2019年中考数学复习第八章专题拓展8.7尺规作图（讲解部分）素材.pdf

年中考 年模拟 尺规作图 尺规作图的主要工具是没有刻度的直尺和圆规，没有刻度 的直尺的作用是画线，圆规的作用是画弧、截取相等线段，常见 的尺规作图题型主要有五种 中考关于尺规作图以解答题为主，而单一考查尺规作图的 情况较少，往往跟简单几何题相结合，以小问的形式呈现，知识 综合性较强，但难度不大尺规作图考查最多的主要有作一个角 的平分线和作一条线段的垂直平分线，复习过程要特别留意 题型一 作一条线段等于已知线段 如图所示，已知线段 ，作线段 基本操作： （）画射线 ； （）以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ， 即为所 求作的线段 例 （ 贵港，（）尺规作图（不写作法，保留作图痕 迹） 已知线段 和，点 在 上（如图所示）在 边 上作点 ，使 解析 如图， 即为所求作的线段 作法提示 以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ；以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ； 即为所求 作的线段 题型二 作一个角等于已知角 如图所示，已知，作一个角等于 基本操作： （）在 上以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 的两边于点 、； （）画一条射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ； （）以点 为圆心， 长为半径画弧，与（）中所画弧相交 于点 ； （）过点 画射线 ， 即为所求作的角 例 （ 湖北随州， 分）如图，用尺规作图作 的第一步是以点 为圆心，以任意长为半径画弧，分 别交 、 于点 、，那么第二步的作图痕迹的作法是 （ ） 以点 为圆心， 长为半径画弧 以点 为圆心， 长为半径画弧 以点 为圆心， 长为半径画弧 以点 为圆心， 长为半径画弧 解析 设弧与弧的交点为点 ，连接 ，由图知 当 时， ，要使，则 ， 以点 为圆心， 长为半径画弧可使得 ， 第二步的作图痕迹的作法是以点 为圆心， 长为半径 画弧 答案 例 （ 广东广州， 分） 如图，利用尺规，在 的边 上方作 ，在射线 上截取 ，连接 ，并证明：（尺规作图要求保留作图痕迹，不 写作法） 解析 如图为所求作的图形 第八章 专题拓展 证法一： ， ， 又 ， 四边形 是平行四边形， 证法二： ， ， ， 评析 本题主要考查尺规作图中作一个角等于已知角、 作一条线段等于已知线段，平行线的判定与性质，平行四边形的 判定与性质，全等三角形的判定与性质等基础知识，考查学生的 动手能力和推理能力 好题精练 （ 贵港港南一模）如图，在 中，点 在边 上 （）作，使， 交 于点 ； （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （）若 ，点 是 的中点，求 的长 解析 （）如图， 即为所求 （） ， ， 点 是 的中点， 为 的中位线， 题型三 作一个角的平分线 如图所示，已知，作 的平分线 基本操作： （）以 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 、 于点 、； （）分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两 弧相交于点 ； （）画射线 ， 即为所求作的角平分线 例 （ 贵港，（）尺规作图（不写作法，保留作图 痕迹）已知，作 的平分线 解析 如图， 即为所求作的 的平分线 作法提示 以点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点 ，；分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径 画弧，两弧相交于点 ；过点 作射线 ， 即为所求作的 的平分线 例 （ 北海， 分）如图，已知 平分，且 交 于点 （）求作： 的平分线 （要求：尺规作图，保留作图痕 迹，不写作法）； （）设 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，当 时，求证：四边形 是菱形 解析 （）如图所示 （）证明：如图 在 和 中， ， ， （）， ， 在 和 中， ， ， （）， ， 四边形 是平行四边形， ， 平行四边形 是菱形 例 （ 南宁模拟）如图，在 中， 为 边的中点， （）作 的平分线 ，与 交于点 （用尺规作图，保 留作图痕迹，不写作法）； （）在（）的条件下，若 ，求 的长 解析 （）如图所示 年中考 年模拟 （） ， 为 边的中点， 即， 又 平分， ， 又 ， ， 为等腰直角三角形， 又 ， 好题精练 （ 西乡塘校级二模）如图，在 中， ， 是 延长线上的一点，点 是 的中点 （）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留 作图痕迹，不写作法） 作 的平分线 ； 连接 并延长交 于点 ； （）证明： 解析 （）如图所示 （）证明： ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 评析 本题考查尺规作图、全等三角形的判定、等腰三角形 的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属 于中考常考题型 （ 钦州一模）如图，已知 ， （）请用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） 作 的平分线，与 相交于点 ； 以点 为圆心、 为半径画弧交 于点 ，连接 ； （）根据（）所作的图形，写出一对全等三角形 解析 （） 的平分线 ，如图所示 所作 如图所示 （），证明如下： 是 的平分线， ， 在 与 中， ， ， ， 评析 此题主要考查了尺规作图及全等三角形的判定，解题 的关键是熟悉基本的作图方法，逐步操作 （ 福建福州期末）如图，已知，点 在射线 上 （）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： 在 上取一点 ，使 ； 作 的平分线 ； （）在（）的条件下，求证： 解析 （）如图 （）证明： ， ， 平分， ， ， 即， ， 题型四 作一条线段的垂直平分线 已知线段 ，求作线段 的垂直平分线 第八章 专题拓展 基本操作： （）分别以点 、 为圆心，大于 长为半径，在 两侧 画弧，两弧分别交于点 、； （）过点 、 作直线，直线 即为所求作的垂直平分线 例 （ 湖北宜昌）如图，在 中，尺规作图如下： 分别以点 ，点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交 于 ， 两点，作直线 ，交 于点 ，连接 ，则下列结论正 确的是（ ） 平分 垂直平分 垂直平分 平分 解析 本题中的作法为作线段 的垂直平分线，所以 垂直平分 ， 为 的中线 答案 例 （ 玉林一模）如图，已知 中， ， ， （）作 边上的垂直平分线 ，交 于点 ，交 于点 （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； （）连接 ，求 的周长 解析 （）如图 （） ， ， 垂直平分 ， ， 的周长 好题精练 （ 贵港一模）请按下列要求用尺规作图（保留痕迹，不写 作法及证明）： （）作 边的垂直平分线 ，垂足为点 ； （）在（）中所得直线 上，求作一点 ，使点 到 边所在 直线的距离等于 解析 （）如图，直线 即为所求直线 （）如图，点 与 即为所求点 （ 北海， 分）在 中， ， 为 的角平分线 （）求作：线段 的垂直平分线 ，分别交 、 于点 、 ，垂足为 （要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （）求证：； （）连接 、，判断四边形 是什么特殊四边形，并说 明理由 解析 （）线段 的垂直平分线 ，如图 （）证明： 垂直平分 ， ， 平分， ，（ 分） 在 和 中， ， ， ， （）（ 分） 年中考 年模拟 （）四边形 是正方形（ 分） 理由如下： 由（）得 ， 由（）得 ， ， 四边形 是菱形， 又 ， 四边形 是正方形（ 分） 作法提示 分别以点 、 为圆心，大于 长为半径在 两侧作弧，分别交于点 、；过点 ， 作直线 ，分别交 直线 、 于点 、，直线 即为所求作的垂直平分线 （ 湖北孝感孝南一模）如图，已知四边形 是平行四 边形 （）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标注字 母） 连接 ； 作 的垂直平分线分别交 、 于 、； 连接 、 （）判断四边形 的形状，并说明理由 分析 （）作 的垂直平分线即可； （） 交 于点 ，利用 得到 ， ，加上 ，则可证明 ，所以 ，然后根据菱形的判定方法可判定四边形 为菱形 解析 （）如图 （）四边形 为菱形 理由：设 交 于点 ， 垂直平分 ， ， 四边形 为平行四边形， ， ， ， ， 与 互相垂直平分， 四边形 为平行四边形， 又 ， 四边形 为菱形 题型五 过一点作已知直线的垂线 因为该点的位置不确定，所以该题型需分两种情况进行讨 论，但两种情况的作图类型均属于作线段的垂直平分线 （）点 在直线 上，过点 作直线 的垂线 基本操作如下： 以点 为圆心，任意长为半径画弧，交直线 于 、 两点； 分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径，在 两侧 作弧，两弧分别交于点 、； 过点 、 作直线，直线 即为所求作的垂线 （）点 在直线 外，过点 作直线 的垂线 基本操作如下： 在直线 另一侧取点 ； 以点 为圆心， 长为半径画弧，交直线 于 、 两点； 分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，交于 点 ； 过点 、 作直线，直线 即为所求作的垂线 例 （ 贵港，（）尺规作图（不写作法，保留作图 痕迹）已知，点 在 上（如图所示）过点 作 的 垂线 解析 如图， 即为所求作的垂线 作法提示 以点 为圆心，任意长为半径作弧，交射线 于 ， 两点；分别以 ， 为圆心，大于 长为半径画 弧，两弧交于点 ；作直线 ， 即为所求作的垂线 例 （ 河池） 如图， 平分，交 于 （）尺规作图：过点 作 的垂线，交 于 ，交 于 ， （保留作图痕迹，不写作法）； （）在（）的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明 解析 （）如图， 即为所求 （）证明如下： 第八章 专题拓展 ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， 好题精练 （ 河池）如图，在 中， （）作 的平分线交 于 ； （）过 作 的垂线，垂足为 ； （）请写出图中两对全等三角形（不添加任何字母），并选择 其中一对加以证明 解析 （）如图所示， 即为所求 （）如图所示， 即为所求 （）， ， 证明： ， 平分， ， 在 和 中， ， ， ， （） ， 证明： ， 平分， ， 又 ， ， ， ， 又 ， （） 题型六 五种基本尺规作图的综合应用 已知一直角边 和斜边 ，求作一直角三角形 作法一： （）画射线 ，过点 作 的垂线 ，截取 ； （）以点 为圆心， 为半径画弧交 于点 ； （）连接 ，即为所求作的直角三角形 作法二： （）记斜边 为 ，作 的垂直平分线交 于点 ； （）以点 为圆心， 长为半径作圆； （）以点 （或点 ）为圆心， 为半径画弧，交 于点 ； （）连接 、，则 即为所求作的直角三角形 已知三角形 ，求作三角形的外接圆 作法：