中考数学专题：几何图形的归纳,猜想,证明问题

1 / 7 中考数学专题：几何图形的归纳 ,猜想 ,证明问题 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 中考数学专题 10 几何图形的归纳 ,猜想 ,证明问题 【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择 +填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。 第一部分真题精讲 【例 1】 如图， +1个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上，设的面积为，的面积为， ，的面积为，则 =； =_（用含的式子表示） 【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。2 / 7 但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是 ,这种的 ,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系 .首先所代表的三角形的底边是三角形的底边 ,而这个三角形和 是相似的 .所以边长的比例就是与的比值 .于是 .接下来通过总结 ,我们发现所求的三 角形有一个最大的共性就是高相等 ,为（连接上面所有的 B 点，将阴影部分放在反过来的等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发现所有的 B,c点连线的边都是平行的，于是自然可以得出自然是所在边上的 n+1 等分点 .例如就是的一个三等分点 .于是 (n+1-1 是什么意思 ?为什么要减 1?) 【例 2】 在平面直角坐标系中，我们称边长为 1 且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形，如图，菱形的四个顶点坐标分别是，则菱形能覆盖的单位格点正方形的个数是_个；若菱形 的四个顶点坐标分别为，（为正整数），则菱形能覆盖的单位格点正方形的个数为 _（用含有的式子表示） 【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是 48（笑）。这里笔者提供一种方法，其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数，所以只需求出被 X,y 轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以3 / 7 4 即可。比如我们来看第二象限那个三角形。第二象限菱形那条边过（ -2n,0） (0,n),自然可以写出直线解析式为 ,斜率意味着什么 ?看上图 ,注意箭头标注的那些空白三角形 ,这些RT三 角形一共有 2n/2=n个 ,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是 ?而且这些直角三角形都是全等的 ,面积均为两个单位格点正方形的一半 .那么整个的 AoB 的面积自然就是 ,所有 n个空白小三角形的面积之和为 ,相减之后自然就是所有格点正方形的面积 ,也就是数量了 .所以整个菱形的正方形格点就是 . 【例 3】 如图，过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为则第一个黑色梯形的面积；观察图中的规律，第 (为正整数 )个黑色梯形的面积 【思路分析】本题方法也比较多样。所有阴 影部分都是一个直角梯形，而因为，所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到 0 点的距离 ,而高则是固定的 2。第一个梯形上底是 1，下底是 3，所以 .第二个梯形面积 ,第三个是 ,至此 ,我们发现本题中梯形面积数值上其实就是上下底的和 .而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上 4。于是第 n 个梯形的上底就是 1+4(n-1)=4n-3,(第一个梯形的上底 1加上 (n-1)个 4.)4 / 7 下底自然就是 4n-1,于是就是 8n-4. 【例 4】 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点请你观察图中正方形 A1B1c1D1， A2B2c2D2， A3B3c3D3每个正方形四条边上的整点的个数按此规律推算出正方形A10B10c10D10 四条边上的整点共有 个 【思路分析】此题看似麻烦，但是只要把握住 “ 正方形 ” 这个关键就可以了。对于来说 ,每条边的长度是 2n,那么自然整点个数就是 2n+1 ， 所 以 四 条 边 上 整 点 一 共 有(2n+1)x4-4=8n(个 )(要减去四个被重复算的顶点 ),于是就是 80个 . 【例 5】 如图， ABc 中， AcB=90 ， Ac=Bc=1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与 ABc 的 Bc边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为 _ 【思路分析】本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。关键词 “ 中点 ”“ 垂线 ”“ 等腰直角 ” 。这就意味着每个三角形的锐角都是 45 度，并且直角边都是上一个三角形直角边的一半。绕一圈是 360 度，包涵5 / 7 了 8 个 45 。于是绕到第八次就可以和 Bc 重叠了，此时边长为 ABc 的，故而得解。 【例 6】 如图，以等腰三角形的斜边为直角边向 外作第个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的斜边为直角边向外作第个等腰直角三角形， ，如此作下去，若，则第个等腰直角三角形的面积 _（ n 为正整数） . 【思路分析】和上题很类似的几何图形外延拓展问题。还是一样慢慢找小三角形面积的规律。由题可得，分子就是1,2,4,8,16 这样的数列。于是 【总结】几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题，只不过需要考生自己找出图形与图形之间的联系而已。对于这类问题，首先就是要仔细读题，看清楚题目所求的未知量是什么，然后找出各个未知 量之间的联系，这其中就包括了寻找未知量的拓展过程中，哪些变了，哪些没有变。最后根据这些联系列出通项去求解。在遇到具体关系很难找的问题时，不妨先写出第一项，第二项，第三项然后去找数式上的规律，如上面例 6 就是一例，如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方，反而会使问题复杂化，直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了。这类题6 / 7 目计算量往往不大，重在思考和分析的方法，还请考生细心掌握。 第二部分发散思考 【思考 1】 如图，在平面直角坐标系 xoy中， ， ，以为对角线作第一个正方形， 以 为对角线作第二个正方形，以为对角线作第 三个正方形， ，如果所作正方形的对角线都在 y 轴上，且的长度依次增加 1 个单位，顶点都在第一象 限内（ n1 ，且 n 为整数）那么的纵坐标为；用 n 的代数式表示的纵坐标： 【思考 2】 如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点处开始跳动，第一 次跳到点关于 x 轴的对称点处，接着跳到点关于 y 轴 的对称点处，第三次再跳到点关于原点的对称点处， ， 如此循环下去当跳动第 XX次时，棋子落点处的坐标是 【思考 3】 对于大于或等于 2 的自 然数 n 的平方进行如下 “ 分裂 ” ，分裂成 n 个连续奇数的和，则自然数 72 的分裂数中最大的数7 / 7 是，自然数 n 的分裂数中最大的数是 . 【思考 4】 一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动 ,即，且每秒移动一个单位，那么第 35 秒时质点所在位置的坐标是_ 【思考 5】 如图，将边长为的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为 A1,A2,A3,. 若摆放前 6 个正方形纸片，则