一元二次方程全节学案.doc

2.1 一元二次方程【重点难点】1经历抽象一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，理解一元二次方程及相互概念。2经历方程的解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算能力及意识，能列出方程来刻画实际问题。【知识要点】1一元二次方程的概念方程中只含一个未知数，并且未知数最高次数是二次，这样的整式方程叫一元二次方程。任何一个关于x的一元二次方程都可化为ax2+bx+c=0的形式（a，b，c为常数，且a0）。因此我们把这种形式叫一元二次方程的一般形式。其中ax2,bx，c分别叫二次项，一次项，常数项。a,b分别为二次项系数和一次系数。如4x23x2=0中，4x2是二次项，3x是一次项，2为常数项，而4,3分别是二次项、一次项的系数。2一元二次方程的解能够使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，这与一元一次方程，二元一次方程的解的意义一样。检验一个未知数的值是否是一元二次方程的解的方法：将未知数的值代入方程的左，右两边，分别计算结果，再比较左右两边是否相等，如果左右两边相等，则未知数的值是原方程的解，否则就不是原方程的解。4求实际问题中一元二次方程的近似解。对于实际问题列出的一元二次方程，我们可先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体计算进行两边“夹逼”，逐步获得其近似解。【例题讲解】例1判断下列式子是不是关于x的一元二次方程:下列关于x的方程:（1）ax2+bx+c=0,(2)k2+5k+b=0,(3);(4)(m2+3)x2+2=0,(5)x2+是一元二次方程的是 （只填序号）.例2求出下列方程二次项，一次项及常数项：（1）6x2=5x+2, (2)(3x1)(x+2)=.例3如图 所示，要建一个面积为130平方米的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16米）并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有能围成32米长的木板，求仓库的长和宽，对于这个问题，你能列出方程吗？试着求其解来，并与同伴交流一下自己的心得。例4关于x的一元二次方程（a1）x2+x+a21=0有一根为0,则a的值应为 .A1 B.1 C.1或1 D.【达标训练】一、选择：1.下列方程不是整式方程的是( )A. B.0.2x20.4x3=0 C. D.2.在下列方程中,一元二次方程的个数是( )3x2+7=0,ax2+bx+c=0,(x+2)(x3)=x21,x2+4=0,x2(+1)x+=0,3x2+6=0A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.关于x的一元二次方程3x2=5x2的二次项系数,一次项和常数项,下列说法完全正确的是( )A.3,5,2 B.3,5x,2 C.3,5x,2 D.3,5,24.一元二次方程5x2+x3=0,把二次项系数变为正数,且使方程的根不变的是( )A.5x2x+3=0 B.5x2x3=0 C.5x2+x3=0 D.5x2+x+3=05.已知关于x的一元二次方程(m1)x2+x+m2+2m3=0的一个根为0,则m的值为( )A.1 B.3 C.1和3 D.不等于1的任何数6.已知2y2+y2的值为3，则4y2+2y+1值为（ ）A10 B.11 C.10或11 D.3或17.若一元二次方程ax2+bx+c=0中,二次项系数,一次项系数,常数项之和为0,则方程必有一根是( )A.0 B.1 C.1 D.18.若b(b0)是方程x2+cx+b=0的根,则b+c的值为( )A.1 B.1 C.2 D.29.如图所示,在正方形的铁片上,截去2cm宽的一个长方形,余下的面积是48cm2,则原来的正方形铁片的面积是( )A.81cm2 B.64cm2 C.16cm2 D.8cm210.方程(m+2)+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则( )A.m=2 B.m=2 C.m=2 D.m2二、填空：11.一元二次方程的一般形式是 ,其中 是二次项, 是一次项, 是常数项.12.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,则k的取值范围是 .13.方程4x2=3x+1的二次项是 ,一次项是 ,常数项是 .14.已知关于x的方程是一元二次方程,则m= .15.已知关于x的方程x2(2m1)x(2m1)=0有一根为0,则m= .16.关于x的一元二次方程(a1)x2+a21=0有一根为0,则a= .17.已知关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1,一根为1,则a+b+c= ,ab+c= .18.小王在超市用24元买了某种品牌的牛奶若干盆,过一段时间再去超市,发现这种牛奶进行让利销售,每盒让利0.4元,他用24元钱比上次多买2盒,若设这种牛奶原价为每盒x元,则可列方程为 ,若设后来买了y盒,则依题意可列方程为 .19.某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨,若设平均每年的增长率为x,则所列方程为 .20.已知方程(x+a)(x3)=0和方程x22x3=0的解完全相同,则a= .21.已知x2+7xy60y2=0,则= .22.若分式的值为0,则x= .三、解答题：23.关于x的方程(ab)x2+ax+b=0在什么条件下是一元一次方程?在什么条件下是一元二次方程?24.关于x的方程(2m2+m3)xm+1+5x=13能是一元二次方程吗?为什么?25.当m为何值时,关于x的方程 (m29)x2+(m3)x+2m=0:(1)是一元一次方程? (2)是一元二次方程?26.已知关于x的方程(n2)+3nx+3=0是一元二次方程,试求n的值并写出这个一元二次方程.27.已知a、b、c均为有理数,试判定关于x的方程ax2x+b=c是不是一元二次方程,如果是,请写出二次项系数,一次项系数及常数项.28.已知一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为1,且a、b满足等式b=3,求方程c=0的根.29.一块矩形耕地大小尺寸如图所示,要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠,如果水渠的宽度相等,而且要保证余下的耕地面积为9600米2,那么水渠应挖多宽?2.2 配方法【重点难点】1.会用开平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程；理解配方法,会用配方法解简单数字系数的一元二次方程.2.能够建立一元二次方程刻画现实世界中的数量关系,增强应用数学知识的意识和能力.3.体会转化的数学思想.4.能根据具体实际问题检验结果的合理性.【知能互动】1.直接开平方法解一元二次方程对于形如x2=m或(ax+n)2=m(a0,m0)的型的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用直接开平方法求解.x2=m的解为x=,即(ax+n)2=m转化为ax+n=,即ax+n=,或ax+n=,这两个一元一次方程来解.因为负数没有平方根,所以当m0 当b24ac0时，两边开方得：即 这样就得到了一元二次方程的求根公式:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),当b24ac0时，它的根为。2运用求根公式解一元二次方程将一元二次方程写成ax2+bx+c=0的形式，由求根公式表示式可知，它的根由系数a,b,c确定，因此求根时，只需将方程各项的系数分别代入公式即可求出方程的解。对于任何一个一元二次方程并不是都有实数根。因此在运用求根公式之前，应先求b24ac，当b24ac0时可继续把根求出；当b24ac0时，由于负数没有平方根，所以方程无解，这时不必代入公式求解了。运用公式解一元二次方程的步骤：（1）将方程化为一元二次方程一般形式。（2）确定a、b、c的值。（3）求出b24ac的值,确定方程是否有实根.（4）代入求根公式求根。【名题探究】例1运用求根公式解下列方程：（1）5x2=3x (2)x2+2=0 (3)(y1)(y+3)+5=0例2选择适当的方法解下列方程:（1）4(3x2)2=36 (2)3x2+5(2x+1)=0例3已知一个直角三角形的两直角边的长恰当方程2x28x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 .A. B.3 C.6 D.9例4 先从括号内备选项中选出合适的一项,填在横线上,将题目补充完整后再解答.(1)如果a是关于x的方程x2+bx+a=0的根,并且a0,求 的值.(ab a+b ab)(2)已知7x2+5y2=12xy,并且xy0,求 的值.(xy x+y xy【达标训练】一、选择:1方程2x(x3)=5(x3)的根为( )A. B.x=3 C. D.2.若代数式4x22x5与2x2+1的值互为相反数,则x的值为( )A.1或 B.1或 C.1或 D.1或3.利用求根公式求的根时,a,b,c的值分别是( )A.5, ,6 B.5,6, C.5,6, D.5,6, 4.方程(x1)(x5)=1的两个根等于( )A.x1=5,x21 B.x1=6,x2=2C.x1= D.5.对于一元二次方程ax2+bx+c=0,下列叙述正确的是( )A.方程总有两个实数根 B.只有当b24ac0时,才有两实根C.当b24acM B.=M C.x2,则x12x2的值是 。18方程x2=x的解是 。19已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2,则此长方形的周长为 .20有一间长20米，宽15米的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为 .三、解答题：21.选用适当的方法解下列方程:(1)(3x)2+x2=9 (2)(2x1)2+(12x)6=0(3)(3x1)2=4(1x)2 (4)(x1)2=(1x)22.解下列关于x的方程:(1)x2+(1+2)x+3+=0 (2)x23|x|4=0(3)(x3)2+(x+4)2(x5)2=17x+2423已知c的定数，并且x23x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3xc=0的一个根，你能求出方程x2+3xc=0的根和C 的值吗？24方程(2002x)220012003x1=0较大根为a,方程x22002x2003=0的较小根为b,求(a+b)2003的值.25.已知等腰三角形两边长分别是x28x+15=0的两根，求此等腰三角形的周长。26已知是方程x24x+C=0的一个根，求方程的另一个根及C的值。27我们知道一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两根x1,x2,则, ，则x1+x2= ,x1x2= .请运用上面你发现的结论,解答问题:已知x1,x2是方程x2x1=0的两根,不解方程求下列式子的值:x12+x22; ; (x1+1)(x2+1).2.5为什么是0.618【本节必学】1.经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型解决问题的过程,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解实际问题的重要性.2.通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思维能力和分析问题,解决问题的能力.【知能互动】1.列一元二次方程解应用题的特点一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和发展,能用一元一次方程解的应用题,一般可用算术方程解.而用一元二次方程解的应用题,一般不能用算术方法求解.由于一元二次方程的次数为二次,所以其应用相当广泛,其中面积问题,两次增长的平均增率和储蓄问题,经营问题,数字问题中涉及到积的一些问题,都是代表类型.(1)数字问题:要能正确地表示诸如多位数,奇偶数,连续整数的形式.如:一个三位数abc可表示为 连续两个偶数可表示为 连续两个整数可表示为 这类问题常常间接设未知数,相等关系由题目的关键语句”译”出.(2)平均增长率(增长率或降低常)问题在此例问题中,一般有:变化前的基数(a),增长率(x)变化的次数(n),变化后的基数(b),这四者之间的关系可用公式_ 表示.这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的词语”译”出.(3)经营问题 这也是近年来中考中出现频率高的应用问题.在这类问题中有进价(a)售价(b)利润(p)件数(n)等相关的量.这些量之间的关系可用公式 表示,同时件数(n)又经常与售价(b)关联,在解答此类问题时,一定要准确地找到反映它们关系的代数式.(4)其它问题 在近年的中考中,常常出现一些贴进生活,生产的实际问题,如:规划、方案设计、测量统计、几何应用,与物理及其它学科之间的渗透的问题等.解答这些问题时,等量关系一般从已知公式或题目中的关键词句”译”出.2.列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的步骤可归纳为”审,设,列,解,答”.(1)审:认真审题,分析题意,弄清已知和未知,寻找相等关系;(2)设:就是设未知数,分直接设未知数和间接设未知数,所谓直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接设未知数.到底选择何种方式设未知数,要以有利于列出方程为准则.(3)列:就是根据题目中的已知量与未知量之间的相等关系列出方程.列一元二次方程解应用题时,一般会产生两个解,必须检验每个解是否符合题意,正确取舍.(4)解:就是求出所列方程的解.(5)答:就是书写答案,在答之前应对解得的方程的解进行检验,舍去不符合实际意义的解.【名题探究】例1.已知一直角三角形三边长为三个连续偶数,试求这个直角三角形三边长及面积.例2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为12万元,求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是多少?例3.如图所示,ABC中,B=90,点P从A 点开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动.(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,经几秒钟,使PDQ的面积等于8厘米2?(2)如果P,Q,分别从A,B同时出发,并且P到B点又继续在BC边上前进,Q点到达C点后又继续在CA边上前进,经过几秒钟,使PCQ的面积等于12.6厘米2?例4.某儿童玩具商店将进货价为30元的一种玩具以40元售出,平均每月能售出600个.调查表明:这种玩具售价每上涨1元,其销售量将减少10个,为了实现平均每月12000元的销售利润,这种玩具的售价应定为多少?这时进这种玩具多少个?例5 某农户1988年承包荒山若干亩,投资7800元改造后种果树2000棵,其成活率为90%,在2001年夏季全部结果时,随意摘下10棵果树的水果,称得重量如下(单位:千克):8,9,12,13,8,9,10,11,12,8(1)根据样本平均数估计该农户2001年水果的总产量是多少?(2)此水果在市场出售每千克售1.3元,在果园每千克售1.1元,该农户用农用车将水果拉到市场出售,平均每天出售1000千克,需8人帮助,每人每天付工资25元,若两种出售方式都在相同的时间内售完全部水果,选择哪 种出售方式合理?为什么?(3)该农户加强果园管理,力争到2003年三年合计纯收入达57000元,求2002年,2003年平均每年增长率是多少?【达标训练】一、选择：1.某商品两次价格下调后,单价从5元变为4.05元,则平均每次调价的百分率为( )A.9% B.10% C.11% D.12%2.容器里装满纯酒精,倒出一半后用水加满,再倒出,再用水加满,此时容器内酒精浓度为( )A.15% B.12.5% C.37.5% D.25%3.某超市一月份的营业额为200万元,一,二,三月份的营业额为1000万元,设平均每月的营业额为增长率为x,则由题意列方程为( )A.200+2002x=1000 B.200(1+x)2=1000 C.200+2003x=1000 D.2001+(1+x)+(1+x)2=10004.从正方形的铁片上,截去5cm宽的一个长方形铁皮,余下的面积为84cm2,则原来正方形面积最大可能为( )cm2.A.84 B.109 C.144 D.4205.一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对调下得到一个两位数,这两个数之积是2296,则这个两位数为( )A.28 B.82 C.28或82 D.不确定6.元旦期间,一个小组有若干人,新年互送贺卡一张,已知全组共送贺卡132张,则这个小组共有( )人.A.11 B.12 C.13 D.147.北京市政府为迎接2008年奥运会,决定改善城市面貌,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,则这两年平均每年绿地面积的增长率是( )A.19% B.20% C.21% D.25%二、填空：8.两个连续奇数的平方和为202,则这两个奇数是_.9.直角三角形的面积为6,两直角边的和为7,则斜边长为 10.某工厂第一季度平均每月增产10%,一月份产值a元,那么三月份产值为 三、解答题:11.一块耕地大小尺寸如图所示,要在这块耕地上沿东西和南北方向分别挖二条和四条水渠,如果水渠的宽相等,而且要保证余下的可耕地面积为9600平方米,那么水渠应挖多宽?12.某网络公司2000年各项经营收入中,经营电脑配件收入600万元,占全部经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入达到2160万元,且计划从2000到2002年每年经营总收入的年增长率相同,问2001年的预计经营总收入为多少万元?13.用篱笆围成一个长方形花坛,其中一面靠墙,且在与墙平行的一边开一个2米宽的门,现有能围成91米长的篱笆,墙长为50米,花坛的面积要达到1080平方米,你能设计出符合要求的方案吗?不妨试试看.14.据2001年中国环境状况公报,我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万平方公里,其中风蚀造成水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方公里.(1)问水蚀,风蚀造成的水土流失面积各是多少平方公里?(2)西北某省重视水土流失问题,2001年治理了水土流失面积400平方公里,该省逐年加大治理力度,计划今明两年治理水土流失面积都比前一年增长 一个相同的百分数,到2003年底,使这三年治理水土流失面积达到1324平方公里,求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数.15.某玩具厂生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产品全部售出,已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元),售价为每只P(元),且R,P与x的关系式为R=500+30x,P=1702x,当日产量为多少时,每日获得的利润为1750元?16.已知直角三角形周长为,斜边上的中线长为1,求这个直角三角形的面积.17.某公司向银行贷款20万元资金,约定两年到期时一次性还本付息,利息是本金的12%,该公司利用这笔贷款经