不等式放缩技巧十法.doc

第六章 不等式第二节 不等式放缩技巧十法证明不等式，其基本方法参阅(下册)有关章节.这里以数列型不等式的证明为例说明证明不等式的一个关键问题: 不等式的放缩技巧。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下十种：一 利用重要不等式放缩1. 均值不等式法例1 设求证解析 此数列的通项为，即 注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中，等的各式及其变式公式均可供选用。 例2 已知函数，若，且在0，1上的最小值为，求证： 简析 例3 求证.简析 不等式左边=，故原结论成立.【例4】已知， 求证：1.【解析】使用均值不等式即可：因为，所以有 其实，上述证明完全可以改述成求的最大值。本题还可以推广为： 若， 试求的最大值。 请分析下述求法：因为，所以有 故的最大值为，且此时有。 上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取“”的条件是，即必须有，即只有p=q时才成立！那么，呢？其实例6的方法照样可用，只需做稍稍变形转化： 则有 于是，当且仅当 结合其结构特征，还可构造向量求解：设，则由立刻得解： 且取“”的充要条件是：。 特别提醒:上述题目可是我们课本上的原题啊!只是我们做了少许的推广而已!2利用有用结论例5 求证简析 本题可以利用的有用结论主要有：法1 利用假分数的一个性质可得 即 法2 利用贝努利不等式的一个特例(此处)得 注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：证明(可考虑用贝努利不等式的特例) 例6 已知函数求证：对任意且恒成立。简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（）不等式的简捷证法：而由不等式得(时取等号) （），得证！例7 已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）解析 结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：。于是， 即【注】：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ，即【例8】已知不等式。表示不超过的最大整数。设正数数列满足：求证【简析】 当时，即 于是当时有 注：本题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩；引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。再如：设函数。 （）求函数最小值；（）求证：对于任意，有【解析】（）1；（）证明：由（）得，对x1有，利用此结论进行巧妙赋值：取，则有即对于任意，有例9 设，求证：数列单调递增且解析 引入一个结论：若则（可通过构造一个等比数列求和放缩来证明，略）整理上式得（），以代入（）式得即单调递增。以代入（）式得此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。 注：上述不等式可加强为简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩： 只取前两项有对通项作如下放缩： 故有二 部分放缩例10 设,求证：解析 又（只将其中一个变成，进行部分放缩），于是【例11】 设数列满足，当时证明对所有 有：；.【解析】 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 【注】上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论。三 添减项放缩上述例5之法2就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。例12 设，求证.简析 观察的结构，注意到，展开得即，得证.例13 设数列满足 （）证明对一切正整数成立；（）令，判定与的大小，并说明理由。简析 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（）进行减项放缩，有法1 用数学归纳法（只考虑第二步）；法2 则四 利用单调性放缩1. 构造数列如对上述例1，令则，递减，有，故再如例5，令则，即递增，有，得证！2构造函数例14 已知函数的最大值不大于，又当时（）求的值；（）设，证明解析 （）=1 ；（）由得 且用数学归纳法（只看第二步）：在是增函数，则得例15 数列由下列条件确定：，（I） 证明：对总有；(II) 证明：对总有解析 构造函数易知在是增函数。 当时在递增，故 对(II)有，构造函数它在上是增函数，故有，得证。【注】本题为02年高考北京卷题，有着深厚的科学背景：是计算机开平方设计迭代程序的根据；同时有着高等数学背景数列单调递减有下界因而有极限： 是递推数列的母函数，研究其单调性对此数列本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。五 换元放缩例16 求证简析 令，这里则有，从而有注：通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。例17 设，求证.简析 令，则，应用二项式定理进行部分放缩有，注意到，则（证明从略），因此.六 递推放缩递推放缩的典型例子，可参考上述例11中利用部分放缩所得结论 进行递推放缩来证明，同理例7中所得和、例8中、 例13（）之法2所得都是进行递推放缩的关键式。七 转化为加强命题放缩如上述例10第问所证不等式右边为常数，难以直接使用数学归纳法，我们可以通过从特值入手进行归纳探索、或运用逆向思维探索转化为证明其加强命题：再用数学归纳法证明此加强命题，就容易多了。例18 设，定义，求证：对一切正整数有解析 用数学归纳法推时的结论，仅用归纳假设及递推式是难以证出的，因为出现在分母上！可以逆向考虑：故将原问题转化为证明其加强命题：对一切正整数有（证略）例19 数列满足证明简析 将问题一般化：先证明其加强命题用数学归纳法，只考虑第二步： 因此对一切有 例20 已知数列an满足：a1，且an（1）求数列an的通项公式；（2）证明：对一切正整数n有a1a2an2n！ 解析：（1）将条件变为：1，因此1为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得an（n1）1（2）证：据1得，a1a2an，为证a1a2an2显然，左端每个因式都是正数，先证明一个加强不等式：对每个nN*，有1（）3（用数学归纳法，证略）利用3得1（）11。故2式成立，从而结论成立。八. 分项讨论例21 已知数列的前项和满足 （）写出数列的前3项；（）求数列的通项公式；（）证明：对任意的整数，有.简析 （）略，（） ；（）由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时 （减项放缩），于是, 当且为偶数时当且为奇数时（添项放缩）由知由得证。九. 借助数学归纳法例22（）设函数，求的最小值；（）设正数满足，求证：解析 这道高考题为05年全国卷第22题，内蕴丰富，有着深厚的科学背景：直接与高等数学的凸函数有关！更为深层的是信息科学中有关熵的问题。（）略，只证（）：考虑试题的编拟初衷，是为了考查数学归纳法，于是借鉴詹森不等式的证明思路有：法1（用数学归纳法）（i）当n=1时，由（）知命题成立.（ii）假定当时命题成立，即若正数，则当时，若正数（*）为利用归纳假设，将（*）式左边均分成前后两段：令则为正数，且由归纳假定知 （1）同理，由得（2）综合（1）（2）两式即当时命题也成立. 根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立.法2 构造函数利用（）知，当对任意 （式是比式更强的结果）. 下面用数学归纳法证明结论.（i）当n=1时，由（I）知命题成立.（ii）设当n=k时命题成立，即若正数 对（*）式的连续两项进行两两结合变成项后使用归纳假设，并充分利用式有由归纳法假设 得 即当时命题也成立. 所以对一切正整数n命题成立.【评注】（1）式也可以直接使用函数下凸用（）中结论得到；（2）为利用归纳假设，也可对（*）式进行对应结合：而变成项；（3）本题用凸函数知识分析如下：先介绍詹森（jensen）不等式：若为上的下凸函数，则对任意，有 特别地，若，则有若为上凸函数则改“”为“”。由为下凸函数得 又，所以（4）本题可作推广如下：若正数满足，则简证：构造函数，易得故十. 构造辅助函数法【例23】已知= ,数列满足（1）求在上的最大值和最小值;（2）证明：;（3）判断与的大小，并说明理由.【解析】(1) 求导可得在上是增函数,（2）（数学归纳法证明）当时，由已知成立；假设当时命题成立，即成立， 那么当时，由（1）得， ， ，这就是说时命题成立. 由、知，命题对于都成立（3） 由, 构造辅助函数，得， 当时，故，所以g(0)=f(0)-2=0，0,即0，得。【例24】已知数列的首项，（）求的通项公式；（）证明：对任意的，；（）证明：【解析】（）（）提供如下两种思路：思路1 观察式子右边特征，按为元进行配方，确定其最大值。法1 由（）知，原不等式成立思路2 将右边看成是关于x的函数，通过求导研究其最值来解决：法2 设，则，当时，；当时，当时，取得最大值原不等式成立（）思路1 考虑本题是递进式设问，利用（）的结论来探究解题思路：由（）知，对任意的，有取，则原不等式成立【注】本解法的着眼点是对上述不等式中的x进行巧妙赋值，当然，赋值方法不止一种，如：还可令，得 思路2 所证不等式是与正整数n有关的命题，能否直接用数学归纳法给予证明？尝试： （1）当时，成立； （2）假设命题对成立，即则当时，有 ，只要证明；即证，即证用二项式定理（展开式部分项）证明，再验证前几项即可。如下证明是否正确，请分析：易于证明对任意成立；于是【注】上述证明是错误的！因为：是递增的，不能逐步“缩小”到所需要的结论。可修改如下：考虑是某数列的前n项和，则，只要证明思路3 深入观察所证不等式的结构特征, 利用均值不等式可得如下妙证： 由取倒数易得：，用n项的均值不等式：，【例25】已知函数f(x)=x2-1(x0)，设曲线y=f(x)在点（xn,f(xn)）处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）(nN*). () 用xn表示xn+1；（）求使不等式对一切正整数n都成立的充要条件，并说明理由；（）若x1=2，求证：【解析】() （）使不等式对一切正整数n都成立的充要条件是x11. () 基本思路：寻求合适的放缩途径。 探索1 着眼于通项特征，结合求证式特点，尝试进行递推放缩： 即。于是由此递推放缩式逐步放缩得 探索2 从求证式特征尝试分析：结论式可作如下变形： 逆向思考，猜想应有：（用数学归纳法证明，略）。 探索3 探索过渡“桥”，寻求证明加强不等式：由（2）知xn1，由此得。有 尝试证明 证法1（数学归纳法，略）； 法2 （用二项展开式部分项）：当n2时2n=(1+1)n 此题还可发现一些放缩方法，如：。（每一项都小于1）而再证即，则需要归纳出条件n4.(前4项验证即可)已知an=n ，求证：3证明：=1 =1 () =1123本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；例4、已知数列满足求证：证明 本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.【评注】从上述探索放缩证明技巧过程易于看到：探索的方法与手段多种多样，关键是把握条件与结论的结构特征之间的密切联系！从此可看到抽象化具体的