2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质课件新人教B版选修.pptx

2.4.2 抛物线的几何性质,第二章 2.4 拋物线,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. 2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 抛物线的几何性质,当k0时，若0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；若0，直线与抛物线有 个公共点；若0，直线与抛物线 公共点. 当k0时，直线与抛物线的轴 ，此时直线与抛物线有 个公共点.,知识点二 直线与抛物线的位置关系,没有,平行或重合,一,一,两,1.拋物线没有渐近线.( ) 2.过拋物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.( ) 3.若一条直线与拋物线只有一个公共点，则二者一定相切.( ) 4.拋物线只有一条对称轴，没有对称中心.( ) 5.拋物线的开口大小由拋物线的离心率决定.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一 抛物线的几何性质的应用,例1 (1)顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是 A.x216y B.x28y C.x28y D.x216y,解析 顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x22py，x22py(p0). 由顶点到准线的距离为4，知p8， 故所求抛物线方程为x216y或x216y.,(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2y24相交于A，B两点，|AB|2 ，求抛物线方程.,解 由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上. 故可设抛物线方程为y2ax(a0). 设抛物线与圆x2y24的交点A(x1，y1)，B(x2，y2). 抛物线y2ax(a0)与圆x2y24都关于x轴对称， 点A与B关于x轴对称，,得x234，x1，,所求抛物线方程是y23x或y23x.,反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.,跟踪训练1 已知抛物线y28x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；,解 抛物线y28x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x2，x轴，x0.,(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|OB|，若焦点F是OAB的重心，求OAB的周长.,解 如图所示，由|OA|OB|可知ABx轴，垂足为点M， 又焦点F是OAB的重心，,因为F(2,0)，,所以M(3,0).故设A(3，m)， 代入y28x得m224；,题型二 直线与抛物线的位置关系,命题角度1 直线与抛物线位置关系的判断 例2 已知直线l：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.,多维探究,得k2x2(2k4)x10. (*),y1，,此时直线l平行于x轴. 当k0时，(*)式是一个一元二次方程， (2k4)24k216(1k).,当0，即k1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离. 综上所述，当k1或0时，l与C有一个公共点； 当k1时，l与C没有公共点.,反思感悟 直线与抛物线位置关系的判断方法 设直线l：ykxb，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2(2kb2p)xb20. (1)若k20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. (2)若k20，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当0时，直线与抛物线相离，无公共点.,跟踪训练2 如图所示，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A. (1)求实数b的值；,因为直线l与抛物线C相切， 所以(4)24(4b)0，解得b1.,(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.,解 由(1)可知b1， 故方程(*)即为x24x40，解得x2. 将其代入x24y，得y1.故点A(2,1). 因为圆A与抛物线C的准线相切， 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y1的距离，即r|1(1)|2， 所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.,命题角度2 直线与抛物线的相交弦问题 例3 已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB| p，求AB所在的直线方程.,所以直线AB的斜率存在，设为k，,消去x，整理得ky22pykp20.,解得k2. 所以AB所在的直线方程为2xyp0 或2xyp0.,引申探究 本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离.,反思感悟 求抛物线弦长问题的方法 (1)一般弦长公式,(2)焦点弦长 设过抛物线y22px(p0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1x2即可.,跟踪训练3 已知yxm与抛物线y28x交于A，B两点. (1)若|AB|10，求实数m的值；,得x2(2m8)xm20. 由(2m8)24m26432m0，得m2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x282m，x1x2m2， y1y2m(x1x2)x1x2m28m.,(2)若OAOB，求实数m的值.,解 因为OAOB，所以x1x2y1y2m28m0， 解得m8或m0(舍去). 所以m8，经检验符合题意.,核心素养之直观想象,HEXINSUYANGZHIZHIGUSNXIANGXIANG,与抛物线有关的最值问题,典例 求抛物线yx2上的点到直线4x3y80的最小距离.,解 方法一 设A(t，t2)为抛物线上的点， 则点A到直线4x3y80的距离,方法二 如图，设与直线4x3y80平行的抛物线的切线方程为4x3ym0，,消去y得3x24xm0，,素养评析 (1)求抛物线上一点到定直线的距离的最值，最常见的解题思路： 一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决. 二是转化两平行线间距离代入两平行线间距离公式可求得. (2)建立形与数的联系，提升数形结合的能力，有利于优化解题的方式与方法.,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,5,所以y28x，所以焦点F的坐标为(2,0)，,1,2,3,4,5,2.以x轴为对称轴的拋物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若拋物线的顶点在坐标原点，则其方程为 A.y28x B.y28x C.y28x或y28x D.x28y或x28y,解析 设拋物线方程为y22px或y22px(p0)，由题意知p4， 拋物线方程为y28x或y28x.,3.已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为,1,2,3,4,5,由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离， 因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值， 结合图形(图略)不难得出相应的最小值等于焦点F到点(0,2)的距离，,1,2,3,4,5,4.过抛物线y24x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|_.,8,解析 易知抛物线的准线方程为x1， 则线段AB的中点到准线的距离为3(1)4. 由抛物线的定义易得|AB|8.,1,2,3,4,5,5.已知过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p_.,2,1,2,3,4,5,解析 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 易知过抛物线y22px(p0)的焦点F，,得y22pyp20，y1y22p，y1y2p2.,即(2p)24(p2)