xx届高考理科数学第一轮总复习教案

1 / 12 XX 届高考理科数学第一轮总复习教案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第五章 三角函数 高考导航 考试要求重难点击命题展望 1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 . 2.理解任意角三角函数 (正弦、余弦、正切 )的定义 . 3.能利用单位圆中的三角函数线推导出， 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出 y sinx， y cosx， y tanx的图象，了解三角函数的周期性 . 4.理解正弦函数、余弦函数在 0,2 上的性质 (如单调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交点等 )，理解正切函数在( ,)上的单调性 . 5.理解同角三角函数的基本关系式： sin2x cos2x 1，tanx. 6.了解函数 y Asin(x ) 的物理意义，能画出函数 y Asin(x ) 的图象，了解参数 A， ， 对函数图象变化的影响 . 7.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 . 8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，会用两角差2 / 12 的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它 们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换 (包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆 ). 9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 .本章重点： 1.角的推广，三角函数的定义，诱导公式的运用； 2.三角函数的图象与性质， y Asin(x ) ( 0)的性质、图象及变换； 3.用三角函数模型解决实际问题； 4.以和、差、倍角公式为依据，提高推理、运算能力；5.正、余弦定理及应用 . 本章难点： 1.任意 角的三角函数的几何表示，图象变换与函数解析式变换的内在联系； 2.灵活运用三角公式化简、求值、证明； 3.三角函数的奇偶性、单调性的判断，最值的求法；4.探索两角差的余弦公式； 5.把实际问题转化为三角函数问题 . 三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型 .三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的基础知识之一 .在高考中主要考查对三角函数概念的理解；运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、作图、识图等 .解三角形的问题往往与其他知识 (如立体几何、解析几何、向量等 )相联 系，3 / 12 考查考生的数学应用意识，体现以能力立意的高考命题原则 . 知识网络 任意角的三角函数的概念 典例精析 题型一 象限角与终边相同的角 【例 1】若 是第二象限角，试分别确定 2 、的终边所在的象限 . 【解析】因为 是第二象限角， 所以 k360 90 k360 180(kZ). 因为 2k360 180 2 2k360 360(kZ) ，故2 是第三或第四象限角，或角的终边在 y 轴的负半轴上 . 因为 k180 45 2 k180 90(kZ) ， 当 k 2n(nZ) 时， n360 45 2 n360 90 ， 当 k 2n 1(nZ) 时， n360 225 2 n360 270. 所以 2 是第一或第三象限角 . 【点拨】已知角 所在象限，应熟练地确定 2 所在象限 . 4 / 12 如果用 1 、 2 、 3 、 4 分别表示第一、二、三、四象限角，则 12 、 22 、 32 、 42 分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角 (其余略 )，熟记右图，解有关问题就方便多了 . 【变式训练 1】若角 2 的终边在 x轴上方 ，那么角 是 ( ) A.第一象限角 B.第一或第二象限角 c.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角 【解析】由题意 2k 2 2k ， kZ ， 得 k k 2 ， kZ. 当 k 是奇数时， 是第三象限角 . 当 k 是偶数时， 是第一象限角 .故选 c. 题型二 弧长公式，面积公式的应用 【例 2】已知一扇形的中心角是 ，所在圆的半径是 R. (1)若 60 ， R 10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值 c(c 0)，当 为多少弧度时，该扇形的面积有最大值 ？并求出这个最大值 . 【解析】 (1)设弧长为 l，弓形面积为 S 弓， 因为 60 3 ， R 10cm，所以 l 103cm ， S 弓 S 扇 S 1210103 12102sin60 50(3 32)cm2. (2)因为 c 2R l 2R R ，所以 R c2 ， 5 / 12 S 扇 12R2 12(c2 )2 c222 4 4c221 4 4c216 ， 当且仅当 4 时，即 2( 2 舍去 )时，扇形的面积有最大值为 c216. 【点拨】用弧长公式 l |R 与扇形面积公 式 S 12lR12R2| 时， 的单位必须是弧度 . 【变式训练 2】已知一扇形的面积为定值 S，当圆心角 为多少弧度时，该扇形的周长 c 有最小值？并求出最小值 . 【解析】因为 S 12Rl，所以 Rl 2S， 所以周长 c l 2R22Rl 24S 4S， 当且仅当 l 2R 时， c 4S， 所以当 lR 2 时，周长 c 有最小值 4S. 题型三 三角函数的定义，三角函数线的应用 【例 3】 (1)已知角 的终边与函数 y 2x 的图象重合，求sin ； (2)求满足 sinx32 的角 x 的集合 . 【解析 】 (1)由 交点为 ( 55， 255)或 (55， 255)， 所以 sin 255. (2) 找终边：在 y 轴正半轴上找出点 (0， 32)，过该点作平行于 x 轴的平行线与单位圆分别交于 P1、 P2 两点，连接 oP1、oP2，则为角 x 的终边，并写出对应的角 . 画区域：画出角 x 的终边所在位置的阴影部分 . 6 / 12 写集合：所求角 x 的集合是 x|2k 43x2k 3 ， kZ. 【点拨】三角函数是用角 的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题 .利用三角函数线证某 些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观 . 【变式训练 3】函数 y lgsinx cosx 12 的定义域为 . 【解析】 2k x2k 3 ， kZ. 所以函数的定义域为 x|2k x2k 3 ， kZ. 总结提高 1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小 . 2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如 k360 3 的错误书写 . 3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和 理解三角函数的一把钥匙 . 7 / 12 同角三角函数的关系、诱导公式 典例精析 题型一 三角函数式的化简问题 【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将 视为锐角后，再判断所求角的象限 . 【变式训练 1】已知 f(x) 1 x， (34 ， ) ，则 f(sin2) f( sin2) . 【解析】 f(sin2) f( sin2) 1 sin2 1 sin2 (sin cos)2 (sin cos)2 |sin cos| |sin cos|. 因为 (34 ， ) ，所以 sin cos 0， sin cos 0. 所以 |sin cos| |sin cos| sin cos sin cos 2cos. 题型二 三角函数式的求值问题 【例 2】已知向量 a (sin ， cos 2sin) ， b (1,2). (1)若 ab ，求 tan 的值； (2)若 |a| |b|， 0 ，求 的值 . 【解析】 (1)因为 ab ，所以 2sin cos 2sin ， 于是 4sin cos ，故 tan 14. (2)由 |a| |b|知， sin2 (cos 2sin)2 5， 8 / 12 所以 1 2sin2 4sin2 5. 从而 2sin2 2(1 cos2) 4，即 sin2 cos2 1， 于是 sin(2 4) 22. 又由 0 知， 4 2 4 94 ， 所以 2 4 54 或 2 4 74. 因此 2 或 34. 【变式训练 2】已知 tan 12，则 2sincos cos2等于 ( ) 【解析】原式 2sincos cos2sin2 cos2 2tan 11 tan2 85.故选 B. 题型三 三角函数式的简单应用问题 【例 3】已知 2 x 0 且 sinx cosx 15，求： (1)sinx cosx 的值； (2)sin3(2 x) cos3(2 x)的值 . 【解析】 (1)由已知得 2sinxcosx 2425，且 sinx 0cosx， 所以 sinx cosx (sinx cosx)2 1 2sinxcosx1 2425 75. (2)sin3(2 x) cos3(2 x) cos3x sin3x (cosx sinx)(cos2x cosxsinx sin2x) 9 / 12 75(1 1225) 91125. 【点拨】求形如 sinxcosx 的值，一般先平方后利用基本关系式，再求 sinxcosx 取值符号 . 【变式训练 3】化简 1 cos4 sin41 cos6 sin6. 【解析】原式 1 (cos2 sin2)2 2sin2cos21 (cos2 sin2)(cos4 sin4 sin2cos2) 2sin2cos21 (cos2 sin2)2 3sin2cos2 23. 总结提高 1.对于同角三角函数基本关系式中 “ 同角 ” 的含义，只要是“ 同一个角 ” ，那么基本关系式就成立，如： sin2( 2) cos2( 2) 1 是恒成立的 . 2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单 . 两角和与差、二倍角的三角函数 典例精析 题型一 三角函数式的化简 【例 1】化简 (0 ). 【解析】因为 0 ，所以 0 2 2 ， 所以原式 cos. 10 / 12 【点拨】先从角度统一入手，将 化成 2 ，然后再观察结构特征，如此题中 sin22 cos22 cos. 【变式训练 1】化简 2cos4x 2cos2x 122tan(4 x)sin2(4 x). 【解析】原式 12(2cos2x 1)22tan(4 x)cos2(4 x) cos22x4cos(4 x)sin(4 x) cos22x2sin(2 2x) 12cos2x. 题型二 三角函数式的求值 【例 2】已知 sinx2 2cosx2 0. (1)求 tanx 的值 ； (2)求 cos2x2cos(4 x)sinx 的值 . 【解析】 (1)由 sinx2 2cosx2 0tanx2 2，所以tanx 221 22 43. (2)原式 cos2x sin2x2(22cosx 22sinx)sinx (cosx sinx)(cosx sinx)(cosx sinx)sinx cosxsinxsinx 1tanx 1 ( 34) 1 14. 【变式训练 2】 2cos5 sin25sin65 . 【解析】原式 2cos(30 25) sin25cos25 3cos25cos25 3. 题型三 已知三角函数值求解 【例 3】已知 tan( ) 12， tan 17，且 ， (0 ，) ，求 2 的值 . 11 / 12 【解析】因为 tan2( ) 2tan( )1 tan2( ) 43， 所以 tan(2 ) tan2( ) tan2( ) tan1 tan2( )tan 1， 又 tan tan( ) tan( ) tan1 tan( )tan 13， 因为 ( 0， ) ，所以 0 4 ， 又 2 ，所以 2 0，所以 2 34. 【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小 . 【变式训练 3】若 与 是两锐角，且 sin( ) 2sin ，则 与 的大小关系是 ( ) A. B. c. D. 以上都有可能 【解析】方法一：因为 2sin sin( )1 ，所以sin12 ，又 是锐角，所以 30. 又当 30 ， 60 时符合题意，故选 B. 方法二 ：因为 2sin sin( )