2015人教版高中数学必修四第三章 三角恒等变换作业题及答案解析8.rar
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人教版必修4高一数学第三章
三角恒等变换
高中数学必修 4 第三章
人教版高一数学必修4第三章三角恒等变换
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3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)课时目标1.在两角差的余弦公式的基础上，会推导两角和与差的正弦、余弦公式.2.灵活运用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简、证明1两角和与差的余弦公式C()：cos()_.C()：cos()_.2两角和与差的正弦公式S()：sin()_.S()：sin()_.3两角互余或互补(1)若_，其、为任意角，我们就称、互余例如：与_互余，与_互余(2)若_，其，为任意角，我们就称、互补例如：与_互补，_与互补一、选择题1计算sin 43cos 13cos 43sin 13的结果等于()A. B. C. D.2sin 245sin 125sin 155sin 35的值是()A B C. D.3若锐角、满足cos ，cos()，则sin 的值是()A. B. C. D.4已知cos cos sin sin 0，那么sin cos cos sin 的值为()A1 B0 C1 D15若函数f(x)(1tan x)cos x,0x，则f(x)的最大值为()A1 B2 C1 D26在三角形ABC中，三内角分别是A、B、C，若sin C2cos Asin B，则三角形ABC一定是()A直角三角形 B正三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形题号123456答案二、填空题7化简sincos的结果是_8函数f(x)sin xcos x的最大值为_9已知sin()，sin()，则的值是_10式子的值是_三、解答题11已知，cos()，sin()，求sin 2的值12证明：2cos().能力提升13已知sin cos，则sin的值是_14求函数f(x)sin xcos xsin xcos x，xR的最值及取到最值时x的值1两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sinsin cos cos sin cos .2使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin cos()cos sin()时，不要将cos()和sin()展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin cos()cos sin()sin()sin()sin .3运用和差公式求值、化简、证明时要注意，灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解31.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)答案知识梳理1cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin 3(1)(2)作业设计1A2B原式sin 65sin 55sin 25sin 35cos 25cos 35sin 25sin 35cos(3525)cos 60.3Ccos ，cos()，sin ，sin().sin sin()sin()cos cos()sin .4Dcos cos sin sin cos()0.k，kZ，sin cos cos sin sin()1.5Bf(x)(1tan x)cos xcos xsin x2(cos xsin x)2sin(x)，0x，x.f(x)max2.6Csin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B0.即sin(AB)0，AB.7cos 解析原式sin cos cos sin cos cos sin sin cos .8.解析f(x)sin xcos xsin.9.解析，.10.解析原式tan 60.11解因为，所以0，.又cos()，sin()，所以sin()，cos().所以sin 2sin()()sin()cos()cos()sin().12证明2cos().13解析sin cossin cos cos sin sin sin cos sin.sin.sinsin.14解设sin xcos xt，则tsin xcos xsin，t，sin xcos x.f(x)sin xcos xsin xcos x即g(t)t(t1)21，t，当t1，即sin xcos x1时，f(x)min1.此时，由sin，解得x2k或x2k，kZ.当t，即sin xcos x时，f(x)max.此时，由sin，sin1.解得x2k，kZ.综上，当x2k或x2k，kZ时，f(x)取最小值且f(x)min1；当x2k，kZ时，f(x)取得最大值，f(x)max.3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)课时目标1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用1两角和与差的正切公式(1)T()：tan()_.(2)T()：tan()_.2两角和与差的正切公式的变形(1)T()的变形：tan tan _.tan tan tan tan tan()_.tan tan _.(2)T()的变形：tan tan _.tan tan tan tan tan()_.tan tan _.一、选择题1已知，sin ，则tan的值等于()A.B7CD72若sin ，tan()1，且是第二象限角，则tan 的值是()A. B C7 D3已知tan ，tan ，0，0.而(0，)，故(0，)tan ，0，.0，.2()(，0)tan(2)tan()1，2.14(1)证明sin(AB)，sin(AB)，2，所以tan A2tan B.(2)解AB，sin(AB)，tan(AB)，即.将tan A2tan B代入上式并整理得，2tan2 B4tan B10.解得tan B，舍去负值，得tan B.tan A2tan B2.设AB边上的高为CD.则ABADDB.由AB3，得CD2.AB边上的高等于2.3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用1倍角公式(1)S2：sin 22sin cos ，sin cos sin ；(2)C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)T2：tan 2.2倍角公式常用变形(1)_，_；(2)(sin cos )2_；(3)sin2_，cos2_.一、选择题1计算12sin222.5的结果等于()A. B. C. D.2函数y2cos2(x)1是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数3若sin()，则cos(2)的值为()A B C. D.4若1，则的值为()A3 B3 C2 D5如果|cos |，3，则sin 的值是()A B. C D.6已知角在第一象限且cos ，则等于()A. B. C. D题号123456答案二、填空题7.的值是_8函数f(x)cos xsin2xcos 2x的最大值是_9已知tan 3，则_.10已知sin22sin 2cos cos 21，(0，)，则_.三、解答题11求证：tan4 A.12若cos，x，求的值能力提升13求值：cos 20cos 40cos 80.14求值：tan 70cos 10(tan 201)1对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8是4的二倍；6是3的二倍；4是2的二倍；3是的二倍；是的二倍；是的二倍； (nN*)2二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式： 1cos 22cos2，cos2，1cos 22sin2，sin2.31.3二倍角的正弦、余弦、正切公式答案知识梳理2(1)cos sin (2)1sin 2(3)作业设计1B2.A3Bcos(2)cos(2)cos2()12sin2()2sin2()1.4A1，tan .3.5C3，|cos |，cos 0，cos .，sin 0.2sin2sin 10.sin (sin 1舍).11证明左边22(tan2 A)2tan4 A右边tan4 A.12解sin 2xsin 2xtancostantan，x，x.又cos，sin，tan.原式.13解原式.14解原式cos 10cos 10cos 1021.3.2简单的三角恒等变换课时目标1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律1半角公式(1)S：sin _；(2)C：cos _；(3)T：tan _(无理形式)_(有理形式)2辅助角公式使asin xbcos xsin(x)成立时，cos _，sin _，其中称为辅助角，它的终边所在象限由_决定一、选择题1已知180360，则cos 的值等于()A B. C D. 2函数ysinsin的最大值是()A2 B1 C. D.3函数f(x)sin xcos x，x的最小值为()A2 B C D14使函数f(x)sin(2x)cos(2x)为奇函数的的一个值是()A. B. C. D.5函数f(x)sin xcos x(x，0)的单调递增区间是()A. B.C. D.6若cos ，是第三象限的角，则等于()A B. C2 D2题号123456答案二、填空题7函数f(x)sin(2x)2sin2x的最小正周期是_8已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是_9已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正切值为_10.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos 2的值等于_三、解答题11已知函数f(x)sin2sin2 (xR)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合12已知向量m(cos ，sin )和n(sin ，cos )，(，2)，且|mn|，求cos的值能力提升13当y2cos x3sin x取得最大值时，tan x的值是()A. B C. D414求函数f(x)3sin(x20)5sin(x80)的最大值1学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式2辅助角公式asin xbcos xsin(x)，其中满足： 与点(a，b)同象限；tan (或sin ，cos )3研究形如f(x)asin xbcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一对一些特殊的系数a、b应熟练掌握例如sin xcos xsin；sin xcos x2sin等3.2简单的三角恒等变换知识梳理1(1) (2) (3) 2.点(a，b)作业设计1C2By2sin xcos sin x3Df(x)sin，x.x，f(x)minsin1.4Df(x)sin(2x)cos(2x)2sin.当时，f(x)2sin(2x)2sin 2x.5Df(x)2sin，f(x)的单调递增区间为 (kZ)，令k0得增区间为.6A是第三象限角，cos ，sin .7解析f(x)sin 2xcos 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x)，T.8.解析设为该等腰三角形的一底角，则cos ，顶角为1802.sin(1802)sin 22sin cos 2.93解析设该等腰三角形的顶角为，则cos ，底角大小为(180)tantan3.10.解析由题意，5cos 5sin 1，.cos sin .由(cos sin )2(cos sin )22.cos sin .cos 2cos2 sin2 (cos sin )(cos sin ).11解(1)f(x)sin21cos2212sin12sin1，T.(2)当f(x)取得最大值时，sin1，有2x2k，即xk (kZ)，所求x的集合为x|xk，kZ12解mn(cos sin ，cos sin )，|mn|2.由已知|mn|，得cos.又cos2cos21，所以cos2.2，.cos0.cos.13By2cos x3sin x(sin cos xcos sin x)sin(x)，当sin(x)1，x2k时，y取到最大值2kx，(kZ)sin cos x，cos sin x，cos xsin ，sin xcos .tan x.14解3sin(x20)5sin(x80)3sin(x20)5sin(x20)cos 605cos(x20)sin 60sin(x20)cos(x20)sin(x20)7sin其中cos ，sin .所以f(x)max7.第三章 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式课时目标1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.2.掌握两角差的余弦公式两角差的余弦公式C()：cos()_，其中、为任意角一、选择题1cos 15cos 105sin 15sin 105()A B. C0 D12化简cos()cos sin()sin 得()Acos Bcos Ccos(2) Dsin(2)3化简cos(45)cos(15)sin(45)sin(15)得()A. B C. D4若cos()，cos 2，并且、均为锐角且，则的值为()A. B. C. D.5若sin()，是第二象限角，sin，是第三象限角，则cos()的值是()A B. C. D.6若sin sin 1，cos cos ，则cos()的值为()A. B C. D1题号123456答案二、填空题7cos 15的值是_8若cos()，则(sin sin )2(cos cos )2_.9已知sin sin sin 0，cos cos cos 0，则cos()的值是_10已知、均为锐角，且sin ，cos ，则的值为_三、解答题11已知tan 4，cos()，、均为锐角，求cos 的值12已知cos()，sin()，2，求的值能力提升13已知cos()，sin()，且，0，求cos的值14已知、，sin sin sin ，cos cos cos ，求的值1给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧2“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：求角的某一三角函数值；确定角所在的范围(找一个单调区间)；确定角的值确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式31.1两角差的余弦公式答案知识梳理cos cos sin sin 作业设计1C2.B3A原式cos(45)cos(15)sin(45)sin(15)cos(45)(15)cos(60).4Csin()(0)sin 2，cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()，(0，)，.5Bsin()，sin ，是第二象限角，cos .sin，cos ，是第三象限角，sin .cos()cos cos sin sin .6B由题意知22cos().7.8.解析原式22(sin sin cos cos )22cos().9解析由2222(sin sin cos cos )1cos().10解析、，cos ，sin ，sin sin ，.cos()cos cos sin sin ，.11解，tan 4，sin ，cos .(0，)，cos()，sin().cos cos()cos()cos sin()sin .12解，cos()，sin().2，sin()，cos().cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()1.，2，2，2，.13解，.0，0，0.，.又cos()0，00，.章末复习课课时目标1.灵活运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换.2.体会三角恒等变换的工具性作用，掌握变换的思想和方法，提高推理和运算能力知识结构一、选择题1tan 15等于()A2 B2 C4 D.2若3sin cos 0，则的值为()A. B. C. D23函数f(x)sin4xcos2x的最小正周期是()A. B. C D24已知是第三象限角，若sin4 cos4 ，那么sin 2等于()A. B C. D5已知函数f(x)sinxcosx(0)，yf(x)的图象与直线y2的两个相邻交点的距离等于，则f(x)的单调递增区间是()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ6设ABC的三个内角为A，B，C，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，若mn1cos(AB)，则C的值为()A. B. C. D.题号123456答案二、填空题7函数f(x)sin2(x)sin2(x)的最小正周期是_8函数y2cos2xsin 2x的最小值是_9若8sin 5cos 6,8cos 5sin 10，则sin()_.10已知为第三象限的角，cos 2，则tan_.三、解答题11已知tan ，cos ，(0，)(1)求tan()的值；(2)求函数f(x)sin(x)cos(x)的最大值12设函数f(x)sin2cos2x1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数yg(x)与yf(x)的图象关于直线x1对称，求当x时，yg(x)的最大值能力提升13函数f(x)是()A以4为周期的偶函数B以2为周期的奇函数C以2为周期的偶函数D以4为周期的奇函数14设为第四象限的角，若，则tan 2_.本章所学内容是三角恒等变换的重要的工具，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质章末复习课作业设计1C2A3sin cos 0，tan ，.3Bf(x)sin4x1sin2xsin4xsin2x1sin2x(1sin2x)11sin2xcos2x1sin22x1cos 4xT.4Asin4 cos4 (sin2 cos2 )22sin2 cos2 1sin2 2，sin2 2.是第三象限角，sin 0，cos 0.sin 2.5Cf(x)sin xcos t2sin.因为函数yf(x)的图象与y2的两个相邻交点的距离为，故函数yf(x)的周期为.所以，即2.所以f(x)2sin.令2k2x2k得2k2x2k，即kxk(kZ)6Cmnsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)1cos(AB)，sin(AB)cos(AB)sin Ccos C2sin1.sin，C或C(舍去)，C.7解析f(x)sin2(x)sin2(x)cos2(x)sin2(x)cos2(x)sin2(x)cos(2x)sin 2x.T.81解析y2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x1sin(2x)，ymin1.9.解析(8sin 5cos )2(8cos 5sin )2642580(sin cos cos sin )8980sin()62102136.80sin()47，sin().10解析由题意，得2k2k(kZ)，4k224k3.sin 20.sin 2.tan 2.tan.11解(1)由cos ，(0，)，得sin ，tan 2，所以tan()1.(2)因为tan ，(0，)，所以sin ，cos ，f(x)(sin xcos cos xsin )cos xcos sin xsin sin xcos xcos xsin xsin x，又1sin x1，所以f(x)的最大值为.12解(1)f(x)sinxcoscosxsincosxsinxcosxsin，故f(x)的最小正周期为T8.(2)在yg(x)的图象上任取一点(x，g(x)，它关于x1的对称点为(2x，g(x)由题设条件，点(2x，g(x)在yf(x)的图象上，从而g(x)f(2x)sinsincos.当0x时，x，因此yg(x)在区间上的最大值为g(x)maxcos.13A由sin x2sin 2sin (cos 1)0，得x2k，kZ.f(x)定义域为x|x2k，kZ关于原点对称f(x).f(x)f(x)函数f(x)为偶函数又f(x2)f(x)f(x4)f(x)，函数f(x)以4为周期14解析由2cos2cos 2.2cos2cos 212cos 2，cos 2.为第四象限角，2k2k2，(kZ)4k324k4，(kZ)故2可能在第三、四象限，又cos 2，sin 2，tan 2.第三章三角恒等变换(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1(cos sin )(cos sin )等于()A B C. D.2函数ysincoscossin的图象的一条对称轴方程是()Ax Bx Cx Dx3已知sin(45)，则sin 2等于()A B C. D.4ysinsin 2x的一个单调递增区间是()A. B.C. D.5已知是锐角，那么下列各值中，sin cos 能取得的值是()A. B. C. D.6sin 163sin 223sin 253sin 313等于()A B. C D.7已知tan 22，22，则tan 的值为()A. B C2 D.或8函数ysin xcos x的图象可以看成是由函数ysin xcos x的图象平移得到的下列所述平移方法正确的是()A向左平移个单位 B向右平移个单位C向右平移个单位 D向左平移个单位9设asin 17cos 45cos 17sin 45，b2cos2131，c，则有()Acab BbcaCabc Dbac10化简的结果是()A. Btan 2 C. Dtan 11如图，角的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴，终边经过点P(3，4)角的顶点在原点O，始边在x轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，且tan 2，则cosPOQ的值为()A BC. D.12设a(a1，a2)，b(b1，b2)定义一种向量积：ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2)已知m(2，)，n(，0)，点P(x，y)在ysin x的图象上运动，点Q在yf(x)的图象上运动且满足mn(其中O为坐标原点)，则yf(x)的最大值A及最小正周期T分别为()A2， B2,4C.，4 D.，题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.的值是_14已知sin cos 2，(，)，则tan _.15函数y2sin x(sin xcos x)的最大值为_16已知、均为锐角，且cos()sin()，则tan _.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)已知tan ，tan 是方程6x25x10的两根，且0，.求：tan()及的值18(12分)已知函数f(x)2cos 2xsin2x4cos x.(1)求f()的值；(2)求f(x)的最大值和最小值19(12分)已知向量a(3sin ，cos )，b(2sin ，5sin 4cos )，且ab.(1)求tan 的值；(2)求cos的值20(12分)已知函数f(x)2sin2cos 2x.(1)求f(x)的周期和单调递增区间；(2)若关于x的方程f(x)m2在x上有解，求实数m的取值范围21(12分)已知函数f(x)2sin xcos x2cos2x1(xR)(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0，上的最大值和最小值；(2)若f(x0)，x0，求cos 2x0的值22(12分)已知0，tan，cos().(1)求sin 的值；(2)求的值第三章三角恒等变换(A)答案1D(cos sin )(cos sin )cos2 sin2cos .2Cysinsincos x，当x时，y1.3Bsin(45)(sin cos )，sin cos .两边平方，1sin 2，sin 2.4Bysinsin 2xsin 2xcos cos 2xsin sin 2xsin 2xcos 2xsin当x时，ymin1；当x时，ymax1，且T.故B项合适5A0，又sin cos sin，所以sin1，1sin cos .6Bsin 163sin 223sin 253sin 313sin(9073)sin(27047)sin(18073)sin(36047)cos 73(cos 47)sin 73(sin 47)(cos 73cos 47sin 73sin 47)cos(7347)cos 120.7B22，则tan 0，tan 22，化简得tan2tan 0，解得tan 或tan (舍去)，tan .8Cysin xcos xsinysin xcos xsinsin.9Aasin 62，bcos 26sin 64，csin 60.ysin x，x为递增函数，cab.10B原式tan 2.11Atan tan(1)tan 12，tan 12，tan 2.tanPOQ2，POQ.cosPOQ.12Cmn(2，)(x，y)(，0)(2x，y)，则xQ2x，yQy，所以xxQ，y2yQ，所以yf(x)sin(x)所以最大值A，最小正周期T4.131解析tan 451，1.14解析sin cos 212sin22sin2sin 10，sin 或1.，sin ，tan .15.1解析y2sin2x2sin xcos x1cos 2xsin 2xsin(2x)1，ymax1.161解析cos()sin()cos cos sin sin sin cos cos sin cos (sin cos )sin (cos sin )、均为锐角，sin cos 0，cos sin ，tan 1.17解tan 、tan 为方程6x25x10的两根，tan tan ，tan tan ，tan()1.0，2，.18解(1)f()2cos sin24cos 12.(2)f(x)2(2cos2x1)(1cos2x)4cos x3cos2x4cos x13(cos x)2，xR.因为cos x1,1，所以，当cos x1时，f(x)取得最大值6；当cos x时，f(x)取得最小值.19解(1)ab，ab0.而a(3sin ，cos )，b(2sin ，5sin 4cos )，故ab6sin25sin cos 4cos20.由于cos 0，6tan25tan 40.解之，得tan ，或tan .，tan 0，故tan (舍去)tan .(2)，.由tan ，求得tan 或tan 2(舍去)sin ，cos ，coscos cos sin sin .20解(1)f(x)2sin2cos 2x1coscos 2x1sin 2xcos 2x2sin1，周期T；2k2x2k，解得f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)x，所以2x，sin，所以f(x)的值域为2,3而f(x)m2，所以m22,3，即m0,121解(1)由f(x)2sin xcos x2cos2x1，得f(x)(2sin xcos x)(2cos2x1)sin 2xcos 2x2sin (2x)，所以函数f(x)的最小正周期为.因为f(x)2sin (2x)在区间0，上为增函数，在区间，上为减函数，又f(0)1，f()2，f()1，所以函数f(x)在区间0，上的最大值为2，最小值为1.(2)由(1)可知f(x0)2sin (2x0)因为f(x0)，所以sin (2x0).由x0，得2x0，从而cos(2x0).所以cos 2x0cos(2x0)cos(2x0)cossin (2x0)sin.22解(1)tan ，所以.又因为sin2cos21，解得sin .(2)因为0，所以0.因为cos()，所以sin().所以sin sin()sin()cos cos()sin .因为，所以.第三章三角恒等变换(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1sin 15cos 75cos 15sin 105等于()A0 B. C.
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