高一物理竞赛讲义第5讲.教师版.doc

_第5讲 运动学综合温馨寄语截止到目前，我们已经把运动学的主要框架知识都学习完了，但是从学完知识到灵活运用，还有很远的一段路程。大家应该重点从公式和物理量的推导，方法，模型的总结几个方面去反复复习。知识点睛运动学思想方法总结：1坐标系方法：坐标系是定量研究世界的一个非常重要的工具，利用坐标系可以很容易的定义物理量（比如，位置，位移，轨迹，速度，加速度等等），分析物理量之间的关系（最大，最小，曲率半径等等）坐标系方法除了我们学习过的正交分解和斜分解，还有以后会学习到的极坐标等等要注意根据不同的例题采用不同的方法例题精讲【例1】 如图所示，冰球沿与冰山底边成的方向滚上山，上山初速度，它在冰山上痕迹已部分消失，尚存痕迹如图所示，求冰山与水平面的夹角（冰球在冰山上加速度为gsin，方向沿着斜面向下，其中g为重力加速度，近似取10m/s2）。【解析】 冰球在与冰山底边平行方向做匀速直线运动，冰球在与冰山底边垂直方向做匀加速直线运动由得代入数据得【例2】 如图所示，已知在倾角为的斜面上，以初速度及与斜面成角的方向发射一小球，斜面与小球发生完全弹性碰撞，即小球的速度会被“镜面反射”问： 小球恰能到原始出发点，问总时间为多少？ 为了实现这个过程，必须满足什么条件？【解析】 小球若能回到出发点要求整个过程可逆，即在最右端可能有两种情况 为最后一次与斜面碰撞角度为即在碰后小球进入竖直直线运动无论哪种情况，时间都满足： 只看垂直斜面速度，所以有时都可以满足【例3】 （摆线）一轮胎在水平地面上沿着一直线无滑动地滚动。(这种情况下，轮胎边缘一点相对于轮胎中心的线速度等于轮胎中心对地的速率)，轮胎中心以恒定的速率向前移动，轮胎的半径为，在时，轮胎边缘上的一点A正好和地面上的O点接触，试以O为坐标原点，在如图的直角坐标系中写出轮胎上A点的位矢、速度、加速度和时间的函数关系。并写出A的轨迹方程（可以用参数方程描述，也就是说，可以引入一个新的自变量，x和y 都随着这个自变量的变化而变化。最常见的参数方程，就是以时间t为参数的。）AAxy【解析】【选讲内容】白努力家族大斗法：白努力家族（Bernoulli 家族）总共出过八个伟大的数学、物理、天文等等大师，还有很多画家、艺术家白努力兄弟想比较一下谁更聪明。于是就相约解决最速降线问题。 在当时比较牛逼的杂志上公开征集答案，他们各自提出了证明，杂志的主编，莱布尼茨也提出了证明，还有一个陌生人发来了一个有英国邮戳的证明肯定是牛顿最后所有的证明中，Johann的证明是最简洁明了了。如下：Johann Bernoullis solution约翰白努力的证明According toFermats principle:The actual path between two points taken by a beam of light is the one which is traversed in the least time.Johann Bernoulliused this principle to derive the brachistochrone curve by considering the trajectory of a beam of light in a medium where the speed of light increases following a constant vertical acceleration (that of gravityg).2Theconservation lawcan be used to express the speed of a body in a constant gravitational field as:,whereyrepresents the vertical distance the body has fallen. By conservation of energy the speed of motion of the body along an arbitrary curve does not depend on the horizontal displacement.Johann Bernoullinoted that thelaw of refractiongives a constant of the motion for a beam of light in a medium of variable density:,wherevmis the constant andrepresents the angle of the trajectory with respect to the vertical.The equations above allow us to draw two conclusions:1. At the onset, when the particle speed is nil, the angle must be nil. Hence, the brachistochrone curve istangentto the vertical at the origin.2. The speed reaches a maximum value when the trajectory becomes horizontal and the angle = 90.To keep things simple we can assume that the particle (or the beam) with coordinates (x,y) departs from the point (0,0) and reaches maximum speed after a falling a vertical distanceD. So,.Rearranging terms in the law of refraction and squaring gives:which can be solved fordxin terms ofdy:.Substituting from the expressions forvandvmabove gives:which is thedifferential equationof an invertedcycloidgenerated by a circle of diameterD【例4】 一根长为的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴在竖直平面内转动，如图所示杆最初在水平位置，杆上距为处放有一小物体（可视为质点），杆与其上小物体最初均处于静止状态若此杆突然以匀角速绕轴转动，设碰撞时细杆与水平面夹角为求追上细杆时与的关系。仅仅考虑比较小的情况。【解析】 对这一问题首先如下分析：当细杆以角速绕同转动时，的速度为零，杆上与接触处则具有线速度，因而两者分离，作自由落体运动，由于的速度不断增大，有可能追上细杆而与之碰撞，设碰撞时细杆与水平面夹角为，则随的增大而增大，当超过某一数值时，就可能碰不上而与之碰撞，所以本题要按这第一种情况进行讨论 求追上细杆时与的关系设经过时间后与细杆在处相碰（见图1），则有如给定的值，由此二式可求出相应的的值由于杆长的限制，要发生碰撞，值必须满足一定条件，由图1可知，此条件为根据这一条件和曲线，可以求出相应的的取值应符合的条件由式，消去得或知识点睛2 变换参考系很多物理量在变换参考系的时候会有奇怪的性质发生常见的有，位移，速度变换到某些参考系之后，有的非圆周运动变成了圆周运动；某些不规则运动变成了竖直或者水平的运动从而可以迅速解题例题精讲【例5】 曲杆传动算得上机械史上一项伟大的发明，如图是汽缸中曲柄传动的应用，其变往复运动为圆周运动，现在把这个实物简化为右图的模型，设汽缸正以速度v向下运动，角度如图所示，圆盘的半径为r，计算圆盘转动的角速度。【解析】 所以【例6】 缠在线轴上的线绕过滑轮后，以恒定速度被拉出，如图所示，这时线轴沿水平面无滑动滚动，求线轴中心点的速度随线与水平方向的夹角的变化关系（线轴的内、外半径分别为和）【解析】 线轴的运动可以看作是速度为的平动和角速度为的转动的合成，而且因为线轴不沿水平面滑动，有而点速度沿线方向的投影为由得【例7】 如图所示装置，设杆以角速度绕转动，其端则系以绕过滑轮的绳，绳子的末端挂一重物已知，当时，求物体的速度【解析】 如右图所示，设，点绕轴转动的速度可表示为将分别为沿方向的速度（因点与绳系在一起，故有一分速度）和与垂直的速度，则在中，由正弦定理得由此得，此即物体的速度（绳上各点沿绳方向的速度大小均与物体的速度大小相同）解法二：相对角速度法，想象杆子是静止不动的，墙转动过来，则直接有：知识点睛3 过程问题，小量分析，微元方法微元法是高中竞赛必学的一个基本方法，它蕴含着微积分的基本思想之一：通过分析小量之间的关系来求得宏观的结论应用微元方法的时候一定要注意，哪些量可以忽略（二阶小量），哪些量是不可以忽略的，一阶小量4. 求极值,物理竞赛中用到的方法主要有:矢量几何方法求极值,二次函数极值,一元二次方程的求极值,微元法求极值,均值定理求极值,利用导数求极值等等.知识点睛【例8】 体会一下什么是包络线：就是一个曲线可以把我们给定的图形围起来。请分析下面的图形的包络线：女王的冲击波：【例9】 二次世界大战中物理学家曾经研究，当大炮的位置固定，以同一速度沿各种角度发射，问：当飞机在哪一区域飞行之外时，不会有危险？换句话讲,求一个虚线,这个虚线包围了所有可能被打到得范围.这个线我们叫做包络线.【解析】结论是这一区域为一抛物线，此抛物线是所有炮弹抛物线的包络线此抛物线为在大炮上方处，以平抛物体的轨迹证明如下：消掉得到处理方法有很多种：第一种：当做一个关于的方程来处理：则一定有解，并且在有重根的时候有可能取到包络线。因为包络线以内的任意点都有两种打击方式。得到：此际包络线第二种：可以看出，当任意给定一个，都有一个的最大值,这个最大的满足的点:就一定是包络线上的点.把当做一个关于的函数求:当时候可以取到极值也就是:于是就得到了包络线的数学表达式【例10】 设湖岸为一直线，有一小船自岸边的点沿与湖岸成角方向匀速向湖中央驶去有一人自点同时出发，他先沿岸走一段再入水中游泳去追船已知人在岸上走的速度为，在水中游泳的速度为试问船速至多为多少，此人才能追上船？【解析】 解法一 由等效法求解如图，设人在点刚好追上船，则人可能走很多途径，如，等等在这些路径中，费时最少者即对应着允许的最大船速如图，在湖岸这边作，自、各点分别向引垂线、（设刚好为一直线）和设想图中的下侧也变成是湖水区域，则人由点游泳至点的时间与人在岸上由点走至点的时间是相等的（因为，而），故人按题给情况经路径所用的时间和假想人全部在水中游过路径等时同理，与上述的另两条实际路径等时的假想路径是和由于在这些假想路径中，速度大小都一样，故通过的路径最短费时最少，显然通过直线费时最少由以上分析知，人沿等效路径刚好在点追上船时，对应着允许船速的最大值，设其为，则有由于为等腰直角三角形，故，故得解法二 由微元法求解如图，设人在点刚好能追上船，且在人到达点的各种实际路径中，以自处入水游泳所用的总时间最少，则若自点左侧附近的某点入水，必在点右侧有一入水点与之对应，使得在点和点入水两种情况下刚好追到船所用的总时间相等在段上取，则应有人走段和游段所用的时间相等，即当点无限靠近点时，点必同时向点靠拢，由图可见此时将近似有，故，所以由于此时点是无限靠近点的，故与接近重合，即由上得出：当人自某点入水沿与岸成角方向游泳刚好追到船时，此情况下对应的船速为人能追上船的最大允许速度，设其为，如图，过相遇点作交于，因为，所以又由于，则人游段与走段的距离所用的时间相等故人自出发到在点追上船的时间等于他由点走到点的时间，即在中，由正弦定理有，所以【例11】 （回忆这个题目，思考各种方法）三只小蜗牛所在位置形成一个等边三角形，三角形的边长为60cm第一只蜗牛出发向第二只蜗牛爬去，同时，第二只向第三只爬去，第三只向第一只爬去，每只蜗牛爬行的速度都是5cm/min在爬行的过程中，每只蜗牛都始终保持对准自己的目标经过多长时间蜗牛们会相遇？相遇的时候，它们各自爬了多少路程？课后思考题：它们经过的路线可以用怎样的方程来描述？若将蜗牛视为质点，那么它们在相遇前，绕着它们的最终相遇点转了多少圈？【解析】 解法一：（相对速度法）将蜗牛2的速度矢量在指向蜗牛1的方向和与之垂直的方向上分解（见图）则两只蜗牛彼此靠近的相对速度为，因此它们将在60cm/（7.5cm/min）=8 min后相遇事实上，8 min后三只蜗牛将相遇在一起，由于它们的实际速度为5 cm/min，因此在相遇前，它们爬过的路程为40 cm解法二：（分速度法）将速度矢量在其他坐标系中分解可以得到相同的结果，比如以蜗牛为原点，指向三角形的中心为一个坐标轴，其垂直方向为另一个坐标轴，如图所示很明显，最终蜗牛们将在中心点相遇，而在此坐标系中的速度矢量的分解可以得到蜗牛将以恒定的速度爬向中心点同时，围绕中心爬行的速度为可以很容易计算出蜗牛在初始状态距离中心点，因此它们将在后相遇解法三：边长经历了非常小的一段时间之后，变成了：所以边长减小的“速度”就是：所以总的时间应该为模拟轨迹如下