（山东专用）高考数学一轮复习专题21两角和与差的正、余弦和正切公式（含解析）.docx

专题21 两角和与差的正、余弦和正切公式一、【知识精讲】1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_.cos()cos_cos_sin_sin_.tan().2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_.cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.3.函数f()asin bcos (a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos().微点提醒1.tan tan tan()(1tan tan ).2.cos2，sin2.3.1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.二、【典例精练】考点一三角函数式的化简【例1】 (1)化简：sin()cos()cos()sin()_.(2)化简：(0)_.【答案】(1)sin()(2)cos 【解析】(1)sin()cos()cos()sin()sin()cos ()cos()sin()sin()()sin().(2)原式.因为0，所以00，所以原式cos .【解法小结】1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.考点二三角函数式的求值角度1给角(值)求值【例21】 (1) 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.若角满足sin()，则cos 的值为_【答案】或【解析】由角的终边过点P，得sin ，cos .由sin()，得cos().由()，得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .(2)(2018江苏卷)已知，为锐角，tan ，cos().求cos 2的值；求tan()的值.【解析】因为tan ，tan ，所以sin cos .因为sin2cos21，所以cos2，因此，cos 22cos21.因为，为锐角，所以(0，).又因为cos()，所以sin()，因此tan()2.因为tan ，所以tan 2，因此，tan()tan2().角度2给值求角例2-2（1）已知，为锐角，cos ，且sin()，则角_.(2)若sin 2，则sin 2()A.B.C.D.【答案】（1），（2）【解析】 (1)为锐角，且cos ，sin .，0.又sin()，cos().cos cos()cos()cos sin()sin .(2)由题意知sin 2，2(cos sin )sin 2，则4(1sin 2)3sin22，因此sin 2或sin 22(舍).【解法小结】1.“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.2.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.考点三三角恒等变换的简单应用例3.(2017北京卷)已知函数f(x)cos2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x时，f(x).【解析】(1)f(x)cos2sin xcos xcos 2xsin 2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期T.(2)证明由(1)知f(x)sin .x，2x，当2x，即x时，f(x)取得最小值.f(x)成立.【解法小结】1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2.把形如yasin xbcos x化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.【思维升华】1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.【易错注意点】1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在(0，)范围内，sin 所对应的角不是唯一的.3.在三角求值时，往往要借助角的范围确定三角函数值的符号或所求角的三角函数的名称.三、【名校新题】1.(2019南昌一模)已知角的终边经过点P(sin 47，cos 47)，则sin(13)()A.B.C.D.【答案】A【解析】由三角函数定义，sin cos 47，cos sin 47，则sin(13)sin cos 13cos sin 13cos 47cos 13sin 47sin 13cos(4713)cos 60.2.(2019合肥模拟)tan 70cos 10(tan 201)等于()A.1 B.2 C.1 D.2【答案】C【解析】 tan 70cos 10(tan 201)cos 101.3.(2019广东省际名校联考)若cos，则cos()A.B.C.D.【答案】D【解析】cos，cossinsin，cos12sin2.4.(2019信阳一模)函数f(x)3sin cos 4cos2(xR)的最大值等于()A.5 B.C.D.2【答案】【解析】由题意知f(x)sin x4sin x2cos x2sin(x)2，又因为xR，所以f(x)的最大值为.5.(2019济南模拟)若sin，A，则sin A的值为()A.B.C.或D.【答案】B【解析】A，A，cos0，且cos，sin Asinsincos cossin .6.(2019江西八所重点中学联考)若点(，0)是函数f(x)sin x2cos x图象的一个对称中心，则cos 2sin cos()A.B.C.1 D.1【答案】D【解析】点(，0)是函数f(x)sin x2cos x图象的一个对称中心，sin 2cos 0，即tan 2.cos 2sin cos 1.7. (2019河北百校联盟联考)已知是第四象限角，且sin，则tan()A.B.C.D.【答案】B【解析】法一sin(sin cos )，sin cos ，2sin cos .是第四象限角，sin 0，sin cos ，由得sin ，cos ，tan ，tan.法二，sincos，又2k2k(kZ)，2k2k(kZ)，cos，sin，tan，tantan.8.(2018济南一模)若sin，A，则sin A的值为()A. B.C.或 D.【答案】B【解析】A，A，cos ，sin Asinsincoscossin.9.(2019届江西九江高三第一次十校联考)已知cos-12=35,计算sin53-2的值为()A.-725B.725C.2425D.-2425【答案】B【解析】由已知可得cos2-6=2cos2-12=-725,sin53-2=sin32-2-6=-cos2-6=725.10.(2019届广东深圳实验,珠海一中等六校第一次联考)已知A是函数f(x)=sin2018x+6+cos2018x-3的最大值,若存在实数x1,x2对任意实数x总有f(x1)f(x)f(x2)成立,则A|x1-x2|的最小值为()A.2018B.1009C.21009D.4036【答案】B【解析】f(x)=sin2018x+6+cos2018x-3=3sin2018x,最小正周期T=1009，即为所求。11. (2019河南六市联考)已知cos ，cos()，若0，则_.【答案】.【解析】由cos ，0，得sin .由0，得0，又cos()，sin().由()得cos cos()cos cos()sin sin().，.12.(2019湘东五校联考)已知sin()，sin()，则_.【答案】5【解析】因为sin()，sin()，所以sin cos cos sin ，sin cos cos sin ，所以sin cos ，cos sin ，所以5.13.(2019广东五校联考)若tan4cos(2)，|，则tan 2_.【答案】【解析】tan4cos(2)，4cos ，又|，sin ，0，cos ，tan ，从而tan 2.14.(2018河北、河南两省重点中学4月联考,8)已知atan +b=(a-btan )tan ,且+6与的终边相同,则ba的值为()A.23B.33C.223D.34【答案】B【解析】由已知可得：atan-tan=-btantan+1,因为-=2k-6,kZ,tan-=tan-tantantan+1=-33,ba=-tan-=33.15. (2019郑州模拟)设函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x的图象关于直线x对称，其中，为常数，且.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的最值.【解析】(1)f(x)sin2x2sin xcos xcos2xsin 2xcos 2x2sin.因为图象关于直线x对称，所以2k(kZ)，所以(kZ)，又，令k1时，符合要求，所以函数f(x)的最小正周期为.(2)因为f0，所以2sin0，则.所以f(x)2sin.由0x，知x，当x，即x0时，f(x)取最小值1.当x，即x时，f(x)取最大值216.(2019石家庄质检)已知函数f(x)sin，xR.(1)求f的值；(2)若cos ，求f的值【解析】(1)fsinsin.(2)fsinsin(sin 2cos 2)因为cos ，所以sin ，所以sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2，所以f(sin 2cos 2)17.(2018山东桓台第二中学4月月考)已知函数f(x)=a+2cos2x2cos(x+)为奇函数,且f2=0,其中aR,(0,).(1)求a,的值;(2)若2, f2+8+25cos+4cos 2=0,求cos -sin 的值.【解析】(1)因为f(x)=a+2cos2x2cos(x+)是奇函数,所以a+2cos2x2cos(x+)=-a+2cos2x2cos(-x+),化简、整理得,cos xcos =0,则有cos =0,由(0,),得=2,所以f(x)=-sin xa+2cos2x2.由f2=0,得-(a+1)=0,即a=-1.(2)由(1)知f(x)=-12sin 2x,f2+8+25cos