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高中数学必修高中数学必修 1 第 1 页 （共 70页） 第一章集合与函数概念第一章集合与函数概念 课题：课题：1.1 集合集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基 础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方 面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课 型：新授课 教学目标： （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于” 关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法列举法与描述法，正确表示一些简单 的集合； 教学过程： 一、 引入课题 军训前学校通知：8 月 15 日 8 点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高 一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新 的概念集合（宣布课题） ，即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P2-P3内容 二、 新课教学 （一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能 意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地， 研究对象统称为元素 （element） ， 一些元素组成的总体叫集合 （set） ， 也简称集。 高中数学必修高中数学必修 1 第 2 页 （共 70页） 3. 思考 1： 课本 P3的思考题， 并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子， 对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征 （1）确定性：设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是 A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个 体（对象） ，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 5. 元素与集合的关系； （1）如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于（belong to）A，记作 aA （2）如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于（not belong to）A，记作 aA（或 a A） （举例） 6. 常用数集及其记法 非负整数集（或自然数集） ，记作 N 正整数集，记作 N*或 N+； 整数集，记作 Z 有理数集，记作 Q 实数集，记作 R （二）集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此 之外还常用列举法和描述法来表示集合。 （1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，； 例 1 （课本例 1） 思考 2，引入描述法 说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素 的顺序。 （2） 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变 化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特 高中数学必修高中数学必修 1 第 3 页 （共 70页） 征。 如：x|x-32，(x,y)|y=x2+1，直角三角形，； 例 2 （课本例 2） 说明： （课本 P5最后一段） 思考 3： （课本 P6思考） 强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素 (x,y)|y= x2+3x+2与 y|y= x2+3x+2不同，只要不引起误解，集合的代表元素 也可省略，例如：整数，即代表整数集 Z。 辨析： 这里的 已包含 “所有” 的意思， 所以不必写全体整数。 下列写法实 数集，R也是错误的。 说明： 列举法与描述法各有优点， 应该根据具体问题确定采用哪种表示法， 要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （三）课堂练习（课本 P6练习） 三、 归纳小结 本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对 集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。 四、 作业布置 书面作业：习题 1.1，第 1- 4 题 五、 板书设计（略） 课题课题:1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系 教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系 了解空集的含义 课 型：新授课 教学目的： （1）了解集合之间的包含、相等关系的含义； （2）理解子集、真子集的概念； （3）能利用 Venn 图表达集合间的关系； （4）了解与空集的含义。 教学重点：子集与空集的概念；用 Venn 图表达集合间的关系。 教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别； 高中数学必修高中数学必修 1 第 4 页 （共 70页） 教学过程： 六、 引入课题 1、 复习元素与集合的关系属于与不属于的关系，填以下空白： （1）0 N； （2）2 Q； （3）-1.5 R 2、 类比实数的大小关系，如 52,B=x|x5，并表示 A、B 的关系； （七） 课堂练习 （八） 归纳小结，强化思想 两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数 间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示 方法； （九） 作业布置 1、 书面作业：习题 1.1 第 5 题 2、 提高作业： 1 已知集合5|0） 由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作00 = n 思考： （课本 P58探究问题） nn a=a一定成立吗？ （学生活动） 结论：当n是奇数时，aa nn = 当n是偶数时， =nNnmaaa nm n m ) 1, 0( 11 * = nNnma a a a nm n m n m 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数 指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂 高中数学必修高中数学必修 1 第 28 页 （共 70页） 3有理指数幂的运算性质 （1） r a srr aa + = ), 0(Qsra； （2） rssr aa=)( ), 0(Qsra； （3） srr aaab=)( ), 0, 0(Qrba 引导学生解决本课开头实例问题 例 2 （教材 P60例 2、例 3、例 4、例 5） 说明： 让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用 巩固练习： （教材 P63练习 1-3） 4 无理指数幂 结合教材 P62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义 指出：一般地，无理数指数幂), 0(是无理数 aa是一个确定的实数有理 数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂 思考： （教材 P63练习 4） 巩固练习思考： ： （教材 P62思考题） 例 3 （新题讲解）从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出 3 1 升，然后用水填满，再倒 出 3 1 升，又用水填满，这样进行 5 次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？ 解： （略） 点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问 题 三十七、 归纳小结，强化思想 本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另 一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化在进行指数幂的运算时，一般地， 化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、 乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要 善于利用幂的运算法则 三十八、 作业布置 5 必做题：教材 P69习题 21（A 组） 第 14 题 6 选做题：教材 P70习题 21（B 组） 第 2 题 高中数学必修高中数学必修 1 第 29 页 （共 70页） 课题：课题：2.1.2 指数函数及其性质指数函数及其性质 教学任务： （1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他 学科的联系； （2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索 并理解指数函数的单调性和特殊点； （3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体 到一般的过程、数形结合的方法等 教学重点：指数函数的的概念和性质 教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质 教学过程： 三十九、 引入课题 （备选引例） 5 （合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全 世界关注 世界人口 2000 年大约是 60 亿， 而且以每年 1.3%的增长率增长， 按照这种增长速度， 到 2050 年世界人口将达到 100 多亿， 大有 “人口爆炸” 的趋势 为此， 全球范围内敲起了人口警钟， 并把每年的 7 月 11 日定为 “世 界人口日” ，呼吁各国要控制人口增长为了控制人口过快增长，许多国家 都实行了计划生育 我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界 7%的国土上，却养育 着 22%的世界人口因此，中国的人口问题是公认的社会问题2000 年第 五次人口普查，中国人口已达到 13 亿，年增长率约为 1%为了有效地控 制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策 1 按照上述材料中的 1%的增长率，从 2000 年起，x 年后我国的人口 将达到 2000 年的多少倍？ 2 到 2050 年我国的人口将达到多少？ 3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？ 6 上一节中 GDP 问题中时间 x 与 GDP 值 y 的对应关系 y=1.073x（xN*，x 20）能否构成函数？ 7 一种放射性物质不断变化成其他物质， 每经过一年的残留量是原来的 84%， 高中数学必修高中数学必修 1 第 30 页 （共 70页） 那么以时间 x 年为自变量，残留量 y 的函数关系式是什么？ 8 上面的几个函数有什么共同特征？ 四十、 新课教学 （一）指数函数的概念 一般地，函数) 1a, 0a (ay x =且叫做指数函数（exponential function） ，其 中 x 是自变量，函数的定义域为 R 注意： 1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析； 2 注意指数函数的底数的取值范围， 引导学生分析底数为什么不能是负 数、零和 1 巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材 P68例 2、3） （二）指数函数的图象和性质 问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和 方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性 探索研究： 1在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1） x ) 3 1 (y = （2） x ) 2 1 (y = （3） x 2y = （4） x 3y = （5） x 5y = 2从画出的图象中你能发现函数 x 2y =的图象和函数 x ) 2 1 (y =的图象有什么 关系？可否利用 x 2y =的图象画出 x ) 2 1 (y =的图象？ 3从画出的图象（ x 2y =、 x 3y =和 x 5y =）中，你能发现函数的图象与其 底数之间有什么样的规律？ 高中数学必修高中数学必修 1 第 31 页 （共 70页） 4你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？ 图象特征 函数性质 1a 1a0 1a, 0x x 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1 1a, 0x x =且，总有a) 1 (f=； （4）当1a时，若 21 xxa，且1a； 2 xNNa a x =log； 3 注意对数的书写格式 思考： 1 为什么对数的定义中要求底数0a，且1a； 2 是否是所有的实数都有对数呢？ 设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定 作准备 两个重要对数： 1 常用对数（common logarithm） ：以 10 为底的对数Nlg； N a log 高中数学必修高中数学必修 1 第 33 页 （共 70页） 2 自然对数（natural logarithm） ：以无理数?71828. 2=e为底的对数的 对数Nln 2 对数式与指数式的互化 xN a =log Na x = 对数式 指数式 对数底数 a 幂底数 对数 x 指数 真数 N 幂 例 1 （教材 P73例 1） 巩固练习： （教材 P74练习 1、2） 设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念 说明：本例题和练习均让学生独立阅读思考完成，并指出对数式与指数式的互 化中应注意哪些问题 3 对数的性质 （学生活动） 1 阅读教材 P73例 2，指出其中求x的依据； 2 独立思考完成教材 P74练习 3、4，指出其中蕴含的结论 对数的性质 （1）负数和零没有对数； （2）1 的对数是零：01log= a ； （3）底数的对数是 1：1log=a a ； （4）对数恒等式：Na N a = log ； （5）na n a =log 四十五、 归纳小结，强化思想 1 引入对数的必要性； 2 指数与对数的关系； 3 对数的基本性质 四十六、 作业布置 高中数学必修高中数学必修 1 第 34 页 （共 70页） 教材 P86习题 22（A 组） 第 1、2 题， （B 组） 第 1 题 课题：课题：2.2.1 对数的运算性质对数的运算性质 教学目的： （1）理解对数的运算性质； （2）知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数； （3）通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用 教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数 教学难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用 教学过程： 四十七、 引入课题 12 对数的定义：bNNa a b =log； 13 对数恒等式：baNa b a N a =log, log ； 四十八、 新课教学 1对数的运算性质 提出问题： 根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题： 1 设m a =2log，n a =3log，求 nm a + ； 2 设mM a =log，nN a =log，试利用m、n表示M a( log)N （学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对 数的运算性质，并引导学生仿此推导其余运算性质） 运算性质： 如果0a，且1a，0M，0N，那么： 1 M a( log=)NM a logN a log； 2 = N M a logM a logN a log； 3 n aM logn=M a log )(Rn 高中数学必修高中数学必修 1 第 35 页 （共 70页） （引导学生用自然语言叙述上面的三个运算性质） 学生活动： 1 阅读教材75例 3、4， ； 设计意图：在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算性质 2 完成教材79练习 13 设计意图：在练习中反馈学生对对数运算性质掌握的情况，巩固所学知识 4 利用科学计算器求常用对数和自然对数的值 设计意图：学会利用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方法 思考：对于本小节开始的问题中，可否利用计算器求解 13 18 log 01. 1 的值？从而引 入换底公式 5 换底公式 a b b c c a log log log= （0a，且1a；0c，且1c；0b） 学生活动 1 根据对数的定义推导对数的换底公式 设计意图： 了解换底公式的推导过程与思想方法， 深刻理解指数与对数的关系 2 思考完成教材 P76问题（即本小节开始提出的问题） ； 3 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n am loglog=； （2） a b b a log 1 log= 设计意图：进一步体会并熟练掌握换底公式的应用 说明：利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定 底数 6 课堂练习 1 教材79练习 4 2 已知的值。试求：12lg,4771. 03lg,3010. 02lg= 3 试求：5lg5lg2lg2lg2+的值。 （对换 5 与 2，再试一试） 高中数学必修高中数学必修 1 第 36 页 （共 70页） 4 的值。，试求： 3333 35lg2lg35lg2lgbaabba+=+ 5 设a=2lg,b=3lg，试用a、b表示12log5 四十九、 归纳小结，强化思想 本节主要学习了对数的运算性质和换底公式的推导与应用，在教学中应用多给 学生创造尝试、思考、交流、讨论、表达的机会，更应注重渗透转化的思想方法 五十、 作业布置 1 基础题：教材 P86习题 22（A 组） 第 3 5、11 题； 2 提高题： 1 设a=3log8,b=5log3，试用a、b表示5lg； 2 设a=7log14,514 = b ，试用a、b表示28log35； 3 设a、b、c为正数，且 cba 643=，求证： bac2 111 = 3 课外思考题： 设正整数a、b、c（abc）和实数x、y、z、满足： 30= zyx cba， 1111 =+ zyx ， 求a、b、c的值 课题：课题：2.2.2 对数函数（一）对数函数（一） 教学任务： （1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理 解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； （2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数 函数的单调性与特殊点； （3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研 究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的 方法 教学重点：掌握对数函数的图象和性质 教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用 教学过程： 高中数学必修高中数学必修 1 第 37 页 （共 70页） 五十一、 引入课题 1 （知识方法准备） 1 学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？ 设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函 数性质的方法借助图象研究性质 2 对数的定义及其对底数的限制 设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备 2 （引例） 教材 P81引例 处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表： 碳 14 的含量 P0.5 0.3 0.1 0.010.001 生物死亡年数 t 然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳 14 的含量 P 的取值，通过对 应关系Pt 2 1 5730 log=，生物死亡年数 t 都有唯一的值与之对应，从而 t 是 P 的 函数” （进而引入对数函数的概念） 五十二、 新课教学 （一）对数函数的概念 1定义：函数0(log=axy a ，且) 1a叫做对数函数（logarithmic function） 其中x是自变量，函数的定义域是（0，+） 注意： 1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别如： xy 2 log2=， 5 log5 x y= 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 2 对数函数对底数的限制：0(a，且) 1a 巩固练习： （教材 P68例 2、3） （二）对数函数的图象和性质 问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容 和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质 高中数学必修高中数学必修 1 第 38 页 （共 70页） 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性 探索研究： 1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象； （可用描点法，也可借助科 学计算器或计算机） （1） xy 2 log= （2） xy 2 1 log= （3） xy 3 log= （4） xy 3 1 log= 2 类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表 格： 图象特征 函数性质 1a 1a0xx a 0log, 10a且)0a有什么关系？图象之间 又有什么特殊的关系？ （3）以xyxyxylg,log,log 52 =的图象为基础，在同一坐标系中画 出xyxyxy 10 1 5 1 2 1 log,log,log=的图象 （4）已知函数xyxyxyxy aaaa 4321 log,log,log,log=的图象， 则底数之间的关系： 教 2 3 log=y x a1 log=y x a2 log=y x a3 log=y x a4 高中数学必修高中数学必修 1 第 41 页 （共 70页） 2 完成下表（对数函数xy a log=, 0(a且)0a的图象和性质） 10x时，y ；当1x时， y ；当10x时，y ；当20a且)0a； 2 2 1 log2，) 1(log 2 2 + aa)(Ra 解： （略） 例 2已知) 13(loga a 恒为正数，求a的取值范围 解： （略） 总结点评： （由学生独立思考，师生共同归纳概括） 高中数学必修高中数学必修 1 第 42 页 （共 70页） 例 3求函数)78lg()( 2 +=xxxf的定义域及值域 解： （略） 注意：函数值域的求法 例 4 （1）函数xy a log=在2，4上的最大值比最小值大 1，求a的值； （2）求函数)106(log 2 3 +=xxy的最小值 解： （略） 注意：利用函数单调性求函数最值的方法，复合函数最值的求法 例 5 （2003 年上海高考题）已知函数 x x x xf + = 1 1 log 1 )( 2 ，求函数)(xf的 定义域，并讨论它的奇偶性和单调性 解： （略） 注意： 判断函数奇偶性和单调性的方法， 规范判断函数奇偶性和单调性的步骤 例 6求函数)54(log)( 2 2 . 0 +=xxyxf的单调区间 解： （略） 注意：复合函数单调性的求法及规律： “同增异减” 练习：求函数)23(log 2 2 1 xxy=的单调区间 五十七、 作业布置 考试卷一套 高中数学必修高中数学必修 1 第 43 页 （共 70页） 课题：课题：2.2.2 对数函数（三）对数函数（三） 教学目标： 知识与技能 理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深 对函数的模型化思想的理解 过程与方法 通过作图，体会两种函数的单调性的异同 情感、态度、价值观 对体会指数函数与对数函数内在的对称统一 教学重点： 重点 难两种函数的内在联系，反函数的概念 难点 反函数的概念 教学程序与环节设计： 创设情境 组织探究 尝试练习 巩固反思 作业回馈 课外活动 由函数的观点分析例题，引出反函数的概念 两种函数的内在联系，图象关系 简单的反函数问题，单调性问题 从宏观性、 关联性角度试着给指数函数、 对 数函数的定义、图象、性质作一小结 简单的反函数问题，单调性问题 互为反函数的函数图象的关系 高中数学必修高中数学必修 1 第 44 页 （共 70页） 教学过程与操作设计： 环节 呈现教学材料 师生互动设计 创 设 情 境 材料一： 当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 会按确 定的规律衰减，大约每经过 5730 年衰减为原来的 一半，这个时间称为“半衰期” 根据些规律，人 们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间 的关系回答下列问题： （1）求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含 量 P，并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系， 指出是我们所学过的何种函数？ （2） 已知一生物体内碳 14 的残留量为 P， 试求 该生物死亡的年数 t， 并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？ （3）这两个函数有什么特殊的关系？ （4）用映射的观点来解释 P 和 t 之间的对应关 系是何种对应关系？ （5）由此你能获得怎样的启示？ 生：独立思考完成，讨 论展示并分析自己的 结果 师：引导学生分析归 纳，总结概括得出结 论： （1） P 和 t 之间的对应 关系是一一对应； （2） P 关于 t 是指数函 数 x P) 2 1 (5730=； t 关于 P 是对数函数 xt 5730 2 1 log=，它们的 底数相同， 所描述的都 是碳 14 的衰变过程 中，碳 14 含量 P 与死 亡年数t之间的对应关 系； （3）本问题中的同底 数的指数函数和对数 函数， 是描述同一种关 系（碳 14 含量 P 与死 亡年数t之间的对应关 系）的不同数学模型 高中数学必修高中数学必修 1 第 45 页 （共 70页） 材料二： 由对数函数的定义可知，对数函数xy 2 log= 是把指数函数 x y2=中的自变量与因变量对调位 置而得出的，在列表画xy 2 log=的图象时，也是 把指数函数 x y2=的对应值表里的x和y的数值 对换，而得到对数函数xy 2 log=的对应值表，如 下： 表一 x y2= 环节 呈现教学材料 师生互动设计 x -3-2-10123 y 8 1 4 1 2 1 1248 表二 xy 2 log= 在同一坐标系中，用描点法画出图象 x -3-2-10123 y 8 1 4 1 2 1 1248 生：仿照材料一分析： x y2=与xy 2 log= 的关系 师：引导学生分析，讲 评得出结论， 进而引出 反函数的概念 组织 探究 材料一：反函数的概念： 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的 因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数 的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函 数互为反函数 由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对 数函数互为反函数 材料二： 以 x y2=与xy 2 log=为例研究互为 反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联 系？ 师：说明： （1）互为反函数的两 个函数是定义域、 值域 相互交换， 对应法则互 逆的两个函数； （2）由反函数的概念 可知 “单调函数一定有 反函数” ； （3）互为反函数的两 个函数是描述同一变 化过程中两个变量关 系的不同数学模型 高中数学必修高中数学必修 1 第 46 页 （共 70页） 师： 引导学生探索研究 材料二 生：分组讨论材料二， 选出代表阐述各自的 结论， 师生共同评析归 纳 尝试 练习 求下列函数的反函数： （1） x y3=； （2）xy 6 log= 生：独立完成 巩固 反思 从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数 函数的定义、图象、性质作一小结 作业 反馈 1 求下列函数的反函数： x 1 2 3 4 y 3 5 7 9 环节 呈现教学材料 师生互动设计 x 1 2 3 4 y 3 5 7 9 2 （1）试着举几个满足“对定义域内任意实 数 a、b，都有 f (ab) = f ( a ) + f ( b ) ”的函数实 例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？ （2） 试着举几个满足 “对定义域内任意实数 a、 b，都有 f (a + b) = f ( a )f ( b ) ”的函数实例， 你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？ 答案： 1互换x、y的数值 2略 课外 活动 我们知道，指数函数0(=aay x ，且) 1a 与对数函数0(log=axy a ，且) 1a互为反函 数，那么，它们的图象有什么关系呢？运用所学的 数学知识，探索下面几个问题，亲自发现其中的奥 秘吧！ 问题 1 在同一平面直角坐标系中，画出指数 函数 x y2=及其反函数xy 2 log=的图象，你能发 现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗？ 问题 2 取 x y2=图象上的几个点，说出它们 关于直线xy =的对称点的坐标，并判断它们是否 在xy 2 log=的图象上，为什么？ 问题 3 如果 P0（x0，y0）在函数 x y2=的图 象上，那么 P0关于直线xy =的对称点在函数 xy 2 log=的图象上吗，为什么？ 结论： 互为反函数的两 个函数的图象关于直 线xy =对称 高中数学必修高中数学必修 1 第 47 页 （共 70页） 问题 4 由上述探究过程可以得到什么结论？ 问题 5 上述结论对于指数函数 x ay = 0(a，且) 1a及其反函数 0(log=axy a ，且) 1a也成立吗？为什么？ 课题：课题：2.3 幂函数幂函数 教学目标： 知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用 过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来 研究幂函数的图象和性质 情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性 教学重点： 重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质 难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律 教学程序与环节设计： 创设情境 组织探究 尝试练习 巩固反思 作业回馈 课外活动 问题引入 幂函数的图象和性质 幂函数性质的初步应用 复述幂函数的图象规律及性质 幂函数性质的初步应用 利用图形计算器或计算机探索一 般幂函数的图象规律 高中数学必修高中数学必修 1 第 48 页 （共 70页） 教学过程与操作设计： 环节 教学内容设计 师生双边互动