“探索三角形全等的条件（一）”的教学案例

1 / 16 “探索三角形全等的条件（一）”的教学案例 “ 探索三角形全等的条件（一） ” 的教学案例 教学内容 苏科版义务教育课程标准实验教科书 数学七年级下册第十二章第三节第一课时。 教材分析 本课时是探索三角形全等的条件的第一课时。主要内容是三角形两边一角全等条件的探索过程，三角形全等的 “ 边角边 ” 条件及其简单的应用。在新课程教材中，三角形全等的判定条件的探索是分五节课进行的。由于所教班的同学求知欲望强，对于未知的知识有积极探索的欲望，为适应学生这种要求， 我对教材内容重新整合，增加了一个生活中应用的例子，并且共同探讨了 SSA的问题，这样不但易于激发学生的学习热情和探索欲望，也为以后巩固与深化三角形全等条件的应用提供了更广阔的时间和空间。 学生的认知状况分析： 学生通过前面的学习已了解了图形的全等的概念及特征，掌握了全等图形（包括全等三角形）的对应边、对应角的关系，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。另外，学生也具备了利用已知条件作三角形的基本作图能力，这使学生能主动参与本节课的操作、探究成为可能。 2 / 16 教学目标 1知识技能达成目标：通过学生动手画图、剪纸、理解和掌握三角形全等的 “ 边角边 ” 的判定方法。会运用该判定方法证明三角形全等。进而证明线段或角相等问题。 2过程方法揭示目标：经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。培养学生的识图能力、逻辑思维能力，发展有条理地表达能力，在教学中向学生渗透全等变换的思维方法。 3情感态度孕育目标：在自主探索三角形全等的条件的过程中，经历画图、观察、操作、比较、推理、交流等环节，培养参与、合作精神、以及探索精神和探索能力，从而获得正 确的学习方式和良好的情感体验。 教学的重点与难点： 重点：三角形全等条件的探索过程是本节课的重点。 从设置情景提出问题，到动手操作，交流，直至归纳得出结论，整个过程学生不仅得到了两个三角形全等的条件，更重要得是经历了知识的形成过程，体会了一种分析问题的方法，积累了数学活动经验，这将有利于学生更好的理解数学，应用数学。 难点：三角形全等条件的探索过程，特别是创设出问题后，学生面对开放性问题，要做出全面、正确得分析，并对各种情况进行讨论，对初一学生有一定的难度。 3 / 16 根据初一学生年龄、生理及心理特征，还不具备独立系统地推理几何问题的能力，思维受到一定的局限，考虑问题不够全面，因此要充分发挥教师的主导作用，适时点拨、引导，尽可能调动所有学生的积极性、主动性参与到合作探讨中来，使学生在与他人的合作交流中获取新知，并使个性思维得以发展。 设计意图： 任何数学知识的发现都会经历： “ 猜想 验证 推广 说理 应用 ” 这一过程，它是研究数学的基本思路。 本节课先通过对三角形全等需具备的条件的个数的探讨，从而科学、大胆地提出猜想，进一步到 “ 边角边 ” 判定条件 的研究，接着用剪纸的办法来验证 “ 边角边 ” ，然后共同体验结论的简单应用，对于优等生设置了进一步推广的空间，最后对探索到的数学知识又加以应用。三角形全等需具备三个条件而本节课主要研究了 “ 边角边 ” ，与 “ 边角边 ”类同的 “ 边边角 ” 可作为接下来最先研究的问题。所以在本节课的尾声设置了关于 “ 边边角 ” 的探究，既承接 “ 边角边 ” 的研究并体现与之的区别又为研究其它判定三角形全等的条件作铺垫，这样充分地体现了课标的过程教学，也完美地展示了数学研究的基本思路。 教学过程： 一、创设问题情境，激发探究欲望 4 / 16 师：生活的五彩缤纷离不开生活中美丽的图形，让我们共同来欣赏几幅生活中的全等图形。 动画演示 师：生活中处处有数学，就让我们带着数学的眼光一起走进全等三角形。 动画演示两全等三角形后出现以下六个图形。 （在下图中，每个图形都有两个三角形全等， 根据已知条件，写出其余相等的对应边和对应角） A B c D E （ 1）（ 2）（ 3） A B c D 1 5 / 16 2 （ 4）（ 5）（ 6） 题目： （ 1） AcBDEF ，其中 A 与 D， c 与 E 是对应顶点； （ 2） ABcADc ，其中 BAc=DAc ； （ 3） ABcADE ，其中 AB=AD； （ 4） ABcDcB ，其中 1 和 2 是对应角； （ 5） ABEAcD ，其中 B=c ； （ 6） ABEDcE ，其中 BE=cE； 答案： （ 1） Ac=DE， AB=DF， cB=EF， A=D ， c=DEF ，ABc=F （ 2） AB=AD， Bc=Dc， Ac=Ac， AcB=AcD ， B=D ； （ 3） Bc=DE， Ac=AE， BAc=DAE ， B=ADE ， c=E ； （ 4） AB=Dc， Ac=DB， Bc=cB， 1=2 ， A=D ，ABc=DcB （ 5） AB=Ac， AE=AD， BE=cD， A=A ， AEB=ADc （ 6） AB=Dc， AE=DE， A=D ， B=c ， AEB=DEc 师：同学们，你们可以选择一个你喜欢的图形点击，这样即出现相应题目，思考如何解决。（网络教室） 生：各自操作思考，进行自主复习。（自己可查询答案） 6 / 16 简析一方面让学生回忆学过的相关内容，为 “ 探索三角形全等的条件 ” 作伏笔，激发 “ 探索三角形全等的条件 ” 的欲望；另一方面让学生了解到两个全等的三角形可任意变换其位置而有不同的改变。同时考虑学生可根据其意愿去选择思考的题形。 二、鼓励大胆猜想，引导发现结论 师：我们不禁会想，要你画两个三角形全等需要几个与边或角的大小有关的条件呢？ 一个条件、两个条件、三个条件，还是 生：三个！ 师：同学们的猜想是否正确呢？还是让大家共同来议一议。如果只给一个条件：给一条边对应相等或给一个角对应相等行吗？ 生 A：不行，我画了两个三角形满足一条边和一个角对应相等，但这两个三角形不全等。（学生画的三角形放在画图板上给大家看） 师：你太棒了！直接给出满足一条边和一个角对应相等的两个三角形不全等的反例，当然也间接肯定了满足一个条件的两个三角形不一定全等。 师：给两个条件还有哪些可能性？ 生 B：除了给 一条边和一个角，还可能是 “ 两个角 ” 或“ 两条边 ” 。 7 / 16 师：答的非常好。哪位同学愿意来谈谈 “ 满足两个角对应相等的两个三角形是否全等 ” 。 生 c：不一定全等，比如这个三角尺内侧的三角形与外围的三角形满足三个角相等，但它们不全等（ c 手里拿着一个常用的三角尺） 师：太好了！你的观察力太强了！不仅推翻了 “ 满足两个角对应相等的两个三角形全等 ” ，而且还说明了满足三个角对应相等的两个三角形不一定全等。 师：那如果满足 “ 两条边 ” 对应相等的两个三角形呢？你有发现吗？ 生：不全等！ 师：为什么呢？ 生：因为角度不固定，可变化。 师：给三个条件会有哪些可能性？ 生 D：给三个角、三条边。 师：还有没有需要补充的。 生 E：两条边和一个角 生 F：两个角和一条边。 师：我们这节课主要来探讨其中的一种情况 “ 两条边和一个角 ” 对应相等的两个三角形，其它情况我们以后逐一研究。两条边和一个角在三角形中的位置分布会有几种情况呢？请同座位先相互交流一下。 8 / 16 交流完毕 生 G：角可能是两条边的夹角，也可能是其中一边的对角。 师：很好，那就先探讨 “ 两边和夹角对应相等的两个三角形 ” ，让我们动手画一画再剪一剪吧！ 多媒体展示剪一剪的内容（剪出一个满足条件的三角形，条件：以 10cm、 20cm的线段为边，它们的夹角为 600） 学生开始动手操作：先在纸上画好，接着用剪刀剪下。 师：四人小组交流，将剪下的三角形放在一起进行比较。你发现了什么？ 生：重合生：全等 师：将你的三角形拿去和你好朋友的比较，你发现了什么？ 生：重合 生：全等 师：刚才的发现让你想到了什么？ 生 H：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 师：概括的太精彩了！这样看来，同学们只要多观察、多思考，将来都有可能成为科学家，说不定将来就要学习在座各位所发现探究出来的知识了。（同学们开心的笑） 多媒体展示 简析在教材的基础上作合理的变化，符合学生的认知规律。在学生探索新知识的经历和获得新知识的过程中，注意9 / 16 培养学生直觉猜想的能力，锻炼学生发散性思维；同时通过学生的讨论交流，不断完善认知结构，体验到合作的力量，让 学生在长知识的同时，也长了智慧，还尝试到互助成功的喜悦，培养了良好的思维品质。 三、典型例题初探，师生达成共识 多媒体展示， （例 1、如图 AB=AD， BAc=DAc ， ABc 和 ADc 全等吗？为什么？） 师：小组内先交流。你有解决这个问题的方法了吗？聪明的同学们，谁来先分析。 生 I：在这两个三角形中 Ac 边是公共的所以相等，而题目又已知了 AB=AD， BAc=DAc ，这样满足 “SAS” 的条件，所以全等 师：大 家赞同他的分析吗？ 生：赞同 师：那就鼓励一下（掌声） 在电脑上师生共同完成解题过程。 四、尝试应用知识，及时反馈矫正 师：对于刚才的两个三角形的全等，大家说明的非常棒。老师这儿有一些三角形，请你们判断一下它们是否全等？ 10 / 16 多媒体展示反馈练习中的第一类题 1、如图，下列三角形中，哪两个三角形是全等三角形？ 4 5 300 300 4 4 4 6 400 6 11 / 16 4 400 400 4 4 4 300 5 生 j： 和 和 师：你认为他的结论正确吗？ 生：正确 师： j 同学能解释一下吗？ 生 j：因为它们都有两条边及夹角对应相等，所以是全等的。 12 / 16 师：非常好，你的观察力和概括能力都非常棒。 简析：教学要以人为本、因材施教。所以这里另配有中等难度题和一个难些的题让一部分学生和个别学生进行自主学习，以避免 “ 吃不饱 ” 现象。对基础薄弱的同学不作要求。反馈练习中 2、 3 题使运用又上了一个新台阶 利用三角形全等证明线段或角相等。 2、已知：如图，点 E、 F 在 Bc 上， BE=cF， AB=Dc， B=c 问： AF和 DE 相等吗？为什么？ A B c D E F 解： = +=+ 即 = 在 和 中 = 13 / 16 = = （） = （全等三角形的对应边相等） 3、已知：如图， Ac=AB， AE=AD， 1=2 问： 3 和 4 相等吗？为什么？ 解： = +=+ 即 = 1 2 3 4 A B c D E 在 和 中 14 / 16 = = = （） = （全等三角形的对应角相等） 五、师生聚焦课堂，归纳小结评价 师：从这节课里你收获到什么？还想了解什么？ 生 k：我知道了判定两个三角形全等可以用 “ 边角边 ”的方法 生 L：判定两个三角形全等后又可以得到对应边相等、对应角相等 生 m：我还想知道判定两个三角形全等还有哪些方法？ 生 N：三角形全等有什么实际用途呢？ 师：好！只要同学们学会用数学的眼光去看世界，相信你会发现这个世界更广阔、更精彩！ 六、延伸拓展课堂，体验生活数学 多媒体展示（ A、 B 间有一高楼，如要测 A、 B 两点的距离，你有什么好方法？） 师：这是课后小组交流的一个问题 七、引导探究方向，培养发散思维 15 / 16 师：对于 “ 探索三角形全等的条件 ” 本节课只做了一个开始，有了本节课的探索思路，相信同学们课后自己一定会探索 到更多的结论，可从类似的 “ 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形开始 ” 。课后先独立思考再小组交流，以到达成功的彼岸。多媒体展示 教学后记：对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步。它是两个三角形间最简单，最常见的关系。它不仅是学习后面知识的基础，并且是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据。因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且灵活的应用。由于这节课用设问形式创设问题情景，设计一系列实践活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维，使学生经历 从现实世界抽象出几何模型和运用所学内容，解决实际问题的过程，真正把学生放到主体位置。 课后对提出的实际应用问题一部分同学都想出了许多方法，其中有些方法还有漏洞，比如 “ 在 AB中垂线上取点 ”的方法，作 AB线的垂线去构造全等的直角三角形的方法等，同学们想出了方法但没有考虑到实际操作时的不妥，教师引导学生自己去操作实践发现问题，从而完善方法。对于 “ 边边角 ” 探究只有少部分同学找到不成立的反例，后来又从两方面去引导（ 1）同学交流（ 2）从不同三角形的类型去探究。 教学心得：数学学习对学习者而言是一个发 现和创造的16 / 16 过程。在数学学习过程中，如何寻找和形成适合学习者自身特点的有效方法，如何培养举一反三、触类旁通的迁移能力，如何感悟提炼基本