与余弦定理,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,1.(2019课标全国文改编,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4 csin C,cos A=- ,则 = .,答案 6,解析 本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用;考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力; 考查的核心素养是数学运算与逻辑推理. 由正弦定理及asin A-bsin B=4csin C得a2-b2=4c2,由余弦定理可得cos A= = =- .所 以 =6.,2.(2019浙江,14,6分)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD = ,cosABD= .,答案 ;,解析 本题考查了两角差的余弦公式和正弦定理,通过解三角形考查了运算求解能力,通过长 度和角度的计算体现了数学运算的核心素养. 在BDC中,BC=3,sinBCD= ,BDC=45, 由正弦定理得 = ,则BD= = , 在ABD中,sinBAD= ,cosBAD= ,ADB=135, cosABD=cos180-(135+BAD)=cos(45-BAD)=cos 45cosBAD+sin 45sinBAD= = .,思路分析 在BCD中,由正弦定理求BD的值;cosABD的值可通过两角差的余弦公式求解.,解题反思 三角恒等变换和正弦定理、余弦定理是解三角形的基础知识,在熟练掌握的前提 下,应比较运算量大小,从而选取比较理想的解法.,3.(2019课标全国文,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B = .,答案 ,解析 本题考查正弦定理及三角函数求值,考查的核心素养为数学运算. 在ABC中,由已知及正弦定理得sin Bsin A+sin Acos B=0, sin A0,sin B+cos B=0, 即tan B=-1, 又B(0,),B= .,4.(2018课标全国理改编,6,5分)在ABC中,cos = ,BC=1,AC=5,则AB= .,答案 4,解析 本题考查二倍角公式和余弦定理. cos = ,cos C=2cos2 -1=2 -1=- , 又BC=1,AC=5, AB= = =4 .,5.(2018课标全国文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为 .,答案,解析 本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用以及三角形面积的求解. 由已知条件及正弦定理可得2sin Bsin C=4sin Asin Bsin C,易知sin Bsin C0,sin A= ,又b2+c 2-a2=8,cos A= = ,cos A0,cos A= ,即 = ,bc= , ABC的面积S= bcsin A= = .,解题关键 正确利用正弦定理将“边”转化为“角”,求出sin A是解决本题的关键.,6.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a= ,b=2,A=60,则sin B= ,c= .,答案 ;3,解析 本题考查正弦定理、余弦定理. 由 = 得sin B= sin A= , 由a2=b2+c2-2bccos A,得c2-2c-3=0,解得c=3(舍负).,7.(2017课标全国文,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b= ,c=3,则 A= .,答案 75,解析 由正弦定理得 = ,sin B= , 又cb,B=45,A=75.,8.(2017课标全国文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= .,答案 60,解析 解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B= sin(180-B),可得B=60. 解法二:由余弦定理得2b =a +c ,即b =b,所以a2+c2-b2 =ac,所以cos B= ,又0B180,所以B=60.,9.(2017课标全国文改编,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= ,则C= .,答案,解析 本题考查正弦定理和两角和的正弦公式. 在ABC中,sin B=sin(A+C),则sin B+sin A(sin C-cos C) =sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0, 即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0, cos Asin C+sin Asin C=0,sin C0,cos A+sin A=0, 即tan A=-1,即A= . 由 = 得 = ,sin C= , 又0C ,C= .,方法总结 解三角形问题首先要熟悉正弦定理、余弦定理;其次还要注意应用三角形内角和 定理,以达到求解三角函数值时消元的目的,例如本题中sin B=sin(A+C)的应用.,10.(2016课标全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A= ,cos C= ,a=1, 则b= .,答案,解析 由cos C= ,0C,得sin C= . 由cos A= ,0A,得sin A= . 所以sin B=sin-(A+C)=sin(A+C) =sin Acos C+sin Ccos A= , 根据正弦定理得b= = .,思路分析 利用同角三角函数的平方关系求出sin A与sin C的值,进而由sin B=sin(A+C)求出 sin B的值,再利用正弦定理即可求出b的值.,11.(2019北京文,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=- . (1)求b,c的值; (2)求sin(B+C)的值.,解析 本题主要考查余弦定理及其推论的应用,旨在考查学生在解三角形中的运算求解能力, 以求三角形边为背景考查数学运算的核心素养和方程思想. (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得b2=32+c2-23c . 因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c . 解得c=5.所以b=7. (2)由cos B=- 得sin B= . 由正弦定理得sin A= sin B= . 在ABC中,B+C=-A.所以sin(B+C)=sin A= .,12.(2019天津理,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4 asin C. (1)求cos B的值; (2)求sin 的值.,解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式, 以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.体现了对数学运算这一核心素养的 重视. (1)在ABC中,由正弦定理 = ,得bsin C=csin B, 又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a. 又因为b+c=2a,得到b= a,c= a. 由余弦定理可得cos B= = =- . (2)由(1)可得sin B= = , 从而sin 2B=2sin Bcos B=- ,cos 2B=cos2B-sin2B=- , 故sin =sin 2Bcos +cos 2Bsin =- - =- .,思路分析 (1)由已知边角关系:3csin B=4asin C利用正弦定理,得三边比例关系,根据余弦定理 即可求出cos B. (2)由(1)利用同角三角函数基本关系式,求出sin B,再由二倍角公式求出sin 2B、cos 2B,代入两 角和的正弦公式即可求出sin 的值.,易错警示 角B为三角形内角,故sin B0,由cos B求sin B仅有一正解.,13.(2019课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A- sin Bsin C. (1)求A; (2)若 a+b=2c,求sin C.,解析 本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运 算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算. (1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc. 由余弦定理得cos A= = . 因为0A180,所以A=60. (2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得 sin A+sin(120-C)=2sin C, 即 + cos C+ sin C=2sin C,可得cos(C+60)=- . 由于0C120,所以sin(C+60)= , 故sin C=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60= .,思路分析 (1)先借助正弦定理将角化为边,然后利用余弦定理求出角A的余弦值,进而得出角 A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角C的正 弦、余弦的等式,利用角度变换求出sin C.,考点二 解三角形及其综合应用,1.(2019课标全国理,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B= ,则 ABC的面积为 .,答案 6,解析 本题考查解三角形,余弦定理,三角形面积公式;通过余弦定理和三角形面积公式的运用 考查推理论证能力和运算求解能力;考查的核心素养为逻辑推理和数学运算. 由b2=a2+c2-2accos B及已知得62=(2c)2+c2-22cc , c=2 (c=-2 舍去). a=2c=4 ,ABC的面积S= acsin B= 4 2 =6 .,2.(2018课标全国理改编,9,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为 ,则C= .,答案,解析 本题考查解三角形及其综合应用. 根据余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,因为SABC= ,所以SABC= ,又SABC= absin C,所以tan C=1,因为C(0,),所以C= .,3.(2016课标全国改编,9,5分)在ABC中,B= ,BC边上的高等于 BC,则sin A= .,答案,解析 解法一:过A作ADBC于D,设BC=a,由已知得AD= ,B= ,AD=BD,BAD= , BD= ,DC= a,tanDAC= =2. tanBAC=tan = = =-3. cos2BAC= = , sinBAC= = . 解法二:过A作ADBC于D,设BC=a,由已知得AD= ,B= ,AD=BD,BD=AD= ,DC= a,AC= = a,在ABC中,由正弦定理得 = ,sinBAC= .,4.(2015课标全国,16,5分)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围 是 .,答案 ( - , + ),解析 如图,依题意作出四边形ABCD,连接BD.令BD=x,AB=y,CDB=,CBD=.在BCD中, 由正弦定理得 = .由题意可知,ADC=135,则ADB=135-.在ABD中,由正弦定 理得 = ,所以 = ,即y= = = = . 因为075,+75=180,所以30105, 当=90时,易得y= ; 当90时,y= = ,又tan 30= ,tan 105=tan(60+45)= =-2- ,结合正切函数的性质知, ( -2, ),且 0,所以y= ( - , )( , + ). 综上所述,y( - , + ).,5.(2018北京理,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cos B=- . (1)求A; (2)求AC边上的高.,解析 (1)在ABC中,因为cos B=- ,所以sin B= = . 由正弦定理得sin A= = . 由题设知 B,所以0A . 所以A= . (2)在ABC中, 因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= , 所以AC边上的高为asin C=7 = .,方法总结 处理与解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分 析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通 过解方程求出边或角.,6.(2018天津文,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos . (1)求角B的大小; (2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.,解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余 弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力. (1)在ABC中,由 = ,可得bsin A=asin B,又由bsin A=acos ,得asin B=acos ,即sin B=cos ,可得tan B= .又因为B(0,),所以B= . (2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B= ,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b= . 由bsin A=acos ,可得sin A= . 因为ac,故cos A= . 因此sin 2A=2sin Acos A= ,cos 2A=2cos2A-1= . 所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B= - = .,方法总结 在三角关系式中,有边有角时,要利用正弦定理进行边角互化.,7.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为 . (1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.,解析 本题考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式及其综合应用. (1)由题设得 acsin B= ,即 csin B= . 由正弦定理得 sin Csin B= . 故sin Bsin C= . (2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=- , 即cos(B+C)=- . 所以B+C= ,故A= . 由题设得 bcsin A= ,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c= . 故ABC的周长为3+ .,方法总结 解三角形的综合应用. (1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计 算,例如:将 csin B= 变形为 sin Csin B= . (2)三角形面积公式:S= absin C= acsin B= bcsin A. (3)三角形的内角和为.这一性质经常在化简中起到消元的作用,例如:在ABC中,sin(B+C)= sin A.,8.(2017课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2 . (1)求cos B; (2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.,解析 (1)由题设及A+B+C=得sin B=8sin2 , 故sin B=4(1-cos B). 上式两边平方,结合sin2B=1-cos2B, 整理得17cos2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去)或cos B= . (2)由cos B= 得sin B= ,故SABC= acsin B= ac. 又SABC=2,则ac= . 由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2 =4. 所以b=2.,解后反思 在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要重视“整体运算”的技巧.如本题 中b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的转化就说明了这一点.,9.(2017课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+ cos A=0,a=2 ,b=2. (1)求c; (2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.,解析 (1)由已知可得tan A=- ,所以A= . 在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos , 即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去)或c=4. (2)解法一:由题设可得CAD= , 所以BAD=BAC-CAD= . 故 = =1. SABC= 42sinBAC=2 , 所以ABD的面积为 . 解法二:由余弦定理得cos C= ,在RtACD中,cos C= , CD= ,AD= ,DB=CD= , SABD=SACD= 2 sin C= = .,解法三:同解法一得BAD= ,由余弦定理得cos C= ,CD= ,AD= ,SABD= 4 sinDAB= . 解法四:过B作BEAD,交AD的延长线于E,在ABE中,EAB= - = ,AB=4,BE=2,BE= CA,从而可得ADCEDB,BD=DC,即D为BC中点,SABD= SABC= 24sinCAB = .,10.(2015课标全国,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面 积的2倍. (1)求 ; (2)若AD=1,DC= ,求BD和AC的长.,解析 (1)SABD= ABADsinBAD, SADC= ACADsinCAD. 因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得 = = . (2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD= . 在ABD和ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB, AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1.,思路分析 (1)SABD与SADC的比值AB与AC的比值,再由正弦定理求得 . (2)由SABD与SADC的比值确定BD的长.ACD中,AC2=12+ -21 cosADC, ABD中,AB2=12+( )2-21 cos(-ADC). 将联立消去cosADC,得到一个AC2与AB2的等量关系,将AB=2AC代入,解方程即可.,评析 本题考查正弦定理,余弦定理的应用,以及三角形的面积公式.属常规题,中等偏易.,考点一 正弦定理与余弦定理,C组 教师专用题组,1.(2014课标全国改编,4,5分)钝角三角形ABC的面积是 ,AB=1,BC= ,则AC= .,答案,解析 SABC= ABBCsin B= 1 sin B= , sin B= ,若B=45,则由余弦定理得AC=1,则ABC为直角三角形,不符合题意,因此B=135, 由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=1+2-21 =5,AC= .,思路分析 利用SABC= ABBCsin B求出sin B的值,进而分析出B的大小,再利用余弦定理求解 AC的值.,2.(2014课标全国,17,12分)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求C和BD; (2)求四边形ABCD的面积.,解析 (1)由题设及余弦定理得 BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C =13-12cos C, BD2=AB2+DA2-2ABDAcos A =5+4cos C. 由,得cos C= ,故C=60,BD= . (2)四边形ABCD的面积 S= ABDAsin A+ BCCDsin C = sin 60 =2 .,评析 本题考查余弦定理的应用和四边形面积的计算,考查运算求解能力和转化的思想,把四 边形分割成两个三角形是求面积的常用方法.,3.(2011江苏,15,14分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若sin =2cos A,求A的值; (2)若cos A= ,b=3c,求sin C的值.,解析 (1)由题设知sin Acos +cos Asin =2cos A. 从而sin A= cos A,所以cos A0,tan A= . 因为0A,所以A= . (2)由cos A= ,b=3c及a2=b2+c2-2bccos A,得a2=b2-c2. 故ABC是直角三角形,且B= .所以sin C=cos A= .,考点二 解三角形及其综合应用,1.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一 山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为 30,则此山的高度CD= m.,答案 100,解析 依题意有AB=600,CAB=30, CBA=180-75=105,DBC=30,DCCB. ACB=45, 在ABC中,由 = , 得 = , 有CB=300 , 在RtBCD中,CD=CBtan 30=100 , 则此山的高度CD=100 m.,2.(2014江苏,14,5分)若ABC的内角满足sin A+ sin B=2sin C,则cos C的最小值是 .,答案,解析 设ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. sin A+ sin B=2sin C, 由正弦定理得a+ b=2c, cos C= = = = = , 当且仅当 a= b时等号成立, 故cos C的最小值为 .,3.(2014四川,13,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67,30,此时 气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等于 m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考 数据:sin 670.92,cos 670.39,sin 370.60,cos 370.80, 1.73),答案 60,解析 不妨设气球A在地面的投影为点D,则AD=46 m,于是BD=ADtan(90-67)=46 =1 9.5 m,DC=ADtan(90-30)=46 79.6 m,BC=DC-BD=79.6-19.560 m.,4.(2014课标全国,16,5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A 点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60 .已知山高BC=100 m,则山高MN= m.,答案 150,解析 在RtABC中,CAB=45,BC=100 m,所以AC=100 m. 在AMC中,MAC=75,MCA=60,从而AMC=45, 由正弦定理得, = ,因此AM=100 m. 在RtMNA中,AM=100 m,MAN=60, 由 =sin 60得MN=100 =150 m,故填150.,思路分析 ABC中,由条件利用直角三角形中的边角关系求得AC;AMC中,由条件利用正 弦定理求得AM;RtAMN中,根据MN=AMsinMAN求得结果.,5.(2012课标,16,5分)在ABC中,B=60,AC= ,则AB+2BC的最大值为 .,答案 2,解析 设AC=b= ,AB=c,BC=a, 在ABC中, = = =2, a=2sin A,c=2sin C,又A+C=120, AB+2BC=c+2a=2sin C+4sin A=2sin C+4sin(120-C) =4sin C+2 cos C=2 sin(C+), 其中sin = ,cos = , 3060,而0C120, 30+C180,当C+=90时,AB+2BC有最大值2 .,失分警示 没有找到由正弦定理将AB+2BC转化为角A和角C的正弦的思路,导致无从下手,无 法得出正确的结果.,6.(2010江苏,13,5分)在锐角三角形ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c, + =6cos C,则 + = .,答案 4,解析 解法一:因为 + =6cos C=6 , 所以a2+b2= c2, 所以 + = + = = = = = =4. 解法二:因为 + =6cos C,所以 + =6cos C, 即 + =6, 从而 + =2+ + =6, 故 + =4.,7.(2019北京理,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=- . (1)求b,c的值; (2)求sin(B-C)的值.,解析 本题主要考查正弦、余弦定理,同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式等知识 点,考查学生的运算能力,以及利用方程思想解决数学问题的能力,同时体现了直观想象的核心 素养. (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得 b2=32+c2-23c . 因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c . 解得c=5.所以b=7. (2)由cos B=- 得sin B= . 由正弦定理得sin C= sin B= . 在ABC中,B是钝角,所以C为锐角. 所以cos C= = . 所以sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C= .,8.(2015湖南,17,12分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角. (1)证明:B-A= ; (2)求sin A+sin C的取值范围.,解析 (1)证明:由a=btan A及正弦定理,得 = = ,所以sin B=cos A,即sin B=sin . 又B为钝角,因此 +A ,故B= +A,即B-A= . (2)由(1)知,C=-(A+B)=- = -2A0, 所以A . 于是sin A+sin C=sin A+sin =sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1 =-2 + . 因为0A ,所以0sin A , 因此 -2 + . 由此可知sin A+sin C的取值范围是 .,评析 本题以解三角形为背景,考查三角恒等变形及三角函数的图象与性质,对考生思维的严 谨性有较高要求.,9.(2015四川,19,12分)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角. (1)证明:tan = ; (2)若A+C=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan +tan +tan +tan 的值.,解析 (1)证明:tan = = = . (2)由A+C=180,得C=180-A,D=180-B. 由(1),有tan +tan +tan +tan = + + + = + . 连接BD. 在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2ABADcos A, 在BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C, 所以AB2+AD2-2ABADcos A=BC2+CD2+2BCCDcos A. 则cos A= = = . 于是sin A= = = .,连接AC.同理可得 cos B= = = , 于是sin B= = = . 所以,tan +tan +tan +tan = + = + = .,评析 本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识, 考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化等数学思想.,10.(2013江苏,18,16分,0.430)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是 从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C. 现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘 缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min, 山路AC长为1 260 m,经测量,cos A= ,cos C= . (1)求索道AB的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?,解析 (1)在ABC中,因为cos A= ,cos C= , 所以sin A= ,sin C= . 从而sin B=sin-(A+C) =sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C = + = . 由 = ,得 AB= sin C= =1 040(m). 所以索道AB的长为1 040 m. (2)设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d m,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所 以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t) =200(37t2-70t+50),因0t ,即0t8, 故当t= min时,甲、乙两游客距离最短. (3)由 = ,得BC= sin A= =500(m). 乙从B出发时,甲已走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3 - 3, 解得 v ,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应 控制在 (单位:m/min)范围内.,评析 本题考查正、余弦定理,二次函数的最值以及两角和的正弦等基础知识和基本技能,考 查学生阅读能力和分析、解决实际问题的能力.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点一 正弦定理与余弦定理,1.(2018南通调研,6)在ABC中,已知AB=1,AC= ,B=45,则BC的长为 .,答案,解析 cos B= ,即 = , 化简得BC2- BC-1=0, 解得BC= (负值舍去).,2.(2019七市第二次调研)在ABC中,已知C=120,sin B=2sin A,且ABC的面积为2 ,则AB的 长为 .,答案 2,解析 因为sin B=2sin A,所以由正弦定理,得b=2a,所以S= absin 120= a2=2 ,解得a=2,b= 4,则AB=c= = =2 .,评析 本题考查正弦、余弦定理以及面积公式,利用边角关系解得AB边长,难度不大.,3.(2019金陵中学调研,7)在ABC中,已知AB=3,BC=7,A=120,则ABC的面积为 .,答案,解析 根据余弦定理知 BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120, 即49=9+AC2-23AC , AC2+3AC-40=0, AC=5或AC=-8(舍), SABC= ABACsin A= 35 = .,4.(2019苏锡常镇四市教学情况调查一,11)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知5a=8 b,A=2B,则sin = .,答案,解析 5a=8b,A=2B5sin 2B=8sin Bsin B= ,cos B= ,sin A= ,cos A= ,sin = (sin A-cos A)= .,5.(2019扬州中学检测,6)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=2bc,sin C=3sin B,则 A= .,答案,解析 由sin C=3sin B及正弦定理得c=3b,代入a2-b2=2bc得a2=7b2,则cos A= = = ,又A(0,),A= .,6.(2019南通、如皋二模,9)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,b=3,C=2A,则cos C的 值为 .,答案,解析 因为C=2A,所以sin C=sin 2A,即sin C=2sin Acos A,由正弦定理,得c=2acos A,所以cos A= = , 由余弦定理,得cos A= = = ,解得c2=10, 故cos C= = = .,考点二 解三角形及其综合应用,1.(2019常州期末,12)平面内不共线的三点O,A,B满足| |=1,| |=2,点C为线段AB的中点, AOB的平分线交线段AB于点D,若| |= ,则| |= .,答案,解析 如图,点C为线段AB的中点, = ( + ), 则 = ( + +2 )= (1+4+212cosAOB)= , 解得cosAOB=- ,AOB=120, 由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OAOBcos 120=7,则AB= , 在AOB中,由正弦定理得 = ,故sin A= . 在AOD中,由正弦定理得 = ,AD= = ,AOD=60,| |= .,思路分析 由点C为线段AB的中点可得 = ( + ),通过计算 求得AOB,由正弦定 理可得 = , = ,即可求解.,2.(2017苏锡常镇四市调研二,11)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos A=2c- a,则 角B的大小为 .,答案,解析 解法一:因为2bcos A=2c- a,所以由余弦定理得2b =2c- a,即b2-a2=c2- ac,所以cos B= = ,因为B(0,),所以B= . 解法二:因为2bcos A=2c- a,所以由正弦定理得2sin Bcos A=2sin C- sin A=2sin(A+B)- sin A=2sin Acos B+2cos Asin B- sin A,故2cos Bsin A= sin A,因为sin A0,所以cos B= ,因为 B(0,),所以B= .,3.(2019七大市三模,15)在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对边的长,a(sin A-sin B)=(c-b)(sin B+ sin C). (1)求角C的值; (2)若a=4b,求sin B的值.,解析 (1)在ABC中,a(sin A-sin B)=(c-b)(sin B+sin C),由正弦定理得a(a-b)=(b+c)(c-b), (3分) 即a2+b2-c2=ab, 由cos C= ,得cos C= . (5分) 又因为0C,所以C= . (7分) (2)解法一:因为a=4b且a2+b2-c2=ab, 所以c2=16b2+b2-4b2=13b2,即c= b, (10分) 由正弦定理得 = ,即 = , 所以sin B= . (14分) 解法二:由正弦定理及a=4b得sin A=4sin B. 由A+B+C=,得sin(B+C)=sin A=4sin B, 因为C= ,所以 sin B+ cos B=4sin B, 即7sin B= cos B. (11分),又因为sin2B+cos2B=1,所以sin2B= , 因为在ABC中,sin B0,所以sin B= . (14分),4.(2019南通通州、海门联考,16)在ABC中,已知sin2A-sin2B=(sin A-sin C)sin C. (1)求内角B的大小; (2)若cos A= ,求sin 2C的值.,解析 (1)在ABC中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c, 由 = = 及sin2A-sin2B=(sin A-sin C)sin C,得a2-b2=ac-c2,即a2+c2-b2=ac, (2分) 由余弦定理得cos B= = , (4分) 因为0B,所以B= . (6分) (2)解法一:因为在ABC中,cos A= , 所以sin A= = , (8分) 所以sin 2A=2sin Acos A= , (10分) cos 2A=cos2A-sin2A=- , (12分) 而2C=2 = -2A, 所以sin 2C=sin =sin cos 2A-cos sin 2A,=- - = . (14分) 解法二:因为在ABC中,cos A= , 所以sin A= = , (8分) 所以sin C=sin =sin Acos +cos Asin = , (10分) cos C=-cos =-cos Acos +sin Asin = . (12分) 所以sin 2C=2sin Ccos C= . (14分) (当然这里求cos C时也可以用sin2C+cos2C=1,但要判断角C的范围),一、填空题(每小题5分,共40分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：40分钟 分值：70分),1.(2019南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学联考,11)如图,在平行四边形ABCD中,已知 AB=2,AD=1, =5,则cosCAB= .,答案,解析 四边形ABCD为平行四边形,且AD=1, BC=AD=1, =ABACcosCAB=5,且AB=2, ACcosCAB= . 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcosCAB, 12=22+AC2-22 ,则AC= .cosCAB= .,2.(2019扬州中学检测,13)在ABC中,若tan Atan C+tan Atan B=5tan Btan C,则sin A的最大值为 .,答案,解析 已