二次根式的运算

1 / 6 二次根式的运算 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第七讲二次根式的运算 式子 (0) 叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础 (1)(0) ； (2)()； (3)()； (4)(0) 同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念 二次根式的运算是在有理式 (整式、分式 )运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化 、拆项相消、分解相约等 例题求解 【例 1】已知，则 = (重庆市竞赛题 ) 思路点拨因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手 注：二次根式有如下重要性质： (1)，说明了与、一样都是非负数； 2 / 6 (2)(0)，解二次根式问题的途径 通过平方，去掉根号有理化； (3)，揭示了与绝对值的内在一致性 著名数学教育家玻利亚曾说， “ 回到定义中去 ” ，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题 【例 2】化简，所得的结果为（） A B c D (武汉市选拔赛试题 ) 思路点拔待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式 注特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律 【例 3】计算： （ 1）； （ 2）； （ 3）； 思路点拨若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、3 / 6 配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口 【例 4】 (1)化简； (北京市竞赛题 ) (2)计算 (“ 希望杯 ” 邀 请赛试题 ) (3)计算 (湖北省孝感市 “ 英才杯 ” 竞赛题 ) 思路点拨（ 1）把 4+2万与 4 2 分别化成一个平方数化简，此外，由于 4+2 与 4 2 是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解； (3)通过配方，可以简化一重根号，解题的关键是就 a 的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题 【例 5】已知，求的值 (山东省竞赛题 ) 思路点拨已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢 ?考虑从配方的角度试一试 学历训练 1如果，那么 = (四川省竞赛题 ) 2已知，那么的值为 (成都市中考题 ) 3计算 = (天津市选拔赛试题 ) 4若 ab0 ，则等式飞成立的条件是 (淄博市中考题 ) 5如果式子化简的结果为，则 x 的取值范围是 () A x1B x2c 1x2D x0(徐州市中考题 ) 4 / 6 6如果式子根号外的因式移入根号内，化简的结果为（） A B c D 7已知，则的值为 () A B c D 8已知，那么的值等于（） A B c D 3 9计算： (1)； （ 2）； (北京市数学竞赛题 ) （ 3）； （ 4） (“ 希望杯 ” 邀请赛试题 ) 10 (1)已知与的小数部分分别是 a 和 b，求 ab 3a+4b+8的值； (2)设， n 为自然数，如果成立，求 n 11如图，某货船以 20 海里时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的 B 处，经 16小时的航行到达，到达后必须立即卸货此时，接到气象部门通知，一台风中心正以 40海里时的速度由 A 向北偏西 60 方向移动，距台风中心200海里的圆形区域 (包括边界 )均会受到影响 （ 1）问： B 处是否会受到台风的影响 ?请说明理由； (2)为避免受到台风的影响， 该船应在多少小时内卸完货物 ? 5 / 6 (供选用数据：， )(贵阳市中考题 ) 12已知，那么 = (T1杯全国初中数学联赛题 ) 13若有理数 x、 y、 z 满足，则 = (北京市竞赛题 ) 14设，其中 a 为正整数， b 在 0， 1 之间，则 = 15正数 m、 n 满足，则 = (北京市竞赛题 ) 16化简等于 () A 5 4B 4 一 1c 5D 1(全国初中数学联赛题 ) 17若，则等于 () AB c 1D 1 (XX年武汉市选拔赛试题 ) 18若都是有理数，那么和面 () A都是有理数 B一 个是有理数，另一个是无理数 c都是无理数 D有理数还是无理数不能确定 (第 13届 “ 希望杯 ” 邀请赛试题 ) 19下列三个命题： 若 ， 是互不相等的无理数，则 + 是无理数； 若 ， 是互不相等的无理数，则是无理数； 若 ， 是互不相等的无理数，则是无理数 其中正确命题的个数是 () 6 / 6 A 0B 1c 2D 3(全国初中数学联赛试题 ) 20计算： （ 1）；（ “ 希望杯 ” 竞赛题） （ 2）；（山东省竞赛题） （ 3）；（四川省选拔赛题） (4)； (5) (新加坡中学生数学竞 赛题 ) 21 (1)求证； (2)计算（ “ 祖冲之杯 ” 邀请赛试题） 22 (1)定义，求的值； (2