（课标专用）2020届高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本不等式及不等式的应用课件.pptx

7.3 基本不等式及不等式的应用,高考文数(课标专用),考点一 利用基本不等式求最值 1.(2015湖南,7,5分)若实数a,b满足 + = ,则ab的最小值为 ( ) A. B.2 C.2 D.4,五年高考,答案 C 依题意知a0,b0,则 + 2 = ,当且仅当 = ,即b=2a时,“=”成立.因为 + = ,所以 ,即ab2 ,所以ab的最小值为2 ,故选C.,2.(2019天津,13,5分)设x0,y0,x+2y=4,则 的最小值为 .,答案,解析 本题主要考查基本不等式的运用.考查学生对基本不等式及其简单变形使用条件的掌 握程度,以及学生的推理、运算能力. = = =2+ . x0,y0,4=x+2y2 ,解得0xy2,当且仅当x=2y=2,即x=2且y=1时“=”成立.此时 ,2+ 2+ = ,故 的最小值为 .,思路分析 首先将分子展开,并把已知条件x+2y=4代入,则原式化简为2+ ,注意到x与2y的和 为定值,用基本不等式即可求xy的最大值,最终得到原式的最小值,在此应特别注意基本不等式 的使用条件“一正、二定、三相等”,注意等号是否成立.,3.(2018天津,13,5分)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+ 的最小值为 .,答案,解析 本题主要考查运用基本不等式求最值. a-3b+6=0,a-3b=-6, 2a+ =2a+2-3b2 =2 =2 = . 当且仅当2a=2-3b,即a=-3,b=1时,2a+ 取得最小值,为 .,易错警示 利用基本不等式求最值应注意的问题: (1)利用基本不等式求最值的前提是“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中 “正”“定”“等”的条件.,4.(2017山东,12,5分)若直线 + =1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 .,答案 8,解析 由题设可得 + =1,a0,b0, 2a+b=(2a+b) =2+ + +24+2 =8 . 故2a+b的最小值为8.,5.(2017天津,13,5分)若a,bR,ab0,则 的最小值为 .,答案 4,解析 本题考查基本不等式的应用. a4+4b42a22b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立), =4ab+ , 由于ab0,4ab+ 2 =4 当且仅当4ab= 时“=”成立 , 故当且仅当 时, 的最小值为4.,规律方法 利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须 一致.,6.(2015重庆,14,5分)设a,b0,a+b=5,则 + 的最大值为 .,答案 3,解析 解法一:令t= + , 则t2=( + )2=a+1+b+3+2 9+a+1+b+3=18,当且仅当 = , 即a= ,b= 时,等号成立.即t的最大值为3 . 解法二:设 =m, =n,则m,n均大于零, 因为m2+n22mn,所以2(m2+n2)(m+n)2, 所以m+n , 所以 + =3 , 当且仅当 = , 即a= ,b= 时,“=”成立, 所以所求最大值为3 .,考点二 基本不等式的应用 1.(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+ (x0)上的一个动点,则点P到直线 x+y=0的距离的最小值是 .,答案 4,解析 本题通过曲线y=x+ (x0)上的动点到直线的最小距离考查点到直线的距离公式、基 本不等式等有关知识,利用点到直线的距离公式变形考查学生的运算求解能力,体现了从几何 关系到代数关系的直观想象和数学运算的核心素养. 设P ,x00,则点P到直线x+y=0的距离d= = 4,当且仅当x0= , 即x0= 时取“=”. 故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.,一题多解 当点P到直线x+y=0的距离最小时,在点P处的切线与直线x+y=0平行. 设P ,x00,易知y=1- , 令1- =-1,得 =2. x00,x0= ,P( ,3 ). 此时点P到直线x+y=0的距离为 =4. 故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.,2.(2018江苏,13,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交 AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为 .,答案 9,一题多解1 作DECB交AB于E,BD为ABC的平分线, = = ,DECB, = = = , = , = . = + . = , 1= + +2 | | | ,1= ,ac=a+c, + =1, 4a+c=(4a+c) =5+ + 9,当且仅当 = ,即a= ,c=3时取“=”.,3.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总 存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .,答案 30,解析 设总费用为y万元, 则y= 6+4x=4 240. 当且仅当x= ,即x=30时,等号成立.,1.(2015福建,5,5分)若直线 + =1(a0,b0)过点(1,1),则a+b的最小值等于 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,教师专用题组,答案 C 因为直线 + =1(a0,b0)过点(1,1),所以 + =1.所以a+b=(a+b) =2+ + 2+2 =4,当且仅当a=b=2时取“=”,故选C.,2.(2015山东,14,5分)定义运算“”:xy= (x,yR,xy0).当x0,y0时,xy+(2y)x的 最小值为 .,答案,解析 xy+(2y)x= + = = = + , x0,y0, + 2 = , 当且仅当 = ,即x= y时等号成立,故所求最小值为 .,考点一 利用基本不等式求最值,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2017河南平顶山一模,6)若对于任意的x0,不等式 a恒成立,则实数a的取值范围 为 ( ) A.a B.a C.a D.a,答案 A 由x0,得 = = ,当且仅当x=1时,等号成立.则a ,故选 A.,2.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考,5)已知正项等比数列an的公比为 3,若aman=9 ,则 + 的最小值等于 ( ) A.1 B. C. D.,答案 C 正项等比数列an的公比为3,且aman=9 , a23m-2a23n-2= 3m+n-4=9 =32 , m+n=6, 又m,nN*, + = (m+n) = = ,当且仅当m=2n,即m=4,n=2时取 等号. 故选C.,3.(2017河南许昌二模,8)已知x,y均为正实数,且 + = ,则x+y的最小值为 ( ) A.24 B.32 C.20 D.28,答案 C x,y均为正实数,且 + = , 则x+y=(x+2+y+2)-4=6 (x+2+y+2)-4=6 -46 -4 =20, 当且仅当x=y=10时取等号. x+y的最小值为20. 故选C.,方法总结 本题根据条件构造x+y=(x+2+y+2)-4,然后乘“6”变形,即可形成所需应用基本不 等式的条件.,4.(2017广东深圳三校联考,9)已知f(x)= (xN*),则f(x)在定义域上的最小值为 ( ) A. B. C. D.2,答案 B f(x)= =x+ ,xN*0, x+ 2 =2 ,当且仅当x= 时取等号.但xN*,故x=5或x=6时, f(x)取最小值, 当x=5时, f(x)= ,当x=6时, f(x)= , 故f(x)在定义域上的最小值为 .故选B.,5.(2018山东高三天成第二次联考,7)若a0,b0且2a+b=4,则 的最小值为 ( ) A.2 B. C.4 D.,答案 B 因为a0,b0,故2a+b2 (当且仅当2a=b时取等号). 又因为2a+b=4,2 40ab2, ,故 的最小值为 .故选B.,6.(2019湖北黄冈元月调研,15)若关于x的不等式x+ 5在x(a,+)上恒成立,则实数a的 最小值为 .,答案 1,解析 关于x的不等式x+ 5在x(a,+)上恒成立,即x-a+ 5-a在x(a,+)上恒成 立,由xa,可得x-a0,则x-a+ 2 =4,当且仅当x-a=2,即x=a+2时,上式取得最小 值4,则5-a4,可得a1,则a的最小值为1.,7.(2019江西吉安期末,16)已知函数f(x)= ,则f(x)的最大值为 .,答案 1,解析 设t=sin x+2,则t1,3,则sin2x=(t-2)2,则g(t)= =t+ -4(1t3),由“对勾函数”的 性质可得g(t)在1,2)上为减函数,在(2,3上为增函数,又g(1)=1,g(3)= ,所以g(t)max=g(1)=1.即f(x) 的最大值为1.,易错警示 (1)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内,则不能使用基 本不等式求解,此时应根据变量的取值范围利用对应函数的单调性求解.(2)注意某些实际问题 中的隐含条件,如变量为整数.,8.(2018山东聊城一模,15)已知a0,b0,3a+b=2ab,则a+b的最小值为 .,答案 2+,解析 由a0,b0,3a+b=2ab,得 + =1, 所以a+b=(a+b) =2+ + 2+ ,当且仅当b= a时等号成立,则a+b的最小值为2+ .,9.(2019河南许昌、洛阳第三次质量检测,15)已知x0,y0,且 + =1,则xy+x+y的最小值为 .,答案 +4,解析 因为 + =1,所以xy=y+2x,xy+x+y=3x+2y=(3x+2y) =7+ + 7+4 当且仅 当y= x,即x=1+ ,y=2+ 时取等号 ,所以xy+x+y的最小值为7+4 .,考点二 基本不等式的应用 1.(2018山西第一次模拟,5)若P为圆x2+y2=1上的一个动点,且A(-1,0),B(1,0),则|PA|+|PB|的最大值 为 ( ) A.2 B.2 C.4 D.4,答案 B 由题意知APB=90,|PA|2+|PB|2=4, =2(当且仅当|PA|=|PB|时取等号), |PA|+|PB|2 ,|PA|+|PB|的最大值为2 .故选B.,2.(2019安徽宣城第二次调研,9)已知双曲线 - =1(m0,n0)和椭圆 + =1有相同的焦点, 则 + 的最小值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,答案 B 双曲线 - =1(m0,n0)和椭圆 + =1有相同的焦点, m+n=5-2=3,m0,n0, + = (m+n) = =3, 当且仅当 = ,即m=2n=2时,等号成立, + 的最小值为3.故选B.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间:25分钟 分值:45分) 一、选择题(每题5分,共30分),1.(2019晋冀鲁豫名校期末联考,10)已知函数f(x)=x2ex,若a0,b0,p=f ,q=f ,r= f(ab),则 ( ) A.qrp B.qpr C.rpq D.rqp,答案 D 因为 - = - = 0, 所以 ,又 (a0,b0),所以 ab,易得函数f(x)=x2ex在区间(0,+ )上单调递增,所以f(ab)f f ,即rqp.,2.(2019福建龙岩教学质量检查,7)已知x0,y0,且 + = ,则x+y的最小值为 ( ) A.3 B.5 C.7 D.9,答案 C 因为 + = ,所以 + =1, 因为x0,所以x+10,又因为y0, 所以x+y=(x+1)+y-1=(x+1)+y -1 = +32 +3=7, 当且仅当 即x=3,y=4时等号成立,所以x+y的最小值为7,选C.,3.(2019广东江门第一次模拟,11)实数x、y满足|x+y|+|x-y|=2,若z=4ax+by(a0,b0)的最大值为1, 则 + 有 ( ) A.最大值9 B.最大值18 C.最小值9 D.最小值18,答案 C 根据|x+y|+|x-y|=2,可得点(x,y)满足的图形是以A(1,1)、B(-1,1)、C(-1,-1)、D(1,-1)为 顶点的正方形,可知x=1,y=1时,z=4ax+by取得最大值,故4a+b=1,所以 + = (4a+b)=5+ + 9,当且仅当a= ,b= 时取等号,所以 + 有最小值9.故选C.,方法总结 当式子中含有两个变量,且条件和所求的式子分别为整式和分式时,常构造出(ax+ by) (a,b,m,n为常数)的形式,利用(ax+by) =am+bn+ + am+bn+2 当且仅当 = 时等号成立 得到结果,其中各数为正数.,4.(2019湖北恩施2月教学质量检测,11)已知角,的顶点都为坐标原点,始边都与x轴的非负半 轴重合,且都为第一象限的角,终边上分别有点A(1,a),B(2,b),且=2,则 +b的最小值为 ( ) A.1 B. C. D.2,答案 C 由已知得,a0,b0,tan =a,tan = ,因为=2,所以tan =tan 2,所以a= = ,所以 +b= +b= + 2 = ,当且仅当 = ,即b= 时,取等号.故 +b的 最小值为 .,5.(2017广东广雅中学、江西南昌二中联考,10)已知x0,y0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则 + 的最小值 是 ( ) A.2 B.2 C.4 D.2,答案 C lg 2x+lg 8y=lg 2,lg(2x8y)=lg 2,2x+3y=2,x+3y=1. x0,y0, + =(x+3y) =2+ + 2+2 =4,当且仅当x=3y= 时取等号,所 以 + 的最小值为4.故选C.,6.(2017河北衡水中学第三次调研,9)已知ab,二次三项式ax2+2x+b0对于一切实数x恒成立, 又x0R,a +2x0+b=0成立,则 的最小值为 ( ) A.1 B. C.2 D.2,答案 D 因为二次三项式ax2+2x+b0对于一切实数x恒成立,所以 又x0R,a +2x0+b=0成立,所以4-4ab0,故4-4ab=0,即ab=1,又因为a0,ab,所以 =a-b+ =a-b+ 2 (当且仅当a-b= 时等号成立),故选D.,二、填空题(每题5分,共15分) 7.(2019江西上饶第二次模拟,16)已知正数x,y满足xy+ =2-4y2,则y的最大值为 .,答案,解析 因为y为正数,xy+ =2-4y2,所以x+ = -4y.因为x+ 2(x为整数),所以 -4y2,因为y 0,所以2y2+y-10,所以0y ,因此y的最大值为 .,8