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文档简介
第4讲 直接证明与间接证明一、选择题1用反证法证明某命题时,对结论“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设是()A自然数a,b,c中至少有两个偶数B自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数C自然数a,b,c都是奇数D自然数a,b,c都是偶数解析:选B“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”故选B2分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设abc,且abc0,求证:0Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0解析:选Cab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0故选C3设a,b,c,则a、b、c的大小顺序是()Aabc BbcaCcab Dacb解析:选A因为a,b,c,且0,所以abc4设x,y,z0,则三个数,()A都大于2 B至少有一个大于2C至少有一个不小于2 D至少有一个不大于2解析:选C假设三个数都小于2,则b0,m,n,则m,n的大小关系是()Amn BmnCmn Dmn解析:选Ca0,显然成立,故mn选C二、填空题7已知点An(n,an)为函数y图象上的点,Bn(n,bn)的函数yx图象上的点,其中nN*,设cnanbn,则cn与cn1的大小关系为_解析:由条件得cnanbnn,所以cn随n的增大而减小,所以cn1cn答案:cn1cn8关于x的方程axa10在区间(0,1)内有实根,则实数a的取值范围是_解析:当a0时,方程无解当a0时,令f(x)axa1,则f(x)在区间(0,1)上是单调函数,依题意,得f(0)f(1)0,所以(a1)(2a1)0,所以ab,则f(f(b)f(b)b,与题意不符,若f(b)b,则f(f(b)f(b)b,与题意也不符,故f(b)b,即f(x)x在0,1上有解所以x,aexx2x,令g(x)exx2x,g(x)ex2x1(ex1)2x,当x0,1时,ex12,2x2,所以g(x)0,所以g(x)在0,1上是增函数,所以g(0)g(x)g(1)1g(x)e,即1ae答案:1,e10若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1,在区间1,1内至少存在一点c,使f(c)0,则实数p的取值范围是_解析:法一:(补集法)令解得p3或p,故满足条件的p的取值范围为法二:(直接法)依题意有f(1)0或f(1)0,即2p2p10或2p23p90,得p1或3p,故满足条件的p的取值范围是答案:三、解答题11在ABC中,设a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且直线bxycos Acos B0与axycos Bcos A0平行,求证:ABC是直角三角形证明:法一:由两直线平行可知bcos Bacos A0,由正弦定理可知sin Bcos Bsin Acos A0,即sin 2Bsin 2A0,故2A2B或2A2B,即AB或AB若AB,则ab,cos Acos B,两直线重合,不符合题意,故AB,即ABC是直角三角形法二:由两直线平行可知bcos Bacos A0,由余弦定理,得ab,所以a2(b2c2a2)b2(a2c2b2),所以c2(a2b2)(a2b2)(a2b2),所以(a2b2)(a2b2c2)0,所以ab或a2b2c2若ab,则两直线重合,不符合题意,故a2b2c2,即ABC是直角三角形12已知数列an满足a1,且an1
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