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扬州大学 硕士学位论文 基于APDL的三次样条线型拱坝体形优化设计研究 姓名：张伟华 申请学位级别：硕士 专业：水工结构工程 指导教师：孙林松 20070401 摘要 拱坝是一种重要的坝型，以结构合理和体形优美而著称，近年来， 拱坝越来越受到大坝设计者们的重视，其应用也越来越广泛。本文基 于A N S Y S 参数化设计语言A P D L 对三次样条线型拱坝的体形优化设计进 行了研究，主要内容如下： 1 简要介绍了拱坝建设发展概况，从拱坝几何模型、优化设计模型 及优化方法三个方面概述了拱坝体形优化设计的研究进展。 2 介绍了三次样条插值函数的基本理论和方法，给出了三次样条线 型拱坝体形的构造方法，并建立了三次样条线型拱坝体形优化设计数 学模型。 3 论述了拱坝结构有限元分析基本理论和有限元等效应力计算方 法，提出了基于A P D L 的拱坝建模与结构分析方法，最后对白鹤滩拱 坝进行了结构分析，得出比较合理的结果。 4 论述了遗传算法的基本理论与方法，提出了一种加速微种群遗传 算法，并给出了相应的计算步骤和优化算例。 5 对白鹤滩拱坝进行了单目标及多目标的体形优化设计研究，提出 了拱坝体形多目标优化的博弈方法，编制了相应的优化程序。 6 最后，本文对有待于进一步研究的问题进行了讨论。 关键词：拱坝体形优化三次样条插值函数 A P D L 加速微种群遗传算法博弈论 A B S T R A C T A r c hd a mi sav e r yi m p o r t a n td a ms t y l e ，i ti sf a m o u so fr e a s o n a b l es t r u c t u r ea n d g r a c e f u ls h a p e R e c e n t l y ，a r c hd a m h a sb e e np a i dm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n ，a n dh a sb e e n a p p l i e dm o r ea n dm o r ew i d e l y B a s e do nA P D L ( A N S Y SP a r a m e t r i cD e s i g nL a n g u a g e ) ， t h es h a p eo p t i m i z a t i o no fa r c hd a m sw i t hc u b i cs p l i n ea r c hr i n gi ss t u d i e di nt h i s d i s s e r t a t i o n T h em a i np o i n t sa r ea sf o l l o w s ： I nc h a p t e r1 ，t h ed e v e l o p m e n to fa r c hd a m sc o n s t r u c t i o ni sb r i e f l yi n t r o d u c e d ，a n d t h es t a t e o f - t h e - a r to fs h a p eo p t i m i z a t i o no fa r c hd a m si ss u m m a r i z e df r o mg e o m e t r y m o d e l ，o p t i m a ld e s i g nm o d e la n do p t i m i z a t i o nm e t h o d s I nc h a p t e r2 ，b a s i ct h e o r ya n ds o l u t i o nm e t h o d so fi n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n so fc u b i c s p l i n ea r ei n t r o d u c e d C o n s t r u c t i o nm e t h o do ft h es h a p eo fa r c hd a m sb a s e do nc u b i c s p l i n ei n t e r p o l a t i o n i sb r o u g h tf o r w a r d T h e n ，t h em a t h e m a t i cm o d e lo fs h a p e o p t i m i z a t i o no fa r c hd a m s w i t hc u b i cs p l i n ea r c hr i n gi se s t a b l i s h e d t n c h a p t e r3 ，b a s i ct h e o r yo f f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i so f a r c hd a m sa n dt h e c a l c u l a t i o nm e t h o do fe q u i v a l e n ts t r e s so fF E Ma r ed i s c u s s e d T h em e t h o do fm o d e l i n g a n ds t r u c t u r a la n a l y s i so fa r c hd a m sb a s e do nA P D Li sp r e s e n t e d ，T h es t r u c t u r a la n a l y s i s O nB a i h e t a na r c hd a mi sp u tf o r w a r da sa l le x a m p l ea n ds o m er e a s o n a b l er e s u l t sa r e o b t a i n e d I nc h a p t e r4 ，b a s i ct h e o r ya n dm e t h o d so fg e n e t i ca l g o r i t h ma r ed i s c u s s e d ，A n a c c e l e r a t e dm i c r o g e n e t i ca l g o r i t h mi sp r o p o s e df o rt h eo p t i m i z a t i o no fs t r u c t u r e s ，s o m e e x a m p l e sd e m o n s t r a t eg o o dp e r f o r m a n c eo ft h en e wa l g o r i t h m I nc h a p t e r5 ，t h es h a p eo p t i m i z a t i o no fB a i h e t a na r c hd a mw i t hs i n g l eo b j e c t i v ea n d m u l t i - o b j e c t i v e a r es t u d i e d A nG a m eT h e o r y - b a s e dm e t h o di sp r o p o s e df o r t h e M u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o no f a r c hd a ms h a p e ，a n dt h ec o r r e s p o n d i n gc o m p u t e r p r o g r a mi sa l s oc o m p l e t e d F i n a l l y , s o m ep r o b l e m sw h i c hn e e dt Ob es t u d i e df u r t h e ra r ed i s c u s s e d K e yw o r d s ：a r c hd a m ；s h a p eo p t i m i z a t i o n ；i n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n so fc u b i cs p l i n e A P D L ；a c c e l e r a t e dm i c r o g e n e t i ca l g o r i t h m ；G a m eT h e o r y 张牛 J 华皋十A P D L 的三次秆条线型拱坝体形优化设计乱玎究 I 第一章绪论 1 1 拱坝建设发展概况 拱坝是在平面上呈凸向上游的拱形挡水建筑物，它借助拱的作用将水压力的 全部或部分传给河谷两岸的基岩。与重力坝相比，在水压力作用下坝体的稳定不 需要依靠本身的重量来维持，主要是利用拱端基岩的反作用束支承。拱圈截面上 主要承受轴向反力，可充分利用筑坝材料的强度。因此，拱坝是一种经济性和安 全性都很好的坝型，目前全世界2 0 0 m 以上的大坝有一半以上采用拱坝坝型。 人类修建拱坝具有悠久的历史。早在一、二千年以前，人们就已意识到拱结 构有较强的拦蓄水流的能力，刀：始修建高1 0 余米的圆筒形拱坝。到2 0 世纪初， 美国丌始修建较高的拱坝，拱坝设计理论和施工技术有了较大的进展，如应力分 析的拱梁试荷载法、坝体温度计算和温度控制措施、坝体分缝和接缝灌浆等。5 0 年代以后，西欧各国和日本修建了许多双曲拱坝，在拱坝体型、复杂坝基处理、 坝顶溢流等重大技术上又有了新的突破。进入7 0 年代，随着计算机技术的发展， 新的优化设计技术和方法逐步被采用，拱坝设计和计算的周期大为缩短，设计方 案更加经济合理。 根掘团际大坝委员会1 9 8 8 年出版的大坝注册簿统计，截至1 9 8 8 年底全l 廿界 已建成的拱坝中，高度大于和等于1 5 m 的有1 6 0 8 座，占全世界大坝总数3 6 2 3 5 座的4 4 。拱坝主要集中分布在以下3 个国家和地区：中国是建造拱坝最多的国 家，共7 5 6 座，占世界拱坝总数的4 7 ；其次是欧洲，2 0 个国家合计4 1 9 座，占 世界拱坝总数的2 6 1 ，其中阿尔卑斯山地区的法国、意大利、瑞士三国修建的 拱坝占一半以上；再其次为美国，共1 6 5 座，占世界拱坝总数的1 0 【2 J 。 在我国的大型水利水电工程中，混凝土高拱坝已成为主要坝型之一，许多高 拱坝成功地建成并投入运行，其中，1 9 9 8 年建成的高2 4 0 m 的四川二滩拱坝是目 前我国建成的最高拱坝。随着西部大开发战略的实施，一批3 0 0 m 级的高拱坝也 即将在我国出现，如2 0 0 2 年丌工的2 9 2 m 的小湾拱坝；2 0 0 5 年丌工的高2 7 8 m 的 溪洛渡拱坝，高3 0 5 m 的锦屏拱坝；F 在设计中的自鹤滩拱坝( 高2 7 7 m ) 等。一系 列的成就标志着我国在高拱坝的勘测、设计、施工和科研方面已达到了个新的 水平1 3 1 1 4 1 。 2 扬州人学帧1 学位论文 1 2 拱坝体形优化设计的进展 拱坝体形优化设计就是用数学规划方法寻求在给定条件下的坝体最优体形， 拱坝的体形是决定拱坝稳定和安全的主要因素之一，因此其优化设计具有很重要 的现实意义。从2 0 世纪6 0 年代起，经过各国拱坝工程界和学术界学者的不断努 力，拱坝优化设计的研究己取得了巨大的成就，拱坝体形样式由简单到多样化， 优化模型、约束条件和优化方法也得到了很大程度的改善，拱坝结构优化理论与 方法在大、中、小形拱坝工程中获得了许多应用。 1 2 1 拱坝体形的几何模型 拱坝体形指的是拱坝外部轮廓的几何形状、尺寸和位置，在设计中通常用拱 冠粱剖面和拱圈剖面来描述，即拱坝的几何模型是由拱冠梁剖面和拱圈剖面的几 何形状确定的。 1 2 1 1 拱固的几何描述 早期修建的拱坝都采用等厚单心圆拱，2 0 世纪7 0 年代以后，人们采用了对拱 坝坝肩稳定更为有利的拱圈样式，即非圆弧拱圈，常用的有抛物线、椭圆、双曲 线、三心圆、对数螺旋线等。这些拱斟线形相对于圆拱更扁平，到拱端处的曲率 半径逐渐加大，使拱推力尽可能地指向岩石，有利于坝肩稳定。 文 5 对上述非圆弧拱坝与圆弧拱坝的特性进行了对比，指出当中心角较小时 非圆弧拱明显优于圆弧拱；文【6 则对非圆弧拱圈参数对应力、稳定和变形的影响 进行了深入研究，为非圆弧拱坝的设计提供了参考。 在非圆弧拱圈的基础上，我国学者又提出了两种新的拱坝拱圈线形：一般二 次曲线体形和混合线型体形。 一般二次曲线拱坝是由我国学者厉易生【7 】首先提出的，它假设拱轴线为如下 一般二次曲线形式： Y 2 = a x 2 + b x X 0 b 0 其中，a 、b 为待定参数。a 是拱圈线型系数，舰定其不同的取值范围 不同的拱圈线型，见表1 ；b 是拱冠曲率半径的两倍。 表1 一般二次曲线线型参数a ( 1 ，1 ) 可以得到 a = 1a 0 倒 椭圆抛物线威曲线 张伟华苹千A P D L 的二次矸条线型投坝体形优化设计研究 混合线型拱坝l s 】用统一的曲率半径方程来描述拱圈轴线： pA 婶 R 2 “俨彳C O S 2 p + i n 2 p ) 4 ( 1 2 ) (。p + l n p ) 、7 其中，口、桥R o 为待定参数，选取不同的参数值可以得到圆弧、抛物线、双 曲线、椭圆、对数螺旋线以及介于它们之f 刚的各种线型。 二次曲线可以以较大的灵活性来适应坝址的地形和地质条件；而混合线型拱 坝可以在坝体的不同高程和左右岸侧，根据需要选用不同的拱圈线型，优化调整 的空间较大【9 。厉易生等学者从非线性规划的可行域和最优解的关系出发，论证 了拱圈线型的优越性排序，认为混合线型优于一般二次曲线，而一般二次曲线又 优于椭圆、抛物线等其它单一线型【lo 】。 1 2 1 2 拱冠梁的几何描述 拱坝一般修建在对称或基本对称的河谷中，通常把各高程拱圈的拱冠位置取 在同一铅直面上，即拱冠梁剖面是一个直立的平面。对于极端非对称的河谷中的 拱坝，如果采用传统的“直立拱冠梁剖面”的体形布置方法很难获得顺畅理想的 体形，而且拱圈的压曲稳定性能也较差。为了解决这个问题，刘国华提出了“非 直立拱冠剖面”的拱坝体形概念j ，即在每一层拱圈上分别确定合适的拱冠位置， 拱圈径向面不再处于同一个直立的平面内，拱冠梁剖面是一个斜、弯、扭的曲面。 这种“非直立拱冠剖面”的拱坝体形可以更好地适应非对称的河谷条件，能改善 拱圈的对称性和受力条件，提高其抗压稳定性。 1 2 2 拱坝体形优化设计模型 3 0 多年来，拱坝体形优化设计研究从理论到应用都取得了很大的成果，优化 模型逐步从单目标模型向多目标模型过渡，约束条件也有了较大程度地完善。 1 2 2 1 单目标优化模型 将拱坝体形参数作为优化的设计变量，以坝体混凝土、基础丌挖总费用为目 标函数，以安全要求及稳定要求作为约束条件，这是比较常用的拱坝单目标优化 模型，优化效果比较明显。 随着拱坝高度的不断增高，人们更加关心拱坝的安全。研究者们提出以拱坝 坝体应力作为衡量拱坝强度安全的数值指标【J2 1 ，来建立以安全性为目标的拱坝体 形优化模型。 1 ，2 2 2 双目标及多目标优化模型 随着我国水电建设事业的发展和拱坝技术的提高，单目标优化模型已不能满 扬卅1 人学坝I 学位论立 足人们的要求，于是考虑安全性和经济性要求的拱坝体形的双目标优化模型f ”】应 运而尘。拱坝安全性和经济性的最具代表性的因素是最大拉应力和坝体体积，因 此，可以使它们最小作为优化目标来建立两目标体形优化设计模型，采用线性加 权的统一目标法和模糊贴近度的概念找出问题的最优解【1 4 】。 在同样的应力水平下，高应力区的范围较大的坝体比范围较小的更具危险性， 因此高应力区范围也可作为衡量拱坝安全性的一个优化目标。另一个可选作为优 化目标的是根据坝体各主要部位上的应力统计所推得的强度失效概率，它能较好 地反映大坝的整体工作性念。所以目前一般可以考虑以下4 个指标【1 5 1 作为多目标 优化问题中的分目标函数：坝体方量儿应力水平p 】、高应力区范围和强度 失效概率凡 对于高地震区的高拱坝而言，提高坝体的整体抗震能力也是优化设计的目的， 因此考虑地震荷载的拱坝多目标优化模型的目标函数可取坝体体积以应力水平 【o - 】和地震动力荷载下的能量目标函到1 6 】。优化模型建立后，多目标优化问题可 以通过采用模糊集理论构造评价函数的方法I “ 1 或基于博弈理论的方法来求解。 1 2 ，2 3 约束条件 拱坝体型优化设计模型在目标函数确定后，需列出相应的约束条件。一般情 况下，优化模型的约束条件包括几何约束、应力约束和稳定约束。几何约束主要 是拱圈厚度约束、保凸性约束以及上、下游倒悬度约束等：应力约束则比较简单， 主要是控制点主拉、压应力不超过允许值：稳定约束是对拱圈中心角、拱端推力 角等提出一定的限制，以满足坝体的稳定性要求【l 9 。 众所周知，坝踵拉应力过大会产生丌裂，但拱坝是高次超静定结构，具有很 强的自适应能力，只要坝踵丌裂后满足稳定性要求，拱坝仍能F 常运行。随着拱 坝高度的不断增加，坝踵开裂现象越来越严重，必须予以限制，因此近年来，丌 裂约束条件也丌始作为优化模型的约束条件之一。所谓拱坝丌裂约束条件，是指 当拱坝坝踵区主拉应力超过坝体材料抗拉强度后，坝踵附近丌裂且裂缝向坝体的 深度和广度发展，这时应对可能发展的范围加以限制以保证大坝安全，目I i 主要 是控制裂缝深度不超过容许值，如控制裂缝不拉断大坝防渗帷幕。 2 0 世纪末，王德信【20 J 等提出了拱坝丌裂约束的概念，并应用到了坝体体形优 化设计实践中；孙林松等则在文献 2 1 1 中对考虑开裂深度约束的拱坝体形进行了 优化设计，并取得了令人满意的效果。 张 1 J 牛皋十A P D L 的三次秆条线型执埙体形优化改计研究5 1 2 3 拱坝体形优化的求解方法 迄今为止，传统的拱坝体形优化设计求解方法主要包括复合形法川f 2 2 】、广义 简约梯度法【2 3 】【2 4 】和约束变尺度法【2 5 1 等方法。这些方法经过多座拱坝工程优化设计 的实践检验，有效性均得到了证实。 复合形法的基本思想来源于单纯形法，其基本过程是：在设计变量的可行域 内选取足个顶点作为初始复合形的顶点，比较这些顶点所对应的目标函数值，去 掉其中目标函数值最大所对应的最坏点，而代之以最坏点的反射点构成新的复合 形。复合形法在迭代过程中不需求解目标函数的导数，适用于函数显式导数难求 出的情况。张晓洪【2 6 】等人对基本复合形法进行了改进，使之对优化模型可行域可 能为非凸集或目标函数突变等情形更为适应。 广义简约梯度法是简约梯度法推广到具有非线性目标函数和非线性约束时的 情形，实质都是通过变量的隐式消元，把原问题转化为无约束极值问题来处理， 其特点是寻优时沿边界进行搜索，而结构优化的解往往是位于边界上。 约束变尺度法属于序列二次规划类，它揉合了优化理论中的一些重要思想与 方法，如线性与二次近似、变尺度法和罚函数等，还采用了新颖的一维搜索监控 技术，使之成为大型优化问题的极为有效的算法。但约束变尺度法需要用到目标 函数的二次导数和约束函数的一次导数，这就限制了该方法的适用性1 2 ”。 近年来，以遗传算法、人工神经网络为代表的一些人工智能方法在设计中也 得到了应用。 遗传算法是模拟自然界生物进化过程与机制求解极值问题的一类自适应人工 智能技术，其优点是不需要梯度信息，不要求函数连续，全局搜索能力强，且程 序通用性强，可以解决形状优化设计中的全局最优解问题1 2 8 1 。该方法首先建立一 个初始群体，用类似于染色体的编码表示给定优化问题的一个可能解，然后建立 适应值函数以确定种群成员的优劣，再按一定的概率选择适应性好的个体进行复 制，淘汰适应性差的个体；出定的控铡概率，对余下的种群成员进行杂交和变 异操作，产生出更加适应上不境的新的种群，如此不断地进化下去，直至满足一定 的准则，可以收敛到适应性最强的个体，即寻找到原优化问题的全局最优解。 杨海霞【2 9 】等人将遗传算法和序列二次规划方法在抛物线型双曲拱坝的体形 优化设计中作了比较，得出了遗传算法的结果优于序列二次规划法的结论，同时 也指出采用遗传算法需要的结构分析次数很多，有必要提高优化的效率，减少结 构重分析的次数。 6 扬州人学坝1 擘位论文 人工神经网络( A r t i f i c i a lN e u r a lN e t w o r k s ) 是指由大量与自然神经系统的神经 细胞类似的人工神经元互隧而成的超大规模、连续时间、自适应的非线性动力系 统，它可以为拱坝体形优化提供较精确的初始可行解，也可为中、小形拱坝优化 设计问题直接提供近似最优解。 刘得富 3 0 】等人采用神经网络方法进行了拱坝体形参数得近似优化，证实了方 法的可行性，指出神经网络方法明显优于其它确定拱坝体形参数的近似方法，如 经验公式法，传统人工智能方法等。 徐明毅等人结合云南小湾拱坝的实例论证了基于人工神经网络的优化方法 的优越性。该方法容易整合各种复杂的约束条件，有很强的灵活性，但是前期准 备工作量大，整个优化过程的计算效率比起常规的优化方法并没有多大提高，因 此还需要继续改进。 1 3 本文的主要工作 随着国家“西部大丌发”战略的实施，我国西部高山峡谷地区将出现一批世 界上最大的高拱坝枢纽，工程量也远远超过现有水平，这对我国拱坝建设和优化 设计既是严峻的考验，又带来了良好的机遇。 本文基于有限元软件A N S Y S 对三次样条线型拱坝的体形优化设计进行了研 究，主要工作如下： 1 介绍了三次样条插值函数的基本理论，提出了三次样条线型拱坝构造方法， 并建立了帽应的体形优化模型。 2 论述了拱坝结构有限元分析的基本理论，介绍了有限元分析软件A N S Y S 以 及A P D L 语言，提出了基于A P D L 的拱坝建模与分析的方法，并对白鹤滩拱坝进行 了结构分析。 3 介绍了遗传算法的基本理论与方法，提出了一种加速微种群遗传算法并在 结构优化设计中得到了运用。 4 以坝体体积、应力水平为目标函数对臼鹤滩拱坝进行了单目标和多目标的 体形优化设计研究。 k 仆华皋十A P D L 的三次 f 条线堑拱坝 奉彤优化髓计州究 7 第二章三次样条线型拱坝及其优化模型 目前，在设计拱坝体形时，拱坝研究者们一般采用对拱坝坝肩稳定比较有利 的拱圈样式，如抛物线、椭圆、双曲线、三心圆、对数螺旋线等非圆弧拱圈，本 章采用具有较好光滑性和稳定性的三次样条插值函数柬构造拱坝水平拱圈，并建 立了相应的体型优化模型。 2 1 三次样条插值函数的基本理论 2 1 1 样条插值函数的概念 样条( S p l i n e ) 这_ 个词本来是指在飞机和船舶的制造过程中为了描绘出光滑的 外形曲线所用的一种绘图工具，它是一种富有弹性的细长条，使用时，用压铁固 定在一些给定的点( 称为样点) 上，在其他地方让它自由弯曲，然后依样画下光滑 的曲线，就称为样条曲线。从数学上看，在小绕度的假定下，它实际上是由一段 一段的三次多项式曲线拼接而成的曲线，在拼接处，不仅函数自身是连续的，而 且它的一阶导数和二阶导数也是连续的( 三阶导数般却不是连续的1 ，所以样条 曲线具有非常好的光滑性。 自1 9 4 6 年舒恩柏格( I J S c h o e n b e r g ) 首次提出样条函数这名称到现在已有6 0 年左右的历史了，但一_ 丌始样条函数并没有得到应有的重视，后来随着电子计算 机的迅速发展，它也得到了蓬勃发展，建立了完备的理论，并得到了很多重要的 应用。进入2 0 世纪6 0 年代以后，样条函数己成为现代数学计算中一个十分重要 的数学工具，以各种方式应用到逼近论、数值拟合、数值积分和积分方程等数值 求解中。其中，三次样条插值函数是最常用的一种样条函数。 2 1 2 三次样条插值函数的定义 对于给定的函数表： Z ， 毛 x n y ，= f ( x )y o y l y 。 其中 口= 工o 工J z 2 X n = b 若存在函数s 0 ) 满足条件： 1 s ( 工) 在每一个子区间B H ，z ( - ，= 1 , 2 ，H ) 上是一个不超过三次的多项式。 2 s ( x ) 在每一个内节点x ( J = 1 , 2 ，“ 一1 ) 上具有直到二阶的连续导数，则称 J ( z ) 为通过节点X o ，X I ，X 2 ，的三次样条函数【3 2 】。 若s ( x 1 在所有节点上还满足插值条件： 3 s ( x ，) = Y ，( = 0 ，1 ，2 ，月) ，则称5 ( x ) 为三次样条插值函数。 由定义可知，三次样条插值函数就是通过全部样点的二阶连续可微的分段三 次多项式函数，但s ( x ) 在整个区I 且j f , b 】上不是一个三次多项式函数，而是在每 个小区问【。川，x ，】上都是一个三次多项式，可记为s 。( x ) ，所以可设 s ( x ) = a j x3 + 6 ，x 2 + c J x + d j ，( - ，= l ，2 ，月) ( 2 1 1 ) 从而有 s ( x ) = s l ( x ) ，x X 0 , x l 】 s 2 ( x ) ，z ，【x ，工：】 ( 2 1 2 ) 占。( x ) ， 要确定整个三次样条插值函数 工【x 肛1 ，。】 必须确定4 ”个未知系数，由定义町得到4 一2 个方程，为了确定一个特定的样条插值函数，还需要增加两个条件，通常是在两 个端点处给出，我们把它叫做边界条件。 边界条件应根扼实际问题的要求来确定，常见的边界条件类型如F ： 1 给定端点处的一阶导数值，即J ( x 。) = Y ；，s ( x ，) = Y ：。 2 给定端点处的二阶导数值，即J “( 粕) = K ，s ”( 工，) = 彤。 3 当Y = ( x ) 是以b a 为周期的周期函数时，则要求s ( x ) 也是周期函数，这 时的边界条件可写成： s ( x o + 0 ) = s ( 一，一O ) ，s ( z o + 0 ) = S l ( X n 一0 ) ，J ”( x o + 0 ) = ，”( 一0 ) 。 补充了两个端点条件后，得到了关于未知系数k ，b ，q ，d ， 的4 ”个方程。理 论上，可以通过求解4 n 阶线性代数方程组得到s ( x ) 在各个小区问上的表达式 S ，0 ) 的各项系数，从而得到s ( x ) 。但是实际上，该方法的工作量相当大，并且L 张礼华皋十A P D L 豹三次村条线墅拱坝体形扰化设计乱玎究 9 方法，而是采用工作量小得多的构造s ( x ) 的有效方法。 21 3 三次样条插值函数的求解方法 常用的求解三次样条插值函数的方法有三弯矩法和三转角法。 21 3 1 三弯矩插值法 设s ( x ) 在( _ ，= 0 , 1 ，2 , - - - , ) 处的二阶导数为s ”( x ，) = M ，( _ ，= 0 , 1 ，2 ，“ ) ，令 ，= X j - - X j _ I 出线性插值可知其表达式她= 等蚱。+ 孚吩经两 次积分得J ( 工) 在区问 工川，x ，】上的表达式为 吖加簪掣”h 一华 等 t 竿 等泸堙，内 眨， 对上式求导，得s ( x ) 在区间【石川，z ，】上的一阶导数为 蹦加一、( X l - - ，X ) 2 掣”半一学_ 亿， 利用s ( x ) 在内节点的连续性，即s ：( x ，一o ) = j ：( x ，+ o ) ，就得到关于参数 M 川，M ，M 川的一个方程： 铷+ 华”缸= 等一半俨啦，尹州z t 固 可将式( 2 ，1 5 ) 化为 去坼I + 2 肌蔫M J + l = 6 几川 川M _ 1 ，2 ，川_ 1 ) ( 2 1 6 ) 其中川弓川，2 去( 等一半j 虻雌扎令 1 0 扬州人学坝卜学位论立 - = 耘，, u j = 1 - 乃2 志川，“m 川 一一删上式毗为 J M J l + 2 M ，+ 2 j M + l = d ( = 1 , 2 ，n 一1 ) ( 2 1 7 ) 由于力学上将M ，解释为梁在截面x ，处的弯矩，故式( 2 1 7 ) 称刀= - - 弓, 硭丁“ 性c a 。 要完全确定M ，的值还需补充两个条件，即区间 d ，6 两个端点处的边界条件， 下文以第一种边界条件J 。( x 。) = Y ：，s ( x 。) = Y ：为例予以介绍。 将x = 和x = X ，分别代入式( 2 ，1 + 4 ) ，可得 z “ 鲁( 半叫卜 亿m ， 一。= 乳：一半卜 亿 综上所述，由式( 2 1 7 ) 、( 2 1 8 ) 、( 2 1 ，9 ) 得到疗+ I 阶线性代数方程组为 21 “2 22 如 2 一 12 M o M l M 2 ： M H M 。 盛 d I d 2 ： d 。一l 以 ( 2 1 1 0 ) 在式( 2 ，1 9 ) 中，系数矩阵的非零元素都集中在三条对角线上，所以该方程组 被称为三对角方程组，可用追赶法求解。 追赶法是g a u s s 消去法的一种简化情形，其基本思想是：首先把主对角线化 为1 ，对角线以下元素消元为零，这一过程称为追的过程；然后再进行回代过程， 将所得到的二对角方程组自下而上地逐步回代而得出方程组的解，这一过程称为 赶的过程。 三对角方程组的一般形式为 强伟牛苹于A P D L 豹二次秆条线型扒坝体形优化i 5 计州究 b l z l + C l X 2 = _ a 2 x I + b 2 x 2 + C 2 X 3 = C I n _ l z ”一2 + b n l x p I + C n - I x n = ，I - l a o x + b 。i x 。= 。 写成矩阵形式为 b lc I 口，b ，c ， a 3 b 3C 3 a 以一lc p 口。b 。 求解时，首先将式( 2 1 1 2 ) 变换成二对角方程组 1 1 I r o 由式f 2 1 ，1 3 ) 第一个方程，有 1 一l 叠 ： Z 肛I X n 盖t + r , x 22 Y 而 X 2 而 ： X H I X 月 y I Y 2 Y ”一t 虬 ( 2 1 1 2 ) ( 2 1 1 3 ) ( 2 1 1 4 ) 式中，l = ，J ，= 吾；将式( 2 1 1 4 ) 代入式( 2 1 1 1 ) 的第二式，消去五，有 可以写成 式中_ 2 芒矗嗍2 于是，一般地有 口2 ( y l r , x 2 ) + b 2 x 2 + C 2 X 3 = f 2 x 2 + r , _ x 32 Y 2 五一口2 Y b 2 一a 2 ，l X l + r t x t + 1 2y t ， x 。2 Y H ( 2 1 ，1 5 ) 将x ：代入式( 2 1 1 1 ) 的第三式，可以消去X 2 。 ( 七= l 2 懈一1 ) 、 ( 2 1 1 6 ) Z 五：o 五 扬f 人学帧I 学位论立 式中，- = 昔，y t = 每，咯= 志，y t = ：鼍暑； c t = z ，s ，。，n 一， 上述求解过程称为向丽追的过程； 由式( 2 ，1 1 6 ) 自下而上地逐步回代，依次可求出方程组地解X nx 。l ，一，x ：，一， 计算公式为 x “ 2 Y 月 工t = Y 女一z t + I ，( k = 船一l ，门 、 2 ，1 ) ( 2 1 1 7 ) 此过程为往凹赶的过程。 2 ，1 ，3 2 三转角插值法 下面从另一角度来构造出满足插值条件s ( 工，) = Y ，( i = 0 , 1 ，2 ，n ) 的三次样条插 值函数s ( z ) ，即使用三转角法 3 3 】束构造插值函数。 令搬，= s ( z ，) ( f - 0 , 1 ，2 , - - 投) ，由三次H e r m i t e 插值公式及余项公式可知s ( z ) 在 工。，x ， 上的余项为零，s ( x ) E x 。，x ， 上的表达式为 s ( x ) = ! 兰二2 兰! 里1 掣y 。+ ! 兰二! 量! 掣y ，+ 堕雩型坚幽脚厅一门 上式满足满足条件：J ( x ，+ 0 ) = 5 ( 工，一0 ) = 聊，( i = 1 , 2 ，H 一1 ) 。 由式( 2 1 1 8 ) 可得5 ( x ) 的二阶导数为 s ”( x ) = 皇兰学研。+ 鱼兰学研，+ 皇鱼2 L 掣n n n ， 于是有 s ”( x , - 0 ) = 知+ 和一和叫J 】( 2 1 2 0 ) 在x - ( 21 1 9 ) 中把i 改为i + 1 ，得s ”( x ) 在阮，工。 上的表达式，于是同理有 叛 1 ，午皋于A P D L 的：三次材条线型执坝休形优化改计州究 北+ o ) 一丢一寺- + 百6 叫】( 2 1 2 1 )一+ I ，l ，+ l 血二1 根据二阶导数的连续条件 s ”瓴- 0 ) = s 4 瓴+ O ) ( j - 1 , 2 ，拧一1 ) 可以得到 扛+ z 睁古卜7 , 1 m , t 3 一 y + I - y 一十学 B z ， 令 g ，= 3 ( a ，f x H ，z ，】+ 2 , f x ，x ，+ l 】) ( i = 1 2 ，肝一1 ) ( 2 1 2 3 ) 式中：u ，、丑含义同式( 2 1 7 ) ，f x 。，工，】、f x ，K ；】为一阶差商。则式( 2 1 2 2 ) 可写成如下形式： ml + 2 m ，+ 丑朋= g ，( i = 1 , 2 ，甩一1 ) ( 2 1 2 4 ) 这是关于n + 1 个待定系数，珊。的雄一1 - r T q 程。为了能唯一确定待定 系数m ，( f = 0 , 1 ，2 ，) ，需要用边界条件补充两个方程，下面结合第二种边界条件 加以介绍。 在式( 2 1 2 1 ) 中，令i = 0 ，又因为J ”( + 0 ) = Y ；，J ”( x ，一0 ) = Y ：，则 2 m o + 脚I = 3 f x o ，x l 】一导y ”( x o ) ( 2 1 2 5 ) “ 在式f 2 1 2 0 ) e ? ，令i 习t ，则有 m 。+ 2 ，”。= 3 厂【工，x 。】+ 罢 y ”( 工。) ( 2 ，1 2 6 ) 再令9 0 = 3 f z 。，x l 卜了h IJ ，”( ) ，岛= 3 厂【x ，工。】+ 了h n y ”( x 。) ，联立式( 2 1 2 4 ) 、 ( 2 1 2 5 ) 、( 21 2 6 ) 可得线性代数方程组： 2l 2 2 ，l2 一 12 m o ，行 ： 脚肛 掰” g o g l ： g 加 g 。 ( 21 2 7 ) 上式中每一个方程最多出现三个相邻的聊。，m ，研。，故称为三转角方程组，其系 数矩阵是严格对角占优矩阵，可用追赶法求得待定系数m ，然后就可以得到s ( x ) 的表达式，上述求解s ( x ) 的方法称为三转角插值法。 2 1 4 三次样条插值函数的保凸性 拱坝是凸向上游的挡水结构，水平拱圈必 须凸向上游，因此对图2 1 所示三次样条插值 函数曲线，其保凸条件【3 4 】可表示为 式中：Y ，( f = 0 , 1 ，2 ，n ) 为节点的Y 坐标；d ，、 M 的含义与式( 2 ，1 ，7 ) 中相同。 图2 1 三次样条插值函数曲线 2 2 三次样条线型拱坝的构造 双曲拱坝的几何形状取决于拱冠梁断面和水平拱圈的形状，拱冠梁断面和水 平拱囤都可以用一些特征量来描述，这些特征量即为拱坝的体形参数，用体形参 数描述的拱坝体形称为拱坝的几何模型。 2 2 ，1 拱冠梁断面的几何描述1 3 s 1 确定拱冠梁几何形状就是要确定其上、下游面曲线，可通过确定拱冠梁上游 面曲线和厚度的方法来描述。 如图2 2 所示，确定拱冠梁上游面曲线y 。( z ) 和拱冠梁厚度方程t ( z ) 后，就 可推导得出坝体下游面曲线y 。( z ) ，从而确定了拱冠梁断面形状。图中，K 。为七 勰 Q 、，、，J 一) 川q 协叭 一 ； ； U 以 q 巩邳蜘嘭M 强 1 J 牛皋十A P D L 昀二次秆条线型执坝体彤优化设计州究 I5 游倒悬度，K 。为下游倒悬度。 拱冠梁上游面曲线方程y 。( z ) 可假设为z 坐 标的三次多项式，即设 y 删( z ) = n o + 口l z + a 2 2 2 + a 3 2 3 ( 2 2 1 ) 为确定系数Q O , q ，C 2a ，取四个控制高程 ( z = z I , z 2 ，毛，z 4 ) 处的拱冠粱上游面y 坐标为特征 量，即X l = Y 。( z 1 ) ，X 2 = y 。( z 2 ) ，X ，= Y L U ( z 3 ) ， 。= Y c u ( z 。) ，代入式( 2 2 1 ) 可求得： 口0 口i 口2 码 d o lf 1 0 2 口l I a s 2 a 2 1 a 2 2 a 3 ta 3 2 d 0 3 C 0 4 ( 1 1 3 玎1 4 a 2 3 口2 4 a 3 3a 3 4 l X 2 3 x A y c 。 砚一 弋 | 止L J ： J Iy c d l旷 f ：文 、 驴 、 图2 2 拱冠梁断面 ( 2 ，22 ) 式中， 卅的元素仅与控制高程的z 坐标有关。将式( 2 2 2 ) 代入式( 2 2 1 ) 可得用特 征量x 。，z ：，X 。表示的拱冠粱上游面曲线。 拱冠梁厚度方程t ( z ) 同样假设为z 的三次多项式 疋( z ) = b o + 6 I z + b 2 2 2 + 6 3 2 3 ( 2 ，2 3 ) 取四个控制高程0 = z ，2 ：，z ，z 。) 处的拱冠粱厚度为特征量，= t ( z 。) 。= z 0 ：) ，X ，= l ( 乙) ，X 8 = T ( z 。) ，则可得 b o b l b 2 b 3 b o l6 0 2b o ， b l lb 1 2b 1 3 b 2 lb 2 2b 2 ) b 3 b 3 2 也j X 5 6 X 、 以邓，侄 ( 2 2 ，4 ) 其中，【B 】的元素只与控制高程的坐标有关。将式( 2 2 4 ) 代入式( 2 2 3 ) 可得用特i d ： 置邑以I，、l 】 省 r【 I I ，、L = = 、r，J 竺 丝型叁兰! ! ! ! 兰! ! 笙苎 量；，甄，z 。表示的拱冠粱厚度方程。 由图2 2 可知，拱冠梁下游面曲线方程y 。( z ) 出拱冠梁上游面曲线方程和厚 度方程按下式确定 y 。d ( z ) = y 。( z ) + t ( z )( 2 2 ，5 ) 进一步还可求得拱冠梁上游倒悬度K 。和下游倒悬度K 。为 K 。= 。( 0 ) = a I( 2 2 6 ) K 。，= y 5 ( H ) = y ：。( ) + F ( H ) = a l + b 】+ 2 H ( a 2 + 6 2 ) + 3 H2 ( d 3 + 6 3 ) ( 2 2 7 ) 由以上两式可知K 。、K 。，是特征量X 。，：，一，X 。的函数。 2 2 2 三次样条线型拱圈的几何描述 确定水平拱圈的几何形状也就是确定拱固上、下游面的曲线方程，要得到拱 圈上、下游面曲线方程，必须先确定拱圈轴线方程和拱圈厚度。 以右岸侧拱圈为例，妇图2 - 3 所示，又为右侧拱端厚度，绦为拱端处拱轴线 法线与拱坝中心线( ) ，轴) 的央角，也称为半中心角，可以通过计算拱轴线方程在拱 端处的一阶导数来得到该参数值；Y 。= Y 。+ 妻t 为拱圈轴线在拱冠处的Y 坐标； 二 z 。为右侧拱圈轴线弦长，般情况下为已知值。 幽23 水平拱圈 图24 拱圈厚度 T 圳_ 叫 张伟华基于A P D L 的二次村条线型拱坝体形优化设计研究 1 7 为构造三次样条拱轴线，设拱轴线上有n + 1 个样点爿，只，最，只+ B ，如图 23 所示，它们的横坐标X 0 = 0 ，_ ，x 2 ，J 。，x 。= 彳。平分区间 O ，X 。】，纵坐标依 次为纵坐标依次为Y o = Y cY l ，y 2 ，Y H ，Y 。 设y ( x ) 为通过拱圈轴线上所有样点的分段三次样条插值函数，则y ( x ) 在小区 间 x 。，x ，】( f _ 1 , 2 ，n ) 上的表达式为 垆譬附( 一竽) 等 + ( 圹竽 警”啦，胛， 亿z 固 式中，曩= x ，一x 。= 二* ( f - 1 , 2 ，以) ，则在关于M ，( f = 0 , 1 ，2 ，胛) 三弯矩方程式 “ ( 2 1 7 ) 中，有 丑= i j ；j ；i = j 1 ，( f = 1 ，2 ，n 1 ) ( 2 2 9 ) H _ l A2 志刁1 ( f _ 1 ，2 ，扩1 ) ( 2 2 1 0 ) d，=6fxl-IXlXj+1=三兰：匕铲，(f=1，2，-一，鼍一1)(2211) 根据图2 3 可得：拱圈轴线上A 点的第一类边界条件为Y ( ) = Y ：= 0 ，B 点的第一类边界条件为y 7 ( x 。) = = t a n q ，。，分别代入式( 2 1 8 ) 、式( 2 1 9 ) 可得 盛= 2 + M = 虿6 7 2 y 一y 。) ( 2 2 1 2 ) 以碱一z ”罢( t a n 纨一鼍掣) 亿z ， 将式( 2 2 9 ) 式( 2 2