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西北工业大学 硕士学位论文 结构优化设计的渐进方法及优化设计的软件实现 姓名：刘涛 申请学位级别：硕士 专业：结构工程 指导教师：邓子辰 20040301 摘要 本文研究了渐进优化方法( E v o l u t i o n a r yS t r u c t u r eO p t i m i z a t i o n ) 在桁架结构和连续体结构优化中的应用；结合商业C A E 软件A n s y s 研 究了结构优化设计的软件实现方法。 在桁架优化方面，基于渐进优化方法的概念，提出了一种桁架结 构尺寸、形状以及拓扑组合优化的方法。作为铺垫，讨论了桁架结构 尺寸优化的力学准则法和桁架结构尺寸、形状组合优化的渐进优化方 法。在此过程中，还将渐进优化方法与数学规划法进行了对照。 在连续体结构优化方面，讨论了几类约束下基于渐进优化方法的 连续体拓扑优化，这些约束分别是应力约束，位移约束以及频率约束； 利用渐进优化方法，进行了加筋板壳结构的形状优化研究。分析了渐 进优化方法处理此类优化问题的优缺点。 在结构优化设计的软件实现方面，基于已有商业有限元软件，提 出了一套结构优化设计的软件实现解决方案，并以广泛使用的A N S Y S 软件为例，阐述了优化软件实现的过程。这部分的工作对今后优化设 计的软件实现具有指导作用。 关键词： 结构优化设计。渐进优化方法，桁架结构，连续体结构 软件实现，C A E A b s t r a c t I nt h i s d i s s e r t a t i o n ，t h eE v o l u t i o n a r y S t r u c t u r e O p t i m i z a t i o n m e t h o di ss t u d i e df o rb o t ht r u s ss t r u c t u r eo p t i m i z a t i o na n dc o n t i n u u m s t r u c t u r e o p t i m i z a t i o n ，A no p t i m i z a t i o nc o m p u t a t i n g s c h e m ei sa l s o s t u d i e db a s e do nt h ea v a i l a b l eC A Es o f t w a r e ，A N S Y Sa sa ne x a m p l e I nt r u s ss t r u c t u r eo p t i m i z a t i o n ，an e wm e t h o di s p r o p o s e d f o rt h e c o m b i n e do p t i m i z a t i o no fs i z e ，s h a p ea n dt o p o l o g y ，w h i c hi sb a s e do n E S Oc o n c e p t T om a k ei tc l e a r ，t h em e t h o d sf o rt h es i z eo p t i m i z a t i o n a n dc o m b i n e ds i z e ，s h a p eo p t i m i z a t i o na r ea l s oi n t r o d u c e d f o r w a r d l y a n dr es p e c t i v e l y ，i nw h i c ht h ef o r m e risb a s e do no p t i m a l i t yc r i t e r i a m e t h o da n dt h el a t t e ri sb a s e do nE S Oc o n c e p t F u r t h e r m o r e ，t h e c o m p a r i s o nis m a d eb e t w e e nE S Oa n dm a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g I nc o n t i n u u ms t r u c t u r eo p t i m i z a t i o n ，E S Oi s a p p l i e df o rt o p o l o g y o p t i m i z a t i o n u n d e rt h ec o n s t r a i n t so f s t r e s s ，d i s p l a c e m e n t a n d f r e q u e n c y I na d d i t i o n ，E S Oi sa p p l i e dt O t h eo p t i m i z a t i o nf o rs h e l l s r e i n f o r c e db yr i b s F i n a l l y ，a no p t i m i z a t i o nc o m p u t a t i n gs c h e m ei ss t u d i e db a s e do n t h ea v a i l a b l eC A Es o f t w a r e A N S Y Sa sa ne x a m p l e T h r e em e t h o d sa r e i n t r o d u c e df o r o p t i m i z a t i o nc o m p u t a t i o n ，w h i c hm i g h tb eh e l p f u lf o r f u r t h e rr e s e a r c hw o r k K e y w o r d s ：S t r u c t u r eo p t i m i z a t i o n ，E S Om e t h o d ，T r u s sS t r u c t u r e ， c o n t i n u u ms t r u c t u r e ，S o f t w a r em e t h o d ，C A E 西北工业大学硕上学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 结构设计作为工程设计的重要组成部分，一直受到人们的密切关 注。一个优秀的结构设计首先应确保工程结构具有足够的可靠性即： 满足工程结构的安全性，适用性和耐久性的要求。在此基础上，还应 考虑方案的经济性，在可行设计方案中寻找最优设计，从而做到经济 实用。 在科学的结构分析方法诞生以前，结构设计是以模型试验和经验 估算为主的原始方法进行的，结构设计的主要目的也只是简单的满足 安全使用，由于没有正确的方法指导，常常造成不必要的材料浪费。 随着力学和材料科学的发展，结构工程师们逐渐掌握了结构分析理论 和方法并将之用于工程实践中，但在初期，由于理论的不完善和计算 手段的局限，结构设计仍是以倾向结构安全为主而较少兼顾方案经济 性的。到了近代，特别是运筹学，有限元分析的出现和计算机在工程 中的日益广泛运用，结构设计中寻求同时兼顾可靠性与经济性的方案 已成为可能，结构优化设计作为理论由此孕育而生。 所谓结构优化设计就是在满足各种规范或某些特定要求的条件下 使结构的某些广义性能指标( 如重量，造价，刚度或频率) 为最佳。 也就是在所有可用的方案中，按某种标准找出最优方案。在这种情况 下，力学在工程设计所起的作用便有过去的“分析和校核”发展为“综 合和优先“。 结构优化设计从马克斯威尔理论( M a x w e l l ，1 9 8 0 ) 和米歇尔 ( M ic h e l l ，1 9 0 5 ) 桁架出现起已有百年，从史密特( S c h m i t ) 用数学规划 来解决结构优化设计算起亦有4 0 年历史，特别是过去3 0 年内，在理论、 算法和应用方面都取得了长足的发展。仅从专门期刊( J o u r n a lo f o p t i m iz a t i o nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n S ，E n g i n e e r i n go p t i m iz a t i o n ， S t r u c t u r a l o p t i m iz a t i o n 等) 、有关学术会议和公开出版的著作等方 面很不完全的统计( 至1 9 9 0 年) ，已发表的综述达5 0 余篇，专著1 5 0 本 有关优化论文超过2 5 0 0 篇，其中大约5 0 0 篇探讨基于可靠度的优化和 优化程序。应用优化的领域涉及航空航天、机械、土木、水利、桥梁、 西北工业大学硕十学位论文第一章绪论 汽车、铁路、轻工纺织、能源工业以及军事工业等诸多方面，主要处理 那些具有复杂结构系统的设计，如飞机、卫星、机器人、射电望远镜等， 或者大规模的工程建设，如大坝、桥梁、核电站，或者产量大的汽车、 机械和轻工产品以及创新型的产品设计。优化的应用研究还扩大到国 土开发与资源利用、环境监控与生态保护，以及海洋工程等领域，并且 作为一种技术手段用于解决诸如系统辨识、工程反分析等问题“1 。 结构优化设计可用数学式表达如下： m i n 妒( x ) s t 2 0 i ：1 ，2 ，n 璺( x ) 0 7 x ：x ，X ；j = 1 ，2 ，k ( 1 1 ) 其中，P ( x ) 为目标函数，可以是结构重量，体积或造价；璺( x ) 为 约束条件，根据实际情况可以是应力，位移，频率，动力响应等约束； X 是设计变量构成的向量，设计变量可以是截面尺寸，形状尺寸，拓扑 变量等；x ：和x ：分别为第J 个设计变量的可变化范围的上、下限。 1 2 结构优化设计的分类 按照设计变量类型和优化层次，结构优化可以分为截面尺寸优 化，形状优化，拓扑优化以及结构类型和材料的优化。从其发展的历 程而言，优化技术也是按照这个顺序由低向高进行的。 一、截面尺寸优化： 截面尺寸优化是结构优化设计中最早开展研究的领域也是发展 相对成熟的领域，它以截面尺寸为设计变量，通过寻求最优截面尺寸 达到结构重量，体积或造价最小。约束条件可以是应力约束、位移约 束、局部稳定、频率约束、动响应约束等。常用的截面尺寸优化方法 有准则法和数学规划法两种。从已发表的文献来看“们，优化的对象 已涵盖杆系结构，平面、三维实体和板壳结构等。 二、结构形状优化： 形状优化是通过调整结构内外边界形状来改善结构性能和达到节 省材料的目的。结构形状优化从对象上区分，主要有杆件类结构和连 续体结构。 杆系结构的形状优化，一般选择节点坐标( 位置) 作为设计变量。 由于单独迸行形状优化对结构设计的优化效果有限，通常要同对考虑 截面尺寸与结构形状的组合优化。这时同时存在构件尺寸与结构几何 形状二类设计变量，他们的解空间存在着尺度上的差异，根据处理这 两类不同变量所采用的总体策略与优化方法，一般有两类方法处理组 合优化。 一类是两类变量统一同时处理，例如P e d e r s o n 的线性近似法”1 ， i p s o n 和A g r a w a l 的复形法，I m a 等人的拉格朗日乘子法，M M A ， C O N L I N 凸近似n 1 ，周明和夏人伟的变量可分离凸近似问题的序列求 解法1 ，许素强和夏人伟的广义变量近似法等。这类方法的优点是可 以同时考虑两类变量的耦合效应，缺点是设计变量数较多，计算工作 量大。另外形状优化的设计空间可能是非连通的，构造同时优化两类 变量的近似问题，求解时有可能无法寻找到全局最优解旺1 。 另一类方法是把尺寸变量与几何变量分成两个设计空间，分别对 两类变量交替优化，即每步固定一类变量只对另一个变量进行优化， 两步间通过迭代进行协调，又称为分步优化方法。优点是避免两类不 同的变量可能产生的数值病态，每步计算规模小，易于求解。这方面 有代表性的工作如：V a n d e r p l a t t s 和M o s e s 的分层法，他们在截面层优化 时采用应力比法，结点坐标优化时采用最速下降法；韦日钰，程耿东结 合线性分解法和模型协调法提出一个适用于一般工程系统的分层优化 方法；隋允康等的构造线性规划子问题分步算法1 等。从工程应用 角度看，分步优化方法能提高求解效率，但目前有的方法对两类变量 的耦合关系考虑似还不足，影响了优化结果1 。 对于连续体结构，结构物的边界形状常采用适当的曲线曲面方程、 或一组基函数再附加可以自由变化的参数来描述，此时形状优化就可 以选择这些自由参数作设计变量”1 。例如水利工程中的拱坝，为了能 有良好的受力性能，常根据地形地质条件作成变曲率、变厚度的双曲 壳体，坝体上下游面形状是用坐标的多项式函数或其他特殊函数来描 述，优化时选用这些函数中的参数( 项数，系数，指数) 作为设计变量。 刘国华等“”是通过曲率半径方程来表示上游面形状，它不但能包含 常用的圆、抛物线、椭圆、双曲线、对数螺旋线等拱圈线型，而且用 改变方程中的参数，可以给出介乎其间的各种线型。采用这种混合线 型的模型进行拱坝体形优化设计，可以在坝体不同部位上选择不同的 线型，并能保证其问的平滑过渡。 西北工业人学硕士学位论文 第一章纤论 连续体结构形状优化方法大体可归纳为二类：解析法和数值法。解 析法通过泛函分析列出问题的变分形式，导出各种状态函数对设 计变量敏度的解析式，和最优设计应满足的最优性条件。对于简单情 况可以求得解析解，对于复杂情况可以根据最优性条件，启发人们构 造出设计变量的有效迭代格式进行求解，但对复杂的工程问题常无法 处理。数值法由于能利用较成熟的约束非线性规划法和相应的软件， 如G R G 、S Q P 等，能处理实际工程优化问题。亦有二者结合，先用解析 法将优化问题公式化，再用数值法对简化了的问题寻优。当前连续体 结构形状优化的主要研究大致集中在以下方面：( 1 ) 设计模型、分析模 型和优化模型的构造及其间相互转化，以达到减少设计变量、保证分析 精度、满足工程设计要求；( 2 ) 分析模型如有限元网格的自动生成与自适 应精化；( 3 ) 敏度分析与高效优化算法的研制；( 4 ) 近似重分析方法( 如 线性化、冻结内力、冻结分载) 的研究：( 5 ) 多目标或多准则的优化等。 三、离散结构拓扑优化： 与形状优化和截面尺寸优化相比较，拓扑优化的难度最大，亦最 具挑战性，它探讨结构构件的相互联接方式，结构内有无空洞、孔洞 的数量、位置等拓扑形式，使结构能在满足有关平衡、应力、位移等 约束条件下，将外荷载传递到支座，同时使结构的某种性态指标达到 最优。拓扑优化的主要困难在于满足一定功能要求的结构拓扑具有很 多种甚至无穷多的形式，而且结构的这种拓扑形式难以定量描述或参 数化，同时由于需要设计的区域预先是未知的，更增添了问题求解难 度。 结构拓扑优化研究是从桁架结构开始的，研究拓扑、布局优化的 解析方法可追溯到1 9 0 4 年提出的M i c h e l l 桁架，但这理论只能用于 单工况并依赖于选择适当的应变场，不能应用于工程实际。1 9 6 4 年 D o r n 、G o m o r y 、G r e e n - b e r g “”等人提出基结构法( g r o u n ds t r u c t u r e a p p r o a c h ) ，将数值方法引入该领域，此后拓扑优化的研究重新活跃起 来，陆续有一些解析和数值方面的理论被提出来。所谓基结构就是一 个由众多构件连结而成的、包括所有的荷载作用点、支承点在内的结 构。该方法的基本思路是：从基结构的模型出发，应用优化算法( 数学规 划法或准则法) ，按照某种规则或约束，将一些不必要的杆件从基结构 中删除，例如：截面积达到零或下限的杆件将被删掉，并认为最终剩 下的杆件决定了结构的最优拓扑。因此应用基结构，可以将桁架拓扑 西北工业大学硕士学位论文 第一章鳍论 优化当作杆件截面优化来处理。 从基结构出发的拓扑优化方法。由于单工况、应力约束下使桁架结 构重量最轻的最优拓扑，必定是一个静定结构，因此早期研究者常忽 略变形协调条件，以杆件内力作为设计变量、结点平衡方程作为约束 条件构造成线性规则问题来处理“。这种方法虽然计算效率高，但却 无法推广到多工况和考虑位移约束的情况，因为此时结构的最优拓扑 往往是超静定的，必须计及变形协调条件，并采用非线性规划法来求 解。D o b b s 和F e t t o n 使用最速下降法求解多工况应力约束下桁架结构 的拓扑优化，S h e n 和S c h m i d t 采用分枝定界法求解在应力和位移两类 约束条件下桁架结构在多工况作用下的最优拓扑。R i n g e r t z 将桁架的截 面积和结点位移同时作为设计变量参与拓扑优化设计，采用非线性规 划算法和分枝定界法求解了同样的问题【2 J ，王光远等提出了结构拓扑 优化的两相法“1 。K i r s c h 针对离散结构的拓扑优化问题，提出了一种 两阶段算法1 3 1 y 即首先以赘余内力和杆件截面积作为设计变量，不考 虑变形协调条件和位移约束，把问题化为易于求解的线性规划，求出 最优解的下界，然后进入第二阶段，考虑所有约束，在先前得到的最 优拓扑下作尺寸优化，以得到各杆的截面积。针对大型结构的拓扑优 化问题，Z h o u 和R o z v a n y 发展了一种优化准则类算法，即D C O C 算法， 认为采用这种算法可使准则法求解拓扑优化的能力大为提高1 4 1 。 B e n d s o e 等人“”对于桁架结构重量约束下的最小柔顺性( 或最大 刚度) 设计及其对偶问题进行了较深入的研究，他们改造了传统的优化 问题列式，将它表达为仅含结构状态变量( 位移、内力) 的极大极小问题， 设计了高效的处理非光滑优化问题的精致算法，大大提高了这类优化 问题的求解效率。算例表明，它的解题规模已可达近千根杆件。此外 段宝岩、叶尚辉1 6 3 谭中富7 1 等亦作了不少工作，提出采用内力作 为设计变量构造非线性规划求解拓扑优化问题。近年来，一些适合于并 行计算且对函数性态要求较低的全局搜索算法，如前面提到的遗传算 法、神经元网络算法和模拟退火算法等开始被应用于拓扑优化上，但 目前这些方法仅能解决较小规模的问题。国内许素强和夏人伟引采 用遗传算法、蔡文学9 1 使用模拟退火法分别求解了桁架结构的拓扑 优化问题。亦有不少学者从离散变量优化设计角度来研究拓扑优化， 美国A r o r a 、国内孙焕纯等的研究均很有特色6 1 7 1 。 应该指出，在采用基于截面积为拓扑变量的模型时，由于将拓扑优 西北T 业大学硕士学位论文 第一章绪论 化实际上转化为尺寸优化来处理，会出现所谓奇异最优解现象，这是 S v e d 和G i n o s 最早发现的2 0 1 他们在采用上述广义截面优化模型求解 多工况应力约束下三杆桁架的拓扑优化算例时，始终无法求出全局最 优解，只能得到局部最优解，从而猜测在某种情况下，拓扑优化的全 局最优解可能是设计空间中的一个孤立可行点，称为奇异最优解。程 耿东和蒋铮2 们从另一角度研究此问题产生的原因，提出了零截面积 和杆件极限应力的概念，指出杆件的应力函数在零截面处的不连续性 是造成奇异解存在的根本原因。他们还认为奇异最优解所对应的设计 点并非是孤立点，而是位于设计空间中某个低维退化子域的端点，如 果截面积的限值足够大，这些退化子域与全空间实际上是连通的。隋 允康、杨德庆1 认为拓扑优化一方面应从“广义截面优化”和“广 义形状优化”的策略中吸取其连续性、可微性的特点，另一方面应该 从所依附的低层次变量中升华出来，使之成为独立的设计变量层次。 他们采用独立的连续拓扑变量及映射变换的拓扑优化模型，通过引入 过滤函数辅助增删单元的识别，并建立自适应算法完成拓扑变量由连 续向离散的回归。利用上述方法成功地求解了若干杆系结构在多工况 应力位移约束下的拓扑优化问题。 四、连续体结构拓扑优化 由于其优化模型描述的困难和数值算法的巨大计算量，因而发展较 慢。目前的方法都是在基结构基础上的描述方法，包括几何( 尺寸) 描述 方式和材料( 物理) 描述方式，而基结构定义了拓扑优化的设计区域，至 于拓扑优化的本质描述方法，还未见有人提出。 均匀化方法( h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d ) 是连续体结构拓扑优化中应 用最广的方法，属材料描述方式，其基本思想是在拓扑结构的材料中 引入微结构( 单胞) ，微结构的形式和尺寸参数，决定了宏观材料在此点 处的弹性性质和密度，优化过程中以微结构的单胞尺寸为拓扑设计变 量，以单胞尺寸的消长实现微结构的增删，并产生由中间尺寸单胞构 成的复合材料，以拓展设计空间，实现结构拓扑优化模型与尺寸优化 模型的统一和连续化。利用B e n s o u s a n 等人发展的一套基于摄动理论 的关于周期性结构分析方法，来建立材料微结构尺寸与材料宏观弹性 性质之间的关系，具有较严格的数学基础，成为连续体结构拓扑优化 研究中的主要方法。目前这一方法已用于处理多工况的二维、三维连 续体结构拓扑优化，热弹性结构拓扑优化，考虑结构振动、屈曲问题 的拓扑优化，并被用于复合材料的设计中。目前结构优化研究的一个 热点是结构宏观参数和细观参数的一体化优化，这主要是利用了复合 材料的可设计性的特点。这个领域目前的研究基础实际上建立在均匀 化方法上的“”。 变厚度法亦是较早采用的拓扑优化方法，属几何描述方式，其基 本思想是以基结构中单元厚度为拓扑设计变量，以结果中的厚度分布 确定最优拓扑，是尺寸优化方法的直接推广。优点是方法简单，但不能 用于三维连续体结构拓扑优化，一般用于处理平面弹性体、受弯薄板、 壳体结构的拓扑优化问题”1 。 结构拓扑优化中另一常用方法是变密度法旺，属材料( 物理) 描述 方式，其基本思想是人为地引入一种假想的密度可变的材料，材料物 理参数( 如许用应力，弹性模量) 与材料密度间的关系也是人为假定的。 优化时以材料密度为拓扑设计变量，这样结构拓扑优化问题被转换为 材料的最优分布问题。该方法在多工况应力约束下平面体结构、三维 连续体结构、结构碰撞、汽车车架设计n3 1 等问题上得到成功应用。 但问题是对中间密度材料无法解释，另外受均匀化方法的影响，目前 变密度法模型中普遍采用结构柔顺度作为目标函数影响了实际工程的 应用2 。 除上述三种常用拓扑优化方法外，还有其他一些有前途的求解策 略，如隋永康的I C M ( I n d e p e n d e n t c o n t i n u o u sM a p p i n g ) 法，提出将 离散拓扑变量转化为连续拓扑变量的模型，利用原问题的对偶问题求 解该拓扑优化问题获得成功“ 。R o z v a n y 和Z h o u 的S I M P ( S o l i d I s o t r o p i cM i c r o s t r u c t u r e sw i t hP e n a l t y ) 法，基本思想与变密度法类似， 但它通过对处于0 和1 之间的密度值加以惩罚，以获得具有尽量多的0 和1 两种密度值的优化结果，数值算例表明在多数情形下采用这一方 法能得到结构清晰的拓扑形式。此外泡泡法和进化算法n 1 亦有一定的 参考价值。当然连续体结构拓扑优化过程中还存在一些特殊问题，如“棋 盘效应”2 6 1 最优拓扑对有限元网格敏感性、高效的单元删除策略、 图象处理技术等，有待进一步研究与完善。连续体结构拓扑优化的一些 基本思想与方法，已被用来进行材料设计研究，这将是一个很有前途的 领域。 1 3 优化算法 在过去的四十年中，运筹学的出现和发展为我们提供了一系列有 力的寻优算法。据不完全统计，目前已有3 0 0 种以上的最优解搜索方 法，大致可以归纳为三类：数学规划法，力学准则法和仿生学方法。 一、数学规划法 数学规划法是将优化问题抽象成数学规划形式来求解，即把问题 归结为在设计空间，由等式约束超曲面和不等式约束半空间所构成的 可行域内，寻求位于最小目标等值面上的可行点，它便是问题的最优 解点。早在4 0 年代，人们对其中的线性规划问题进行了深入研究，二 次大战与战后期间作为运筹学的一个分支，数学规划得到快速的发展， 6 0 年代初，L S c h m i t 将它用于结构优化上，随后成为结构优化的一个 主要方法，这方面有大量的研究与应用报道。数学规划法有严格的理 论基础，在一定条件下能收敛到最优解，但它要求问题能显式表示， 大多数还要求设计变量是连续变量、目标与约束函数连续且性态良好 ( 当然动态规划法能适用于离散变量问题) 。对于大型的结构优化问题， 收敛性并不好且迭代次数过多，使结构重分析的工作量过大，从而效率 不高。 对于线性问题( 目标与约束均为设计变量的线性函数) ，单纯形法己 非常成熟( 黑箱方法) ，能保证获得全局最优解。近年来又有椭球算法与 卡玛卡( N K a r m a r k a r ) 算法，它们比单纯形法有更高的效率，但这是当变 量数目十分巨大时才比较明显。 对于非线性问题，虽然方法很多，但还没有一种通用的成熟方法， 这也许由于非线性的形式多样、程度不一的缘故。目前的方法大致有 如下几种：一种是序列无约束极小化技术( S U M T ) ，如罚函数法、乘子 法等：另一种是线性近似技术，如序列线性规划法、序列二次规划法、 割平面法等；第三种是探讨在约束边界处搜索的可行方向法，如可行 方向法、梯度投影法、广义简约梯度法等，最后一种是只利用函数值 不使用导数信息的直接法，如复形法、可变容差法、随机试验法等眈1 。 一、力学准则法 力学准则法是根据工程经验、力学概念以及数学规划的最优性条件 预先建立某种准则，通过相应的迭代方法，获得满足这一准则的设计方 案( 解) ，作为问题的最优解或近似最优解。在早期结构优化中，大多按 西北工业大学硕l ：学位论文 第一奄结论 工程经验与直觉来提出准则，如等强度设计准则，同步失效准则和满 应力准则等。6 0 年代末受到数学规划法成功与失败的影响，不少学者 如W P r a g e r ，J T a y l o r ，V B V e n k a y y a 和M S K h o t 等，采用非线性规划 中的最优性理论，推导出不同约束条件下，结构最轻设计应满足的准 则。通常这些最优准则反映了结构在该类约束作用下，达到最轻设计 时具备的能量分布情况，而能量性质视约束类型而定。与数学规划法 的普遍适用性不同，准则法利用了结构优化问题的物理特征，聚焦于最 优解处的已知的或假设的形态，不同约束有不同的准则，故应用上局 限性较大，但它收敛快，计算效率高，问题规模增大对它计算量影响不 大，且易为工程设计人员接受与掌握。C F l e u r y 等曾深入研究过最优准 则法与数学规划法间的关系，建立了两者间理论的等价性f 对偶) 。这两 种方法以长补短，结合使用是结构优化方法发展的一个方向。 二、仿生学方法一G A S A A N N 随着仿生学的巨大进展，近十多年来人们对生物进化现象发生浓厚 兴趣，因为它们在漫长演变过程中按照“适者生存”的原理逐渐从最 简单的低等生命一直进化到人类，本身就是一个绝妙的优化过程。目前 模拟自然界进化的算法有模仿自然界过程算法与模仿自然界结构算法， 主要有： ( 1 ) 遗传算法1 9 7 5 年美国M i c h i a g n 大学的J H O l l a n d 首先提出以 二迸制位串为基础的基因模式理论，用二进制位串来表示染色体，依 据遗传机制由父代二进制位串繁殖下代二进制位串来模拟生物群体的 进化历程。主要步骤是：选择设计变量的编码形式，生成初始群体， 初始群体一般可由随机方法产生，如能考虑个体的代表性和分布概率 则更好， 计算群体中各个体的适应值( f i t n e s sf u n c t i o n ，可与问题的 目标函数和约束函数有关) ，选出可以繁殖下一代的父本个体，根据“适 者生存”的原则，有较高的适应值的父本应用较高概率生存并繁殖下一 代；以优选的父代个体作为双亲进行繁殖产生后代个体，在产生子本 时，子本的染色体一般由父本的染色体经过再生( r e p r o d u c e ) 、交叉 ( c r o s s o v e r ) 和变异( m u t a t i o n ) - - 种操作中若干种之后而形成：对子本 群体中个体的适应度逐个进行评价； 确定新一代的群体。继续上述 过程。这里可以把经选择、交叉、变异后产生的子代个体直接组成新 一代的群体，个体数目与原有群体中的数目保持一致，亦可引进代沟 概念，与原有群体大小不一致，需要选择确定新一代群体。算法中的 西北工业人学硕士学位论文 第一聋绪论 交叉f 杂交) 能提高个体的多样性，通过优良串和优良串组合生成优良 串，能引起基因模式的重组，以求产生更高质量的基因模式。变异是 模拟生物在自然环境中由于各种偶然因素引起基因突然改变，它的实 施方式是以一定的概率选取群中的个体，再随机选取染色体位串中的 某一位进行由概率控制的翻转以产生后代个体。变异可以避免优化过 程陷入局部最优区域。 在遗传搜索过程中一个新的( 解) 群体的生，仅依赖于当前群体，从 而使得遗传搜索过满足马尔可夫准则。标准遗传算法并不能保收敛至 全局最优解，但通过改进在选择作用( 或后) 保留当前最优解，能收敛至 全局最优解当然收敛所需的时间可能是很长的。 遗传算法的主要优点是有很强的解题能力和很广的适应性。由于它 处理对象不是阀题参数，而是这些参数或设计变量的编码，故算法既可 适用于连续变量亦可应用于整数或离散变量，甚至非数值型变量上。遗 传算法的寻优搜索是由目标函数值引导的，而不是使用其他辅助信息 亦不要求导数信息，这样就不要求设计映射空间或函数的连续性与光 滑性，便于处理各类优化问题。遗传算法具有一定的并行性，它的搜 索是多( 串) 到多( 串) 的过程，而传统搜索方法一般是点( 状态) 到点( 状态) 的搜索过程，故遗传算法能在较大的设计变量空间内迅速寻优，有较 强的全局优化性能。遗传算法的操作表现出较大的概率性，但随机作 用不是最主要的，而是在使用当前解信息的基础上才使用一些随机方 法，如初始群体的选择，交叉点变异点的确定等。正因为遗传算法有 这些优点，故它成为求解复杂优化问题的很有前途的方法。 遗传算法的主要缺点是群体的进化历程冗长，也就是迭代次数和计 算工作量非常庞大。目前对原来的简单遗传算法已作了若干改进，如 引入模式理论( s c h e m a t a t h e o r y ) 、积木块( b u i l d i n g b l o c k ) 假设、更好的编 码方式、根据具体问题的启发式知识来帮助搜索”“，以及算法控制参 数( 群体大小，交叉率，变异率) 的智能调整等以提高效率。另外，将遗 传算法与数学规划法相结合也是一个很好的改进，因为数学规划法的 特点是局部搜索能力很强但全局搜索能力不足，通过这种结合可以使 二者互补，提高计算速度2 7 1 0 遗传算法的初期应用主要在组合优化和复杂非线性的优化上，如： D e T o n g 等人对二次及高次( 3 0 个变量) 的不连续多峰函数的遗传算法求 解进行了较深入研究，获得若干有意义的结果。求解旅行商问题 f T r a v e l l i n gs a l e s m a np r o b l e m T S P ) 也是遗传算法应用的一个活跃方向， 据报道对4 3 1 个城市的T S P 问题，用遗传算法己能求得最优解，对6 6 6 个城市的T S P 问题，可获得准最优解。对于结构优化设计，由于性态 约束是设计变量的隐函数，需通过结构分析( 如有限元法) 才能获得，需 要过多的结构重分析次数便成为遗传算法的一个致命的弱点。不过对 于结构拓扑优化，由于是在非凸域上的寻求全局最优问题，且存在函 数不连续，用一般方法难以处理，就可考虑遗传算法了。w M J e n k i n s 等用遗传算法曾成功地处理过杆梁组合屋顶和薄壁结构的优化问题。 P H a j e l a 研究具有分离的设计空间，导致不连续的扭转轴优化设计，遗 传算法亦能给出满意的结果8 1 。特别是随着并行算法与并行计算机的 出现与发展，这一缺点有望得到克服。 ( 2 ) 模拟退火法( S i m u l a t e d A n n e a l i n g A p p r o a c h )退火是使金属中 晶体发育完善的一种加工过程，金属熔融后要缓慢冷却，而且加热再冷 却的过程要反复多次，如果冷却时间不够长，达不到平衡态，生成的 晶体会有缺陷，甚至会成为没有晶序的玻璃态。早在19 5 3 年 N M e t r o p l i s 提出在计算机上对固态或固液态混合物加热后再冷却的 退火过程进行模拟，即从某一温度开始，对某一随机选取的系统状态 进行扰动，每次随机选取一个小的扰动，计算它对系统能量的影响， 通过多次重复这样的小扰动来模拟该温度下系统的热平衡过程，然后 让温度逐渐缓慢下降，寻找材料在低温下的基态。并用统计力学计算 晶体排列( 组态) 及其他性质。1 9 8 3 年S K i r k p a t r i e k 等2 1 将此法加以改 进后用于优化问题，开始主要是解决组合优化问题，如旅行商问题 ( T r a v e l i n gS a l e s m a nP r o b l e m ) ：给定N 个城市名单及任两个城市间旅行 费用的计算办法，要求找出最恰当的旅行次序与路线，走遍这N 个城 市，并使总费用最少。这一问题与统计力学上模拟退火情况类似。 模拟退火法的优点是能处理连续- 离散整数设计变量的非线性规 划问题，因不使用梯度和二阶导数阵，故不要求函数可微与连续，能寻 求全局最优点，防止过早陷入局部最优点。方法的基本思想如下：首 先生成随机试探点x ，计算其上的函数值f ( x 1 ) ( 相当于退火温度) ；如果 x 1 是不可行点，则弃之并再生成新点，如果是可行点，且其函数值小 于当前最好( 小) 函数值，则接受该点，它的函数值作为当前最好值；如 果函数值大于当前最好值，则需求算B o l z m a n G i b b s 分布的概率密度 函数值，f = f ( x 1 ) 一f ( x 一1 ) ，P ( f ) = e x p ( 一f T j ) ，称接受概率，根据该值 两北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 是否大于规定的参数z 来定取舍，z 是某一均匀分布随机数( z 【0 ，1 】) ； 当p ( f ) z 时则接受该点成为当前最优解，即便其上函数值“x 1 ) 较大， 概率密度函数中的参数T j 称为有效温度，对优化问题而亩有效温度可 以与问题中目标函数具有同样单位，并与目标函数的均值有关，是目 标函数全局极小的一个指标值，迭代初期取得较大，随后逐步减小 ( T = T ，t f a c t ，0 O ，这时删除杆j 会引起节点 i 在正方向上的位移量增加；d 。 T H l SI ST H EU S E RO P T I M I Z A T I O NR O U T I N E 。) f g = o p t v e r ( ( n I d v + n t s v + 1 ) I o p t ) i f ( I o p t g t m a x u s r ) t h e i “ 1 n t e r m = O I o p t = 0 e l s e n t er r l l = 1 s e l e c tG a s e ( I o p t ) C 8 $ e ( 1 2 ) 8 a ( 1 ) 5 0 pJ i m ( 1 ，( n t s v + 1 ) ) 8 a ( 2 ) = o p l iF n ( 2 ，( n t s v + 1 ) ) a 8 ( 3 ) = a a ( 1 ) + 03 8 2 ( a a ( 2 ) 一8 a ( 1 ) ) a a ( 4 ) = a a ( 1 ) + 06 18 ( a a ( 2 ) - 8 8 ( 1 ) ) d v ( 1 ) 。a a ( 1 0 p t + 2 ) i f ( I o p te q2 ) t h e n f f ( 1 ) = f g 一6 6 西北工业大学硕士学位论文 第四章：结构优化设计的数值实现 I b m 0 2 er l di f c a s e ( 3 ) f f ( i b m ) = f g i f ( ( a b s ( f f ( 2 ) 一f f ( 1 ) ) ，f f ( 1 ) ) g to b j t 0 1 ) t h e n i f ( f f ( 1 ) g tf f ( 2 ) ) t h e l l a a ( 1 ) = a a ( 3 ) a a ( 3 ) = a a ( 4 ) f f ( 1 ) = f f ( 2 ) a a ( 4 ) = a a ( 1 ) + O6 1 8 + ( a a ( 2 ) a a ( 1 ) ) d v ( 1 ) = a a ( 4 ) I b m = 2 e ls e a a ( 2 ) = a a ( 4 ) a a ( 4 ) = a a ( 3 ) f f ( 2 ) = f f ( 1 ) a a ( 3 ) = a a ( 1 ) + 0 3 8 2 + ( a a ( 2 ) - a a ( 1 ) ) d v ( 1 ) = a a ( 3 ) i b m = 1 e 1 3 di f e I s e i f ( ( a b s ( a a ( 4 ) a a ( 3 ) ) a a ( 3 ) ) g to b j t 0 1 ) t h e n a a ( 1 ) = a a ( 3 ) a a ( 2 ) = a a ( 4 ) I o p t = 0 e 【S e r l t e r m = 0 e n di f e n di f e n ds e I e c t r e t L Ir n e n d 一6 7 西北工业人学硕士学位论文 第五章总结与展望 第五章总结与展望 本文对渐进优化方法( E S O ) 在桁架结构和连续体结构优化设计方 面的应用进行了探讨，在所做工作中提出了基于E S O 方法的桁架结构 尺寸、形状和拓扑的组合优化方法，并利用这个方法进行了加筋板壳 结构的优化设计，这是本文的创新之处。另外，E S O 方法在连续体拓 扑优化方面是具有特色的，本文对之进行了实现。 许多优化工作一般都是以专业优化软件来完成的，这些软件在有 限元求解方面还具有一定局限性，而与商业C A E 软件的强大有限元计 算功能结合进行有优化设计已经成为一个发展趋势，本文在此方面进 行了探讨，以常用软件A N S Y S 为例讨论了优化设计的几个实现途径， 实际上本文的所有工作都是在A N S Y S 平台上实现的。相信这项工作对 今后的实际工作具有一定参考意义。 这篇论文是作者前一段工作的总结，在优化设计领域进一步还有 许多工作要做尤其是在结构动力学系统优化方面。作为下一步工作的 起始，笔者对今后将要做的工作做如下展望： 1 ：结构动力灵敏度分析的新方法研究。虽然关于灵敏度分析的研 究己不是新课题，但长期以来它仍是动力学优化的“瓶颈”问题，特 别是针对复杂动力学体系，灵敏度分析的有效性关系到结构分析的效 率高低。长期以来，动力学灵敏度的分析都是在拉格朗日体系下进行 的，实践证明这一套系统在处理工程实际问题时并非特别有效。当动 力学系统被导向哈密顿体系的时候，动力学体系又会展现出不同的计 算形态和特点，因此研究哈密顿体系下动力学灵敏度分析可以为寻找 有效的灵敏度分析算法提供一条思路。 2 ：基于随机或模糊的结构动力学优化设计的研究。严格的说，在 结构的设计中往往存在着一些不确定性的因素，这些也是可能分别来 自于随机性和模糊性两格本质不同的方面，而且在许多学科下不能够 被忽略的。因此，开展随机或模糊的结构动力优化设计研究是发展趋 势。它所涉及的领域有：随机结构的动力特性优化设计：确定性结构 或随机结构在随机激励下的动力响应优化；基于模糊的或随机模糊的 结构动力优化设计：基于结构可靠度的结构动力学优化设计；基于概 西北工业大学硕士学位论文第五章总结与展望 率的结构动力灵敏度分析；概率方法、摄动方法和随机有限元在结构 动力分析中的运用。将多目标优化算法引入这个领域相信会给上述问 题提供一个新的解决思路。 3 ：结构最优化设计与最优控制相结合的系统最优化方法的研究也 是当前的研究热点，这方面的工作才开始，相信今后会有很大的发展。 4 ：优化软件是优化实现的基础，因此优化设计软件中关键技术的 研究亦是当前研究的热点。这项工作主要包括：针对大型问题的高效 优化算法的开发：优化软件与C A D 软件的接口问题：专家系统以及智 能系统与优化软件的结合等。 西北工业天学硕士论文 致谢 致谢 这篇论文是我前一段时期工作的一个总结，限于篇幅，还有一 些内容没有录入。文章虽然已经驻笔，但一些工作中的往事还不断 在大脑中浮现，使我久久不能平静。回顾研究生三年来的工作与生 活，有欢笑亦有泪水，这期间对我帮助最大是邓子辰教授和吴子燕 教授两位师长。邓老师为人正直，作风端正，学风严谨，以实际行 动向我展示了一个学者应该具有的风范。他在我迷惘彷徨的时候为 我指明了发展方向，这是最令我感激的。吴老师思维活跃，知识面 广博，在她的指导下，我了解了一些其他学科的知识，这对我今后 的学习和工作亦是有宜的。另外还要感谢姜节胜教授，他为作者及 时了解动力学优化设计的发展状况提供了帮助。 除了上述几位师长，我的几位同窗与科研中的合作伙伴也对我 的学习和生活有着莫大的帮助，他们分别是：博士生黄永安，徐彬， 李双，硕士生李国文，陶明星。这里对他们并表示感谢。 最后还要感谢我的父母和姐姐，没有他们一贯的支持。这一切 工作都是无法进行的，其实这篇文章也是献给他们的。 一6 9 西北工业大学硕士学位论文 参考文献 参考文献 【1 】王光远，董曜明，结构优化设计，高等教育出版社，1 9 8 7 【2 】汪树玉，刘国华，包志仁，结构优化设计的现状与进展，基建优 化，V 0 1 2 0 N o 5 ，1 9 9 9 【3 】周志隆，隋永康，钱令希，“杆一膜一壳组合结构优化一一D D D u 3 程序系统”，计算结构力学及其应用，V 0 1 3 N o 2 ，1 9 8 6 【4 】