九年级数学竞赛由常量数学到变量数学讲座

1 / 10 九年级数学竞赛由常量数学到变量数学讲座 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课 件 k 数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期 函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“ 函数 ” 是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性 函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表 示法、函数图象概念及画法 在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是 “ 数 ” 与“ 形 ” 相互转换的最基本形式点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题 【例题求解】 【例 1】在平面直角坐标系内，已知点 A(2， 2)， B(2， -3)，2 / 10 点 P 在 y 轴上，且 APB 为直角三角形，则点 P 的个数为 (河南省竞赛题 ) 思路点拨先在直角坐标平面内描出 A、 B 两点，连结 AB，因题设中未指明 APB 的哪个角是直角，故应分别就 A 、 B 、c 为直角来讨 论，设点 P(0， x)，运用几何知识建立 x 的方程 注：点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有： (1)利用几何计算求； (2)通过解析式求； (3)解由解析式联立的方程组求 【例 2】如图，向放在水槽底部的烧杯注水 (流量一定 )，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是下列图象中的 () 思路点拨向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高 注：实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电 图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化3 / 10 趋势等有关信息中获得启示 【例 3】南方 A 市欲将一批容易变质的水果运往 B 市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示： 运输工具途中速度 (千米时 )途中费用 (元千米 )装卸费用 (元 )装卸时间 (小时 ) 飞机 2001610002 火车 100420004 汽车 50810002 若这批水果在运输 (包括装卸 )过程中的损耗为 200 元 /小时，记 A、 B 两市间的距离为 x 千 米 (1)如果用 Wl、 W2、 W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用 (包括损耗 )，求出 Wl、 W2、 W3 与小 x 间的函数关系式 (2)应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小 ? (湖北省黄冈市中考题 ) 思路点拨每种运输工具总支出费用途中所需费用 (含装卸费用 )+损耗费用；总支出费用随距离变化而变化，由 Wl W2 0， W2一 W3=0，先确定自变量的特定值，通过讨论选择最佳运输方式 【例 4】已知在菱形 ABcD中， BAD 60 ，把它放在直角坐标系中，使 AD 边在 y 轴上，点 c 的坐标为 (2， 8) 4 / 10 (1)画出符合题目条件的菱形与直角坐标系； (2)写出 A、 B 两点的坐标； (3)设菱形 ABcD的对角线交点为 P问：在 y 轴上是否存在一点 F，使得点 P 与点 F 关于菱形 ABcD的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点 F 的坐标；如果不存在，请说明理由 (江苏省常州市中考题 ) 思路点拨 (1)关键是探求点 A 是在 y 轴正半轴上、负半轴上还是坐标原点，只须判断 coy 与 cAD 的大小； (2)利用解直角三角形求 A， B 两点坐标； (3)设轴上存在点 F(0， y)，则 P 与 F 只可能关于直线 Dc对称 注：建立函数关系式，实际上都是根据具体的实际问题和一些特殊的关系、数据而抽象、归纳建立函数的模型 【例 5】如图，已知在 RtABc 中， B 90 ， Bc 4cm，AB 8cm， D、 E、 F 分别为 AB、 Ac、 Bc 边上的中点，若 P 为AB边上的一个动点， PQBc ，且交 Ac于点 Q，以 PQ为一边，在点 A 的右侧作正方形 PQmN，记 PQmN与矩形 EDBF 的公共部分的面积为 y (1)当 AP 3cm时，求的值； (2)设 AP=cm 时，求 y 与 x 的函数关系式； 5 / 10 (3)当 y=2cm2，试确定点 P 的 位置 (2001年天津市中考题 ) 思路点拨对于 (2)，由于点 P 的位置不同， y 与 x 之间存在不同的函数关系，故需分类讨论；对于 (3)，由相应函数解析式求 x 值 注：确定几何元素间的函数关系式，首先是借助几何知识与方法把相应线段用自变量表示，再代入相应的等量关系式，需要注意的是： (1)当图形运动导致图形之间位置发生变化，需要分类讨论； (2)确定自变量的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情形、特殊情形等思想方法 学力训练 1如图，在直角坐标系中，已知点 A(4， 0)、 B(4， 4)， oAB 90 ，有直角三角形与 RtABo 全等且以 AB 为公共边，请写出这些直角三角形未知顶点的坐标 (贵州省中考题 ) 2在直角坐标系中有两点 A(4， 0)， B(0， 2)，如果点 c 在x 轴上 (c与 A 不重合 )，当点 c 的坐标为时，使得由点 B、 o、c组成的三角形与 AoB 相似 (至少找出两个满足条件的点的坐标 ) (广西桂林市中考题 ) 6 / 10 3根据指令 (S0 ， 0A180) ，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度 A，再朝其面对的方向沿直线行走距离 S现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对 x 轴的正方向， (1)若给机器人下了一个指令，则机器人应移动到点； (2)请你给机器人下一个指令，使其移动到点 (一 5， 5) (浙江省杭州市中考题 ) 4如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴的夹角为60 ，且点 A 的坐标为 (一 2， 0)，点 B 在 x 轴上方，设 AB，那么点 B 的横坐标为 () A B c D (年南昌市中考题 ) 5一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为 300米，小军先走了一段路程，爸爸才开始出发图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山 脚登山的路程 (米 )与登山所用的时间 (分钟的关系 )(从爸爸开始登山时计时 )，根据图象，下列说法错误的是 () A爸爸登山时，小军已走了 50 米 B爸爸走了 5 分钟，小军仍在爸爸的前面 c小军比爸爸晚到山顶 D爸爸前 10 分钟登山的速度比小军慢， 10 分钟之后登山的速度比小军快 7 / 10 (江苏省淮安市中考题 ) 6若函数的自变量的取值范围为一切实数，则的取值范围是 () A mlD m1 7如图，在直角坐标系中，已知点 A(4， 0)、点 B(0， 3)，若有一个直角三角形与 RtABo 全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形未知顶点的坐标 (不必写出计算过程 ) (常州市中考题 ) 8如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题： （ 1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为，请写出与 (表示第个图形 )的函数关系式； (2)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了 506 块瓷砖，求此时的值； (3)若黑瓷砖每块 4 元，白瓷砖每块 3 元，在问题 (2)中，共需花多少元钱购买瓷砖 ? (4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情形 ?请通过计算说明为什么 ? (吉林省中考题 ) 9如图，在平面直角坐标系中有一个正方形 ABcD，它的 48 / 10 个顶点为 A(10， 0)， B(0， 10)， c(一 10， 0)， D(0，一 10)，则该正方形内及边界上共有个整点 (即纵横坐标都是整数的点 ) (上海市初中数学竞赛题 ) 10如图，已知边长为 l 的正方形 oABc 在直角坐标系中， A、 B 两点在第一象限内， oA 与轴的夹角为 30 ，那么点 B 的坐标是 11如图，一个粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到 (1， 0)，而后它接着按图所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动 1 个单位长度，那么在 1989分钟后这个粒子所处位置为 (美国高中数学考试题 ) 12在直角坐标系中，已知 A(1， 1)，在轴上确定点 P，使AoP 为等腰三角形，则符合条件的点 P 共有 () A 1 个 B 2 个 c 3 个 D 4 个 (2001年湖北赛区选拔赛题 ) 13已知点 P 的坐标是 (l， )，这里、是有理数， PA、PB 分别是点 P 到轴和轴的垂线段，且矩形 oAPB 的面积为，则 P 点可能出现的象限有（） A 1 个 B 2 个 c 3 个 D 4 个 (江苏省竞赛题 ) 14甲、乙二人同时从 A 地出发，沿同一条道路去 B 地，途中都使用两种不同的速度 Vl 与 V2(ViV2)，甲用一半的路程使用速度 Vl、另一半的路程使用速度 V2；关于甲乙二人从 A 地到达 B 地的路程与时间的函数图象及关系，有图中9 / 10 4 个不同的图示分析其中横轴表示时间，纵轴表示路程，其中正确的图示分析为 () A图 (1)B图 (1)或图 (2)c图 (3)D图 (4) (河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题 ) 15依法纳税是每个公民应尽的义务中华人民共和国个人所得税法规定，公民每月工资、薪金收入不超过 800元，不需交税；超过 800元的部分为全月应纳 税所得额，都应交税，且根据超过部分的多少按不同的税率交税，详细的税率如下表： 级别全月应纳税所得额税率 ( ) 1 不超过 500元部分 5 2 超过 500元至 2000元部分 10 3 超过 2000元至 5000元部分 15 (1)某公民 2002年 10月的总收人为 1350元，问他应交税款多少元 ? (2)设表示每月收入 (单位：元 )，表示应交税款 (单位：元 )，当 1