毕业论文-二元函数的积分中值定理性质及其应用.doc

目 录一、基础知识31、预备定理32、中值定理3二、重积分的中值定理4二元函数的积分中值定理4三、 积分中值点的渐进性61、相关引理62、推导过程7四、应用111、曲面积分中二元函数积分中值定理的应用112、 计算中二元函数积分中值定理的应用123、 估值运用中二元函数积分中值定理的应用14参考文献1617二元函数的积分中值定理性质及其应用摘 要：本文主要讨论二元函数的积分中值定理及其性质在曲线、曲面和重积分等情形下的应用.通过研究分析，总结出二元函数的积分中值定理的一些常见性质及相关应用.关键词：积分中值定理;积分中值点的渐进性 Integral mean value theorem of binary function properties and its applicationAbstract:this article focuses on the integral mean value theorem of binary function and its properties in the situation of curve and curved surface and repeated integral application. Through research and analysis, summed up the dual function of the integral mean value theorem of some common properties and relevant applications. Key words:dual function of the integral mean value theorem;integration of integral mean value point.前言积分中值定理体系是微积分中的一个重要部分，主要包含一元函数及多元函数的积分中值定理，它在分析学中占有很重要的地位.许多文献，对于曲线积分、曲面积分、重积分的中值定理的都做了探究.本文将借鉴一元函数的积分中值定理的性质及其应用，在相关参考文献的基础上，主要讨论二元函数的积分中值定理的性质以及在曲线、曲面和重积分等情形上应用.通过研究分析，总结出二元函数的积分中值定理的一些常见性质及相关应用.一、基础知识1、预备定理引理1.1 1 假设函数定义在区间上,，且在区间上可积，则有 成立.引理1.2 1 设函数在闭区间上连续.并且函数值与不相等.如果是介于和之间的任一实数或，则至少存在一点，使得，成立，其中.2、中值定理引理1.3 1 如果函数在闭区间上连续，则在区间上至少存在一个点，使下式 成立.引理1.4 2（推广的第一积分中值定理） 如果函数在闭区间上连续，在上不变号，并且在上是可积的，则在上至少存在一点，使得 成立.引理1.5 1（积分第二中值定理） 如果函数在闭区间上可积，而在区间上单调，则在上至少存在一点，使下式成立.二、重积分的中值定理首先是以下引理与相关定理:引理2.11 (二元函数的介值性定理) 设函数在区域上连续，若为中任意两点，且，则对任何满足不等式 ，的实数，必存在点，使得.于是，就得到定理2.25 （二元函数的积分中值定理）假设函数在闭区域上连续，在上可积且不变号，其中是的面积，则在上至少存在一点使得成立. 证明 不妨设由于函数在闭区域上连续，在闭区域上的最大值和最小值分别为，即,从而若 则 成立.即对任意,等式成立；若由定理2.1，存在.使得即从而命题得证.推论2.2.1 假设函数在有界闭区域上连续，则在上至少存在一点使得成立. 证明 由于函数在闭区域上连续，假设在闭区域上的最大值和最小值分别为，即.对不等式在区域上进行二重积分可得, 即其中为闭区域的面积，我们不妨记.有 由于，将不等式除以可得由于函数在闭区域上连续，由二元函数的介值性定理知，则在上至少存在一点使得 成立.将上式两边同乘以即可得到从而命题得证. 一般推证积分中值定理是利用连续函数的性质.这样，对于积分中值点的位置就出现了两种结果，一种是把的位置放宽为整个有界闭域；另一种虽然定理中给出了的位置是除去边界的部分.但其论证不完全，具体地说，一般是由公式出发，即指出介于在上的最大值与最小值之间，然后再根据连续函数的介值定理，得出内必存在一点，使得的结论成立. 下面给出二元函数积分中值定理的另外一种形式定理2.35（二元函数积分中值定理的另一种形式） 假设函数在有界闭区域上连续，在上可积且不变号，其中是的面积，存在两个区域满足,，记，,其中.则有成立.3、 积分中值点的渐进性1、相关引理引理3.14（二元函数微分中值定理） 设二元函数在凸开域内可微，则对任意，有 （1）其中.引理3.23（一元函数积分中值点的渐进性）若函数在上可积且不变号,对充分小的，函数在上连续，且，函数在区间上阶可导，且在处连续,则积分中值定理的中值点，满足.引理3.34（二元函数微分中值点的渐进性）二元函数微分中值定理中的函数满足：（1） 在凸开域内具有直到阶连续偏导数，其中；（2） 则二元函数微分中值定理中的满足：定义3.1 设函数在区域上连续，函数在连续且不变号，若存在一点，使得则称为正则中值点.2、推导过程下面将由二元函数微分中值定理推出二元函数积分中值点的渐进性： 设是定义在凸开域上且具有直到阶连续偏导数的二元函数，然后对微分中值定理的（1）式在上进行积分： 先对上式进行改写： 再将上式对t进行积分： 然后对s进行积分：令同时令 则相应的雅可比矩阵为： （2）式左边取极限：（利用二重积分中值定理）现在考虑（2）式右边取极限： （3） （4）因为是定义在凸区域上的二重积分，所以 首先，对于确定的点，有 分子分母同时趋近于0，即为型，且具有一致收敛性.由洛必达法则可知： （5）又因为函数在凸区域上都连续，所以（5）式中积分和极限可以交换次序，即：令可导，则：由上可得 .其中 .其次，对于任一确定点时，同理可得：令，则 则有 其中 .下面用定理的形式表述：引理3 3.4（二重积分的积分中值点的渐进性定理）设在上连续在上连续且不变号，点为的边界点的极限点，且，其中，则中值点有性质，.意义：许多文献中都有对于一元函数、二元函数的中值点的渐进性的讨论，且介绍的也十分详细，而本文首先立足于参考文献4的结论，对它其表达式进行微分转化成积分的形式，再依据一元函数积分中值点的渐进性以及二元函数积分中值点渐进性证明过程，从而推出了参考文献3中二元函数的中值点渐进性定理.通过这一点不难发现二元函数的微分中值定理与积分中值定理存在共通之处，这对于研究积分中值定理给出了一个较好的思路和方法.四、应用1、曲面积分中二元函数积分中值定理的应用下面分别给出第一型曲面积分与第二型曲面积分中值定理的几种形式.引理4.16（第一型曲面积分中值定理）设为平面上的有界闭区域，其中为光滑曲面，并且函数在上连续，在上不变号，则在曲面上至少存在一点，使成立，其中是曲面的面积. 证明 因为 因为在曲面上连续,可得在上也连续，由于在上不变号，所以在上不变号.由二重积分的中值定理(定理2.2)，可知存在,使得，且 从而命题得证. 推论4.1.1 设为平面上的有界闭区域，其中为光滑曲面，并且函数,在上连续，在上不变号，则在曲面上至少存在一点，使成立，其中是曲面的面积.引理4.26（第一型曲面积分中值定理的另一种形式） 设为平面上的有界闭区域，其中为光滑曲面，并且函数在上连续，在上不变号，存在两个光滑曲面满足,在上都可积，记，.其中则有成立.一般形式下，第二型曲面积分中值定理不成立，下面叙述并证明特殊形式的第二型曲面积分中值定理.引理4.37（第二型曲面积分中值定理）设，在定侧光滑曲面：，上连续，在上不变号，则在上至少存在一点，使得 证明 不妨设曲面：，取上侧，曲面上点处外法向量的方向角为，则.由于，在定侧光滑曲面上连续，在上不变号，曲面光滑，从而在曲面上连续不变号，由定理4.1知，在曲面上至少存在一点，使得 又由于即 从而命题得证.2、 计算中二元函数积分中值定理的应用例2.1 求，其中为连续函数.解：由积分中值定理推理：，使 则当时，例2.2 求其中解：由二重积分中值定理，在内存在一点，使：原二重积分当趋近于0时，点趋近于，即原极限例2.3 设连续，且，利用二重积分中值定理求：解：由题意知，存在，使得：原二重积分，当时，则例2.4 求极限解法一：记则令，可以得到.解法二：将二次积分化成二重积分，利用二重积分中值定理，可知存在，使，其中为区域的面积，是的函数.而当时，所以，于是，从而有.3、 估值运用中二元函数积分中值定理的应用例3.1 应用中值定理估计积分的值.解：因在有界闭域上连续，且 .则由中值定理知，且.同时，推得.例3.2 估计积分值，其中是由圆周围成.解：根据二重积分中值定理，其中和分别是在上的最小值和最大值.以下求出被积函数的最大、最小值，再由二重积分性质估计积分值。在内部，因此在区域内没有驻点，故最直一定在边界达到，作函数：分别令，等于，得到驻点，比较得，积分区域面积，于是例3.3 估值，其中.解：根据二重积分中值定理，其中和分别是在上的最小值和最大值.而，故易知.积分区域是宽为，高为的矩形区域，所以，由得.参考文献：1 华东师范大学数学系.数学分析下册M.高等教育出版社，2001:197-288.2 冯美强.关于积分中值定理的改进J.北京机械工业学院学报，2007,22（4）:1-4.3 郑权.积分第一、二中值定理的中间点的渐近性质的一般性定理J. 数学实践与认识， 2005，35(5)：113-115.4 网申秋，凡震彬.微分中值定理中值点的渐进分析J.常熟理工学院学报，2012，2：3-55 蔡文康.二重积分中值定理中值点的渐近性J. 上海电力学院学报，2005(1),240-243.6 杜红霞.曲线积分与曲面积分中值定理J.赣南师范学院报，2006，6:1-2.7 唐国吉.第二型曲线积分中值定理J.广西民族大学，2008,23:1-6.致 谢历时三个多月，从最初的选题到期间的一次又一次修改再到最终的定稿，终于完成此论文的写作。在此首先要感谢何宗祥老师对我论文