2019_20学年高中数学第4章函数应用4.1.1利用函数性质判定方程解的存在课件北师大版必修.pptx

1.1 利用函数性质判定方程解的存在,一,二,一、函数的零点 1.函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点. 2.函数f(x)的零点就是方程 f(x)=0的解. 【做一做1】 函数y=x2+2x-8的零点为( ) A.(-4,0),(2,0) B.-4,2 C.-4 D.2 解析:根据零点的定义,令y=x2+2x-8=0. 解得x1=-4,x2=2.所以零点为-4,2. 答案:B,一,二,二、函数零点的存在性定理 若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即 f(a)f(b)0,且f(x)在(0,+)上为增函数,所以零点一定位于区间(3,4),故选B. 答案:B,一,二,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)零点就是函数图像与x轴的交点. ( ) (2)二次函数有可能有三个零点. ( ) (3)若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图像是连续曲线,且满足f(a)f(b)0,则零点不一定只有一个,也可能有多个. ( ) (4)若函数f(x)在闭区间a,b上的图像是连续曲线,且在区间(a,b)内至少有一个零点,但不一定有f(a)f(b)0. ( ) (5)若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图像不是连续曲线,则当f(a)f(b)0时,f(x)在区间(a,b)内一定有零点. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,规范答题,求函数的零点 【例1】 求下列函数的零点: (1)f(x)=x2+3x-4; (2)f(x)= -4x; (3)f(x)=1+log3x. 分析:函数解析式均已给出,可用代数法求函数的零点. 解:(1)令f(x)=x2+3x-4=0,得x=-4或x=1,所以函数零点为-4和1.,探究一,探究二,探究三,规范答题,求函数零点的方法通常有两种: (1)代数法,求f(x)的零点,就是解方程f(x)=0,方程的实数根就是函数的零点.其中解分式方程、根式方程、对数方程时要注意验根,保证方程有意义,避免增解; (2)几何法,求f(x)的零点,就是求f(x)的图像与x轴交点的横坐标.,探究一,探究二,探究三,规范答题,变式训练1(1)函数f(x)=x2-2x+a有两个不同的零点,则实数a的取值范围是 . (2)求函数f(x)=4x-16的零点. (1)解析:由题意可知,方程x2-2x+a=0有两个不同的解,故=4-4a0,即a1. 答案:(-,1) (2)解:令4x-16=0,得4x=42,解得x=2,所以函数的零点为x=2.,探究一,探究二,探究三,规范答题,函数零点个数的判断 【例2】 判断下列函数零点的个数: (1)f(x)=(x2-4)log2x; (2)f(x)=x2- ; (3)f(x)=2x+lg(x+1)-2. 解:(1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0, 解得x=2或x=1. 又因为函数定义域为(0,+),所以x=-2不是函数的零点,故函数有2和1两个零点.,探究一,探究二,探究三,规范答题,探究一,探究二,探究三,规范答题,(3)(方法一)f(0)=1+0-2=-10, f(x)=0在(0,2)上必定存在实根. 又显然f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+)上为增函数,故f(x)有且只有一个实根,即f(x)只有一个零点. (方法二) 在同一坐标系中作出函数h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的图像如图所示. 由图像知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x有且只有一个交点, 即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.,探究一,探究二,探究三,规范答题,判断函数零点个数的三种方法 (1)利用方程的根,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点. (2)画出y=f(x)的图像,判断它与x轴交点的个数,从而判断零点的个数. (3)转化为两个函数图像交点问题. 例如,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点个数就是方程f(x)=g(x)的实数根的个数,也就是函数y=f(x)的图像与y=g(x)的图像交点的个数.,探究一,探究二,探究三,规范答题,探究一,探究二,探究三,规范答题,答案:(1)C (2)1,探究一,探究二,探究三,规范答题,函数零点性质的应用 【例3】设函数f(x)=ax+3a+1(a0)在-2x2上存在一个零点,求实数a的取值范围. 分析:函数f(x)为关于x的一次函数,当它穿过零点时,函数值变号. 解:f(x)=ax+3a+1(a0)在区间-2,2上存在零点,f(-2)f(2)0, (-2a+3a+1)(2a+3a+1)0, 即(a+1)(5a+1)0.,探究一,探究二,探究三,规范答题,1.由于一次函数一定是单调函数,因此当一次函数y=f(x)在a,b上存在零点时,一定有f(a)f(b)0. 2.本题中涉及一元二次不等式的解法,解一元二次不等式可以借助一元二次不等式对应的函数图像(当一元二次不等式小于等于0时,其图像在x轴下方的自变量的取值范围就是其解集),也可以将一元二次不等式因式分解后变为g(x)h(x)0,则不等式等价于,探究一,探究二,探究三,规范答题,变式训练3当实数a取何值时,方程ax2-2x+1=0的一个根在(0,1)上,另一个根在(1,2)上? 解:当a=0时,方程即为-2x+1=0,只有一个根,不符合题意. 当a0时,设f(x)=ax2-2x+1, 因为方程的根分别在区间(0,1),(1,2)上,探究一,探究二,探究三,规范答题,二次函数的零点综合问题 【典例】 已知二次函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5. (1)当函数f(x)有两个不同零点时,求k的取值范围; (2)若-1和-3是函数的两个零点,求k的值; (3)若函数的两个不同零点是,求2+2关于k的关系式h(k). 分析:本题考查对二次函数零点的理解及零点的性质.本题中的函数f(x)是二次函数,因此其零点的判断和零点的性质问题可以转化为二次方程根的判断或根的性质.,探究一,探究二,探究三,规范答题,探究一,探究二,探究三,规范答题,1.若二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根是x1,x2,也可以说x1,x2是f(x)=ax2+bx+c的两个零点,则有 . 2.本题中如果忽视,将会影响2+2的范围而导致出错.,1,2,3,4,5,6,1.如下图四个函数图像,在区间(-,0)内存在零点的函数是( ),解析:在区间(-,0)内,只有B中的函数图像与x轴的负半轴有交点. 答案:B,1,2,3,4,5,6,答案:C,1,2,3,4,5,6,3.若函数f(x)的图像在R上连续不断,且满足f(0)0,f(2)0,则下列说法正确的是( ) A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点 解析:根据零点的判断方法,因为f(0)f(1)0,所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上无法确定是否存在零点.如图所示,图中区间(1,2)上有零点,但图中区间(1,2)上无零点. 答案