xx届高考数学第二轮备考复习：由数列的前n项和 与通项 的关系求通项

1 / 4 XX 届高考数学第二轮备考复习：由数列的前 n 项和 与通项 的关系求通项 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课 件 m 题型三 由数列的前 n 项和与通项的关系求通项 (推荐时间： 30 分钟 ) 1已知数列 an的前 n项和为 Sn，且满足 an 2SnSn 1 0(n2) ， a1 12. (1)求证： 1Sn 为等差数列； (2)求 an 的表达式 2 (XX江苏 )设 m 为部分正整数组成的集合，数列 an的首项 a1 1，前 n 项和为 Sn.已知对任意的整数 km ， 当整数 nk 时， Sn k Sn k 2(Sn Sk)都成立 (1)设 m 1， a2 2，求 a5 的值； (2)设 m 3,4，求数列 an的通项公式 答案 1 (1)证明 an Sn Sn 1(n2) ， an 2SnSn 1 0(n2) ， Sn Sn 1 2SnSn 1 0. Sn0 ， 1Sn 1Sn 1 2(n2) 2 / 4 由等差数列的定义，可知 1Sn 是以 1S1 1a1 2 为首项，以2 为公差的等差数列 (2)解 方法一 由 (1)，知 1Sn 1S1 (n 1)d 2 (n1)2 2n， Sn 12n. 当 n2 时，有 an 2SnSn 1 12nn 1； 当 n 1， a1 12，不满足上式， 故 an 12 n 1 ，12nn 1n2. 方法二 由 (1)，知 1Sn 1S1 (n 1)d 2 (n 1)2 2n， Sn 12n. 当 n2 时，有 an Sn Sn 1 12n 12n 1 12nn 1， 当 n 1 时， a1 12，不满足上式， 故 an 12 n 1， 12nn 1n2. 2解 (1)由题设知，当 n2 时， Sn 1 Sn 1 2(SnS1)， 即 (Sn 1 Sn) (Sn Sn 1) 2S1， 从而 an 1 an 2a1 2. 3 / 4 又 a2 2，故当 n2 时， an a2 2(n 2) 2n 2.所以 a5的值为 8. (2)由题设知，当 km 3,4且 nk 时， Sn k Sn k 2Sn 2Sk 且 Sn 1 k Sn 1 k 2Sn 1 2Sk， 两式相减得 an 1 k an 1 k 2an 1，即 an 1 kan 1 an 1 an 1 k， 所以当 n8 时， an 6， an 3， an， an 3， an 6 成等差数列，且 an 6， an 2， an 2， an 6 也成等差数列 从而当 n8 时， 2an an 3 an 3 an 6 an 6， (*) 且 an 6 an 6 an 2 an 2， 所以当 n8 时， 2an an 2 an 2，即 an 2 an anan 2. 于是当 n9 时， an 3， an 1， an 1， an 3 成等差数列，从而 an 3 an 3 an 1 an 1，故由 (*)式知 2an an 1 an 1， 即 an 1 an an an 1. 当 n9 时，设 d an an 1. 当 2m8 时， m 68 ，从而由 (*)式知 2am 6 am am 12， 故 2am 7 am 1 am 13. 从而 2(am 7 am 6) am 1 am (am 13 am 12)，于是 am 1 am 2d d d. 4 / 4 因此， an 1 an d 对任意 n2 都成立 又由 Sn k Sn k 2Sn 2Sk(k3,4) 可知 (Sn k Sn) (Sn Sn k) 2Sk， 故 9d 2S3 且 16d 2S4.解得 a4