工程力学9.扭转

1,第三章扭转,材料力学,2,31概述32传动轴的外力偶矩扭矩及扭矩图33圆杆在扭转时的应力强度34圆杆在扭转时的变形刚度,第三章扭转,3,扭转,31概述,轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。,扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。,4,扭转,扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（）：直角的改变量。,工程实例,5,扭转,剪应力互等定理：,上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,6,扭转,剪切虎克定律：,当剪应力不超过材料的剪切比例极限时(p)，剪应力与剪应变成正比关系。,式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。,7,扭转,32传动轴的外力偶矩扭矩及扭矩图,一、传动轴的外力偶矩传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：,P功率，千瓦（kW）n转速，转/分（rpm）,P功率，马力（PS）n转速，转/分（rpm）,P功率，马力（HP）n转速，转/分（rpm）,1PS=735.5Nm/s,1HP=745.7Nm/s,1kW=1.36PS,8,3扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。,扭转,二、扭矩及扭矩图1扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。2截面法求扭矩,9,扭转,4扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。,10,扭转,例1已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。,解：计算外力偶矩,11,扭转,求扭矩（扭矩按正方向设）,12,扭转,绘制扭矩图,BC段为危险截面。,13,扭转,33圆杆在扭转时的应力强度,1.横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。,一、等直圆杆扭转实验观察：,14,扭转,二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：,1.变形几何关系：,15,扭转,16,扭转,T,2.物理关系：,胡克定律：代入上式得：,17,扭转,3.静力学关系：,代入物理关系式得：,极惯性矩,18,扭转,横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。,4.公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。,式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,19,扭转,单位：mm4，m4,尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。,D,d,O,20,扭转,O,d,21,扭转,应力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,工程上多采用空心截面轴：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。,22,扭转,确定最大剪应力：,由,知：当,Wp抗扭截面系数(抗扭截面模量)几何量，单位：mm3或m3。,实心圆截面：,空心圆截面：,23,扭转,四、圆轴扭转时的强度计算,强度条件：,等截面圆轴：,(为许用剪应力),强度计算三方面：,校核强度：,设计截面尺寸：,计算许可载荷：,24,扭转,34圆杆在扭转时的变形刚度,一、扭转时的变形,由公式,知：长为l一段杆两截面间相对扭转角为,25,扭转,二、单位扭转角：,或：,三、刚度条件,或,GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。,为许用单位扭转角,26,扭转,刚度计算的三方面：,校核刚度：,设计截面尺寸：,计算许可载荷：,有时，还可依据此条件进行选材。,27,例4某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率N1=500马力，输出功率分别N2=200马力及N3=300马力，已知：G=80GPa，=70MPa，=1/m，试确定：AB段直径d1和BC段直径d2？若全轴选同一直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？,扭转,28,扭转,解：图示状态下,扭矩如图，由强度条件得：,n=500r/minN1=500马力N2=200马力N3=300马力,29,扭转,由刚度条件得：,30,扭