一次函数图象的应用

1 / 13 一次函数图象的应用 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第六章一次函数 一次函数图象的应用（一） 一、学生起点分析 学生已学习了一次函数及其图象，认识了一次函数的性质在现实生活中也见识过大量的函数图象，所以具备了从函数图象中获取信息，并借助这些信息分析问题、解决问题的基础但由于初中学生的年龄特点，他们认识事物还不够全面、系统，所以还需通过具体实例来培养他们这方面的能力 二、教学任务分析 一次函数图象的应用是义务教育课程标准北师大版实验教科书数学八年 级（上）第六章一次函数的第五节本节内容安排了 2 个课时完成，本节为第一课时主要是利用一次函数图象解决有关现实问题，与原传统教材相比，新教材更注重借助材料让学生在具体操作中获取一次函数图象的有关信息，从而回答和解决现实生活中的具体问题，也就是说，新教材注重在图象信息的识别与分析中，提高学生的识图能力，进一步培养学生的数形结合能力和数学应用能力，发展形象思维 三、教学目标分析 2 / 13 知识与技能目标： 1能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； 2在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关 系，建立各种知识的联系。 过程与方法目标： 1通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识，发展形象思维； 2通过具体问题的解决，培养学生的数学应用能力； 3引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式 情感与态度目标： 1在具体的案例中，培养学生良好的环保意识和对生活的热爱等 教学重点 一次函数图象的应用 教学难点 正确地根据图象获取信息，并解决现实生活中的有关问题 四、课前准备 有条件的学校可以准备多媒体课件，没有条 件的可以准备投影片或者小黑板 五、教学过程 3 / 13 本节课分为八个教学环节 第一环节复习引入 内容：在前几节课里，我们通过从生活中的实际问题情景出发，分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的性质，从中对一次函数在现实生活中的广泛应用有了一定的了解怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问题，是我们这节课的主要内容首先，想一想一次函数具有什么性质？ 在一次函数中 当时，随的增大而增大， 当时，直线交轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当时，直线交轴于负半轴， 必过一、三、四象限 当时，随的增大而减小， 当时，直线交轴于正半轴，必过一、二、四象限； 当时，直线交轴于负半轴，必过二、三、四象限 . 意图：在前面的学习中我们已得到一次函数的图象是一条直线，并且讨论了、的正负对图象的影响通过对上节课学习内容的回顾，为进一步研究一次函数图象和性质的应用做好铺垫 . 效果：学生通过知识回顾，再次明确一次函数图象和性质，为学习本节课在知识上作好准备 . 说明：如果学生一次函数的图象和性质掌握较好，也可以直4 / 13 接从下一环节（第二环节）开始，进入本课题的学习 . 第 二环节初步探究 内容：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少干旱持续时间 (天 )与蓄水量 (万米 3)的关系如下图所示，回答下列问题： (1)干旱持续 10天后，蓄水量为多少？连续干旱 23天后呢？ (2)蓄水量小于 400 万米 3 时，将发生严重干旱警报干旱多少天后将发出严重干旱警报？ (3)按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？ （根据图象回答问题，有困难的可以互相交流） 答案： (1)求干旱持续 10 天时的蓄水量，也就是求等于 10时所对应的的值当时，约为 1000 万米 3同理可 知当为23天时，约为 750万米 3 (2)当蓄水量小于 400 万米 3 时，将发出严重干旱警报，也就是当等于 400万米 3 时，求所对应的的值当等于 400万米 3 时，所对应的的值约为 40天 （ 3）水库干涸也就是为 0，所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求当为 0 时，所对应的的值约为 60 天 意图：通过生动的现实情景引入一次函数图象的应用，目的是培养学生的识图能力 效果：本题插图中干涸的河床势必给学生一个很强的视觉刺激，从而渗透环保教育 5 / 13 说明：在具体的教学活动中，教师应注意学生对以上问题的掌握情况：如 果学生掌握得好，进入下面的练习；如果学生掌握得不好，则可以再引导学生多练习一道类似的习题（见分层教学第 1 题） 第三环节反馈练习： 内容：当得知周边地区的干旱情况后，育才学校的小明意识到节约用水的重要性当天在班上倡议节约用水，得到全班同学乃至全校师生的积极响应从宣传活动开始，假设每天参加该活动的家庭数增加数量相同，最后全校师生都参加了活动，并且参加该活动的家庭数（户）与宣传时间（天）的函数关系如图所示 根据图象回答下列问题： （ 1）活动开始当天，全校有多少户家庭参加了该活动？ （ 2） 全校师生共有多少户？该活动持续了几天？ （ 3）你知道平均每天增加了多少户？ （ 4）活动第几天时，参加该活动的家庭数达到 800 户？ （ 5）写出参加活动的家庭数与活动时间之间的函数关系式 答案：（ 1） 200户； （ 2）全校师生共有 1000户，该活动持续了 20天； （ 3）平均每天增加了 40户； （ 4）第 15天时，参加该活动的家庭数达到 800户； （ 5） 6 / 13 意图：通过创设情境，让学生进一步认识到一次函数图象的应用，倡导节约用水同时，通过练习以检验学生对已学内容是否掌握 效果：通过练习，学生会 运用一次函数的图象去分析现实生活中的问题，同时渗透环保意识，珍惜水资源 说明：在具体的教学活动中，教师应观察学生的表现，对知识是否掌握，如果学生掌握得好，进入下一个环节；如果学生掌握得不好，则可以再引导，以达到 “ 过手 ” 的目的（视其情况，可以选用分层教学第 2 题） 第四环节深入探究 内容： 1看图填空 (1)当时， ; (2)直线对应的函数表达式是 _ 答案： (1)观察图象可知当时，； (2)直线过 ( 2， 0)和 (0， 1) 设表达式为，得 把 代入 得 直线对应的函数表达式是 2议一议 一元一次方程与一次函数有什么联系？（请大家根据刚做的7 / 13 练习来进行解答） 答案：一元一次方程的解为，一次函数包括许多点因此是的特殊情况 当一次函数的函数值为 0 时，相应的自变量的值即为方程的解 函数与轴交点的横坐标即为方程的解 意图：通过本题让学生认识到一次函数与一元一次方程的联系，从 “ 数 ” 的角度看，当一次函数的函数值为 0 时，相应的自变量的值即为方程的解；从 “ 形 ” 的角度看，函数与 x轴交点的横坐标即为方程的解 效果：通过练习，学生明晰了函数与方程的关系，能用函数关系解决方程问题，同时也能用方程的观点来看待函数 第五环节反馈练习 内容：全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务，某地区现有土地面积 100 万千米 2，沙漠面积 200 万千米 2，土地沙漠化的变化情况如下图所示 (1)如果不采取任何措施，那么到第 5 年底，该地区沙漠面积将增加多少万千米 2？ (2)如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从现在开始，第几年底后，该地区将丧失土地资源？ (3)如果从现在开 始采取植树造林措施，每年改造 4 万千米8 / 13 2 沙漠，那么到第几年底，该地区的沙漠面积能减少到 176万千米 2 解： (1)如果不采取任何措施，那么到第 5 年底，该地区沙漠面积将新增加 10万千米 2 (2)从图象可知，每年的土地面积减少 2 万千米 2，现有土地面积 100 万千米 2， 1002=50 ，故从现在开始，第 50 年底后，该地区将丧失土地资源 (3)如果从现在开始采取植树造林等措施，每年改造 4 万千米 2 沙漠，每年沙化 2 万千米 2，实际每年改造面积 2 万千米 2，由于，故到第 12 年底，该地区的沙漠面积能减少到176万千米 2 意图：通过土地沙漠化的问题进一步培养学生的识图能力，让学生能从图象中获取信息，建立相关的代数式，从而求解较复杂的问题；同时，通过土地沙漠化的问题情景引导学生关注自己身边的生存环境 效果：通过对较复杂的问题的探究，培养了学生分析问题和解决问题的能力，并渗透德育教育 第六环节探究升级 内容： (续前一问题 )当得知周边地区的干旱情况后，育才学校的小明意识到节约用水的重要性，当天在班上倡议节约用水，得到全班同学乃至全校师生的积极响应从宣传活动开始，假设每天参加该活动的家庭数增加数量相同，最后都 参9 / 13 加了活动，并且参加该活动的家庭数（户）与宣传时间（天）的函数关系如图所示 根据图象回答下列问题： （ 6）若每户每天节约用水吨，那么活动第 20天可节约多少吨水？ （ 7）写出活动开展的第天节约的水量与天数的函数关系 答案：（ 6）第 20天可节约 100吨水； （ 7） 意图：通过问题的层层深入，引导学生的思维向纵深发展，进一步巩固用函数的思想解决生活中的问题 效果：学生通过合作交流，解决问题，在教师的引导下，逐步加深了对一次函数图象和性质的运用 . 说明：视学生的掌握情况，对学有余力的同学可以 给出这个问题的第（ 8）问（见分层教学第 3 题） 第七环节课堂小结 内容：本节课主要应掌握以下内容： 1能通过函数图象获取信息 2能利用函数图象解决简单的实际问题 3初步体会方程与函数的关系 意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使这节课知识系统化，感性认识上升为理性认识 . 效果：学生畅所欲言，相互进行补充 ,从小结中感知了一次10 / 13 函数的图象在生活中的应用 说明：教师视其情况，可以选择展示一些前面小节中用过的实际问题与一次函数图象的实例的图片，让学生体会到数学与生活 的联系，激发学生的学习热情 第八环节布置作业 内容： 1课外探究 在生活中，你还遇到过哪些可以用一次函数关系来表示的实际问题？选择你感兴趣的问题，编制一道数学题与同学交流 2课外作业习题 六、教学设计反思 （ 1）设计理念 一次函数是刻画现实世界变量间关系的最为简单的模型，其应用比比皆是在教学设计中，争取选用最具有现实生活背景，与学生生活密切相关的问题，一方面力求让学生体会数学的广泛运用，另一方面，在学科教育中渗透德育教育 （ 2）评价方式 在教学活动中教师应尊重 学生的个体差异，满足多样化的学习需要，关注学生对图象的识图能力和解决问题的过程，应关注学生对基本知识技能的掌握情况和对一次函数与方程之间的关系的理解教学过程中可通过学生对 “ 议一议 ” 、11 / 13 “ 想一想 ” 的探究情况和学生对反馈练习的完成情况分析学生的认识状况，对于学生的回答，只要学生的方法有道理，教师应给予鼓励和恰当的评价，帮助学生认识自我，建立自信，真正在教学的过程中发挥评价的教育功能 . （ 3）分层教学 1某种摩托车的油箱最多可储油 10升，加满油后，油箱中的剩余油量 (升 )与摩托车行驶路程 (千米 )之间的关系如图所示 根据图象回答下列问题： （ 1）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？ （ 2）摩托车每行驶 100千米消耗多少升汽油？ （ 3）油箱中的剩余油量小于 1 升时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警？ 分析： (1)函数图象与轴交点的横坐标即为摩托车行驶的最长路程 (2)x从 0 增加到 100时，从 10开始减少，减少的数量即为消耗的数量 (3)当小于 1 时，摩托车将自动报警 答案： (1)观察图象，得 当时， 因此一箱汽油可供摩托车行驶 500 千米 (2)从 0 增加到 100 时，从 10 减少 到 8，减少了 2，因此摩12 / 13 托车每行驶 100千米消耗 2 升汽油 (3)当时， 因此行驶了 450千米后，摩托车将自动报警 2某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程 盒内钱数 (元 )与存钱月数之间的函数关系如图所示观察图象回答下列问题： （ 1）盒内原来有多少元？ 2 个月后盒内有多少元？ （ 2）该同学经过几个月能存够 200元？ （ 3）该同学至少存几个月存款才能超过 140元？ 解：（ 1） 40， 80. （ 2）当时， ,所以该同学经过 8 个月能存够 200元 (3)观察图象 可知，该同学经过 5 个月能超过 140元 3 (续前一问题 )当得知周边地区的干旱情况后，育才学校的小明意识到节约用水的重要性，当天在班上倡议节约用水，得到全班同学乃至全校师生的积极响应从宣传活动开始，假设每天参加该活动的家庭数增加数量相同，最后都参加了活动，并且参加该