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分类号：_ 密 级：_ ：_ 单位代码：_ 硕士学位论文硕士学位论文 论文题目：复杂结构的有限元计算 学 号：_ 姓 名：_ 专 业 名 称：_ 学 院：_ 指 导 教 师：_ 论文提交日期：2010 年 11 月 10 日 史俊 公开 1 1 6 4 6 G07B08010203 TB12 固体力学 机械工程与力学学院 王骥 教授 A Thesis Submitted to Ningbo University for the Masters Degree The Finite Element Simulation of Complex structure Candidate： Shi Jun Supervisors： Professor Wang Ji Faculty of Mechanical Engineering and Mechanics Ningbo University Ningbo 315211， Zhejiang P.R.CHINA November, 10 宁波大学硕士学位论文 宁波大学硕士学位论文 独独 创创 性性 声声 明明 本人郑重声明：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得宁波大学或其他 教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 签名：_ 日期：_ 关于论文使用授权的声明关于论文使用授权的声明 本人完全了解宁波大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 （保密的论文在解密后应遵循此规定）（保密的论文在解密后应遵循此规定） 签名：_ 导师签名：_ 日期：_ 宁波大学硕士学位论文 宁波大学硕士学位论文 宁波大学硕士学位论文 复杂结构的有限元分析 摘摘 要要 有限元法是一种求解复杂工程结构的非常有效的数值方法。本文对压电石英晶体谐振 器中的 AT 切石英晶体板的振动模式作了分析，该谐振器通常工作在频率较高的厚度剪切 (thickness-shear) 模态。使用 Mindlin 板理论可以得到在石英晶体谐振器设计中十分重要的 直行波位移和振动频率的解析解。但是当结构比较复杂时，例如板厚变化、带有电极和考 虑支架时，位移的空间分布就很难获得。而这些解对于解释有限板厚度剪切振动中的主要 性质，如频率变化和位移约束又很重要。比较精确的解决方案只能使用有限元方法。类似 地，本文还分析了另一种大量使用的频率元件，表面波器件。这种谐振器通常利用的是在 基体表面传播的瑞利波来得到相应的频率。随着通用有限元软件诸如 ANSYS， ABAQUS，NASTRAN，以及 COSMOL 等的逐渐成熟和个人电脑性能的提高，这些功能 强大的工具已广泛用于谐振器高频振动的设计。本文选择基于个人电脑和 Windows 的 ANSYS 作为分析平台，对典型的矩形和圆形石英晶体谐振器以及表面波谐振器的自由振 动模态进行了分析，得到的位移分布的准确解可用于结构参数优化。ANSYS 作为一款通 用有限元软件，还具备在电磁场领域的计算能力。本文的另一项工作是使用同样的有限元 计算工具，使用其准静态时谐电场计算功能，计算了理想血细胞悬浮液模型介电常数的实 部、虚部和外加交变电场的频率的关系曲线，以及电导率的实部、虚部和外加交变电场的 频率的关系曲线，即血液的介电谱。 关键词：厚度剪切振动，表面波，有限元法，关键词：厚度剪切振动，表面波，有限元法，ANSYS，压电声波谐振器，弹性板，石 英晶体，血液，介电谱，复合介质 ，压电声波谐振器，弹性板，石 英晶体，血液，介电谱，复合介质 宁波大学硕士学位论文 宁波大学硕士学位论文 The Finite Element Simulation of Complex structure Abstract Finite element analysis is a powerful approach to the vibration analysis of complicated structures including the piezoelectric acoustic wave resonators such as the quartz crystal resonators, which usually vibrate at the thickness-shear mode with much higher frequency. The analysis has been done with the Mindlin plate equations for straight-crested wave solutions for displacements and vibration frequency, which are important in the design of quartz crystal resonators. But the spatial distribution of displacements with structural complications such as thickness variation, electrodes, and mountings is hard to obtain. Such solutions will be important to explain the dominant properties of the thickness-shear vibrations in a finite plate such as the frequency variation and displacement confinement, but more accurate solutions for actual resonators can only be obtained with the finite element method, with the sophistication of general purpose finite element software such as ANSYS, ABAQUS, NASTRAN, and lately COSMOL and widely available computing power, the high frequency vibrations of quartz crystal resonators have been studied with these popular and powerful tools. In a similar way, we analysed another widely used frequency control devices called surface acoustic wave devices. We choose the ANSYS on a Windows based personal computer as the analysis platform, and typical models of quartz crystal resonators with rectangular and circular configurations are created and analyzed. The accurate solutions of displacement distribution can be used in the optimal selection of the structural parameters. Besides, another work is done to simulate the blood cells suspension under alternating electric field in different frequencies by using the quasi-static electric field module of the finite element analysis software ANSYS. We assume the blood cells suspension to be an ideal three- dimensional model. It is a three-phase two interface structure formed by extracellular liquid, membrane and cytoplasm with different dielectric constants and conductivity. Finally, we obtained the relationship between the frequency of electric field and the real part and imaginary part of dielectric constants of the blood model, or the dielectric spectra of blood respectively. Key Words：thickness-shear vibration, finite element method, ANSYS, quartz crystal resonator, surface acoustic wave, elastic plate, Blood, dielectric spectra, cell 宁波大学硕士学位论文 目目 录录 1 绪论.1 1.1 AT 切石英晶体谐振器的研究背景及意义.1 1.2 声表面波谐振器的研究背景及意义.2 1.3 血液介质介电谱的研究背景及意义.3 1.4 本文的主要工作.4 2 AT 切石英晶体谐振器和声表面波谐振器的有限元计算原理.5 2.1 有限元方程.5 2.1.1 三维运动方程.5 2.1.2 变分方程.5 2.1.3 三维有限元格式.6 2.2 使用ANSYS 作为有限元计算工具.8 3 石英晶体板厚度剪切振动的有限元分析.10 3.1 问题的描述.10 3.2 算例.10 3.2.1 有限元模型建立.10 3.2.2 材料参数的选定.12 3.2.3 结果及讨论.12 3.3 模型尺寸对模态的影响.16 3.4 小结.19 4 石英晶体表面波器件的有限元分析.20 4.1 表面波器件的二维有限元分析.20 4.2 结论.22 5 血液介质介电谱的有限元计算.23 5.1 血液介电谱的基本原理.23 5.2 血液介电谱的基本方程.23 5.3 计算过程.25 宁波大学硕士学位论文 5.3.1 有限元模型的建立.25 5.3.2 材料参数的选定.27 5.4 计算结果及讨论.28 5.5 小结.30 6 总结与展望.31 参考文献.32 附录 A 血液模型输入命令.35 在学研究成果.37 致 谢.38 宁波大学硕士学位论文 - 1 - 1 绪论 1.1 AT 切石英晶体谐振器的研究背景及意义 AT 切石英晶体片是实际生产中使用最多的一种切型的晶片，其频率温度特性非常 好，而且体积可以做得很小。由于利用厚度剪切振动作为基频模式，AT 切石英晶片可 以用来制作高频和超高频的谐振器。目前大多数的石英晶体谐振器均采用AT 切型。 由于石英对于温度敏感度较低，受温度影响所造成的频率飘移较小，比其他压电材 料所制成之振荡元件来的准确与稳定，对于频率准确度要求较高的通讯产品特别适合。 石英平板振动之理论分析已有多年的历史。石英板之厚度剪切振动模态(thickness shear) 与弯曲振动(flexure) 分析最早由 Mindlin 在 1951 年提出1，并在往后三十几年之间进行 有关石英振荡器的各项研究。Mindlin 及 Deresiewicz2发表有关圆形及长方形石英片振 动模态分析，但忽略电极面及压电特性。Mindlin 及 Gazis3，以理论分析的方式，计算 长方形 AT 切石英晶体板在基频附近的频率响应，并与 Koga 实验数据比对4。Mindlin 及 Lee5，考虑了电极覆盖的质量效应。Mindlin 及 Spencer6，探讨厚度剪切及厚度扭转 的泛音振动，并以 X 光成像仪分析出与理论相符合的振动变形图。Tiersten7，加入压 电耦合关系式进行压电平板振动分析。近年来，Yong 及 Stewart 等分别以有限元法分析 压电平板问题89。 随着无线通讯的兴起及个人电脑的普及化，石英产业日趋受到重视。由于石英晶体 的各向异性特点，晶片内的振动模式非常复杂。其中厚度剪切是 AT 切石英晶体谐振器 的工作模式，其它与之耦合的模式称为寄生模式。寄生模式的存在对谐振器的性能有十 分不利的影响12。对于一个实用的谐振器，总是期望主振模式最强且尽可能少地受其它 模式的干扰。但是，随着实际应用中的谐振器向小型化与高频发展，AT 切石英晶体谐 振器中寄生振动模式增多，寄生振动模式与主模式厚度剪切模式之间的耦合问题越来越 突出。在矩形 AT 切谐振器中，寄生振动模式和基频厚度切变振动模式的耦合会严重降 低谐振器的性能，这样的现象将使得频率元件的成品有相当大的瑕疵。这使得怎样避免 模态耦合带来的产品性能降低成为了需要在设计阶段克服的技术难点之一，而设计人员 通常只能根据经验对石英晶片的尺寸和外形进行调整。因此，为了保证产品的品质，从 理论上计算分析高频石英晶体薄板的振动模式和对其进行数值分析对设计者来说是十分 必要的。 实验与理论分析均表明，矩形晶体谐振器振动模式之间的耦合与石英晶片的尺寸即 长厚比和宽厚比有密切的关系。矩形晶体谐振器设计的第一步，也是很重要的一步就是 确定晶片的尺寸。目前大量的研究工作集中于此20。虽然使用经典的Mindlin 板理论， 宁波大学硕士学位论文 - 2 - 可以在给定石英晶体板结构参数，诸如长厚比和宽厚比的情况下，对简化后模型的振动 进行预测6。但是这样的方法在结构和边界复杂时显得无能为力，位移的空间位移分布 也很难获得，因为采用板振动近似方程得到的解析解只能是直行波或者一维解。解决这 个问题的有效途径是使用有限元方法。而有限元方法的实现可以通过三维压电理论或者 Mindlin 板理论10 111213。由于用于求解特征值的线性体系的规模的不同，两者消耗的 计算资源和时间也有显著差异。计算机的运算能力总是受限的，再加上早期通用有限元 软件的局限性，致使许多研究者开发一些基于Mindlin 板方程的自定义有限元分析工 具，这些拥有特殊功能的工具在石英晶体谐振器设计领域获得了成功。另一方面，个人 计算机性能的不断提高和通用有限元软件功能的日趋完善，使得越来越多的人愿意使用 这些方便实用的软件，而这些软件也的确能够提供令人满意的计算功能，比如完全不需 要简化就可以对几何形状复杂，涉及多场耦合的三维模型进行分析14151617。 1.2 声表面波谐振器的研究背景及意义 声表面波（Surface Acoustic Wave，SAW）是沿弹性体表面传播的一种弹性波，早 在 1885 年瑞利（Rayleigh）根据对地震波的研究，最早从理论上阐明了声表面波的存 在，但由于当时科学技术水平所限，在很长一段时间内声表面波并没有引起工程师们的 兴趣。随着半导体工艺和计算机技术的进步，声表面波谐振器技术从六十年代末期才开 始得以逐步发展。1965 年 White 等人提出在压电介质表面制作金属叉指电极能有效地产 生和检测声表面波后，声表面波的研究在世界范围内便雨后春笋般开展起来，并迅速地 在电子学领域中获得广泛应用，构成一类所谓声表面波器件。作为一种信号处理器件， 其应用包括延迟线、带通滤波器、谐振器、震荡器等。近年来，随着通信事业的发展， 特别是半导体工艺水平的提高，使高频声表面波滤波器和谐振器的生产成为可能，其应 用领域不断扩大。从卫星通信、雷达制导、无线遥控、广播电视到移动通信、无绳电话 等，都广泛采用声表面波器件。二十世纪九十年代以来，移动通信的飞速发展，推动了 声表面波器件的研究。由于声表面波器件体积小，重量轻的特点适应了移动通信微型化 发展的方向。 对声表面波的分析方法大都是基于半无限大弹性固体中的表面波 (Rayleigh)理论。 在工程领域，表面波分析的基础也是半无限大固体的经典解。这已经成为器件和其他应 用方面的典型物理模型22。Rayleigh 波一般只集中在固体的表面传播，当深度超过大概 3 个波长以上时，固体中几乎没有扰动。在声表面波谐振器设计中，常常需要波速和衰 减指数，以确定谐振器的性能.。显然，精确分析上述参数至关重要。尤其是在确定谐 振器设计参数，如基板厚度等。 宁波大学硕士学位论文 - 3 - 在板中通常存在对称和反对称两个模态，并以指数形式衰减或增长23。在中面上达 到或接近零。但在表面，位移却不会是零。在工程应用中，表面位移不可忽略。实际谐 振器中，光滑的下表面通常需要磨粗以减少表面位移。显然，在器件设计中，分析计算 表面的残余位移非常重要，这有助于减小因为表面位移所引起的能量损失。 如果板的厚度增加，位移将表现出表面波的特点，尤其是沿厚度方向有清晰的变 化。当板中的表面波速度接近半无限体中的表面波速度时，反对称和对称模态的合成位 移将逐渐接近 Rayleigh 波模态。如果厚度趋向半无限大，合成波速就是 Rayleigh 波波 速。由于模态关于中面对称，因此下表面的位移不会消失.。基体厚度足够大时，中面 一侧的合成位移和 Rayleigh 波的位移非常接近。既然板中有对称和反对称模态，或者 指数衰减或增长型模态, 计算板的主导模态时需要两者兼顾。 表面波在弹性体中的传播特性，一直是表面波谐振器作为电子元件(如传感器和滤 波器等)的主要研究问题。表面波技术在实际应用中常常集中于两个方面，一方面是各 向异性压电频率谐振器。另一方面是一些新的元件，比如推力、压力、温度、角速度和 角加速度传感器(它们常常以谐振器作为敏感元件)。这些元件的设计和制造往往依靠简 单的原理和经验来进行，直到最近才开始重视一些精确分析的模型和方法。并把它们应 用于高效、精确的设计和产品性能的提高上。但是，目前一般可以使用的计算方法只有 采用弹性方程求解。若要应用到有限大弹性体中，只能采用有限元方法来求得数值解。 1.3 血液介质介电谱的研究背景及意义 凡在外电场作用下产生电极化现象的物质统称为电介质，它们以气态、液态和固态 的形式广泛地存在于自然界中。其中，血液可以视为一种由多种电介质组成的复合介 质。由脂质体和蛋白质为主体构成的细胞膜具有近乎绝缘的电性质，而细胞中的电导主 要是由其中的水和离子移动所引起，在外加交流电场作用下，电荷聚集在细胞质、血浆 和细胞膜的相界面，形成了界面极化或者叫MaxwellWagner 效应26。通常认为，当电 介质极化的速度赶不上电场变化的速度时，就出现了所谓介电弛豫效应27。对血液的这 些介电特性的研究在医学上有着十分重要的意义。因此，已经有相当多的学者对此进行 了研究，采用的方法包括采用球形、椭球形、或壳体模型的解析方法2829、宽频域交流 阻抗法30以及有限差分法31323334等。考虑到血液的这一介电特性对细胞的结构，尤 其是形状比较敏感，所以对这一问题进行分析时就要进行合理的建模31。本文采用的三 维细胞悬浮液模型，显然能更加真实地模拟血液。而且处理复杂结构和边界条件正是有 限元计算的长处。 宁波大学硕士学位论文 - 4 - 1.4 本文的主要工作 本文尝试使用面向个人电脑的通用有限元软件 ANSYS，对 2 种物理场下的 3 种不 同结构进行了计算和分析。 1) 应用 ANSYS 所提供的模态分析功能，对石英晶体板的厚度剪切振动作出模拟， 得到需要的振动频率和位移分布。并进一步分析了板的长度变化对振动模态的影响。 2) 使用和上述类似的方法，还可以对表面波器件的振动形式作出模拟。所不同的 是，实际表面波器件在长度方向上通常有几百个波长，同时表面波还有随着深度的增加 逐渐消失的特性，这样就需要同时在厚度方向和长度方向设置足够的单元数目来保值精 度。所以，对表面波的有限元分析通常需要更多的计算机资源。本文尝试使用自己定义 的各向同性材料来计算表面波的传播特性，但这一算例能够反映表面波器件的振动形 式，并可以推广到包括各向异性材料在内的各种实际材料。 3) 依靠 ANSYS 较好的建模功能，划分网格和准静态时谐电场计算功能，对交变电 场作用下血液模型的电常数的变化作了计算，得到了血细胞的介电谱。 宁波大学硕士学位论文 - 5 - 2 AT 切石英晶体谐振器和声表面波谐振器的有限元计算原理 2.1 有限元方程 2.1.1 三维运动方程 在推导变分方程和有限元方程之前，先对三维弹性动力学的基本方程进 行介绍，它可以归纳为以下三组： 平衡方程 , ,jiij uT& &= (2.1) 其中 ij T和 j u分别为应力，机械位移，为弹性体的密度。 物理方程 , klijklij ScT = (2.2) 其中 kl S 为应变分量， ijkl c为弹性常数。 几何方程 (). 2 1 ,ijjiij uuS+= (2.3) 2.1.2 变分方程 首先由虚功原理推导出平衡方程的变分形式，假设 j u为虚位移，将平衡 方程乘以虚位移 j u，然后对整个弹性体进行积分，得到 (). 0d= V jjij,i VuuT& & (2.4) 对上式体积分中的第一项进行分步积分，可以得到 .dddSuTnVSTVuT j S iji V ijijj V ij,i += (2.5) 宁波大学硕士学位论文 - 6 - 将式(2.5)代入式(2.4)，则变分方程变为 ().ddSuTnVuuST j S iji V jjijij =+& & (2.6) 2.1.3 三维有限元格式 通过定义位移场 , 321 T uuu=u (2.7) 式（2.3）可写成 ,uS u = (2.8) 其中 u 算子的形式如下 . 0 0 0 00 00 00 12 13 23 3 2 1 = xx xx xx x x x u (2.9) 将式（2.2）写成矩阵形式 ,cST = (2.10) 这里的c为弹性常数。 将式(2.6)也写成矩阵形式 宁波大学硕士学位论文 - 7 - .dd)(SV S T V TT =+FuuucSS& & (2.11) 选择单元类型，并将三维弹性体离散为若干个很小的单元，弹性体内任意点 的位移场可以通过对节点的位移进行下面的插值运算近似的计算出来， , 1 = = n i iiU Nu (2.12) 其中 i N称为形函数或插值函数。 将式(2.12)写成矩阵形式 , 14 2 1 4421 NU U U U NNNu= = = l l ll 3 2 1 u u u M L (2.13) 其中 . 44 =IN ii N (2.14) 将式(2.13)代入式(2.8)得到 ,BUNUS= u (2.15) 其中 , 21l BBBBL= (2.16) 应变矩阵 i B为 . iui NB= (2.17) 将式(2.15)代入式(2.11)，可以得到 宁波大学硕士学位论文 - 8 - . 0dddc= + SVV S T V T V TT FNUNNUBBU & & (2.18) 上式的方程必须满足任意的节点虚位移 T U，因此可以得到运动方程 , S FUMKU=+ & & (2.19) 其中 ,d ,dd S VV S T S V T V T = = FNF NNMcBBK， (2.20) 分别为刚度矩阵，质量矩阵和所受外力矢量。 若质点的运动为简谐自由振动，则0= S F，令 ti e UU =，则需要解决的问 题归结为求解下面方程的特征值 , 0 2 =UMUK (2.21) 其中为振动频率。 2.2 使用 ANSYS 作为有限元计算工具 压电介质中的三维运动方程加上边界条件可以精确地描述晶体谐振器的振动规律。 弹性体或压电体的多维耦合振动无论从理论上还是从工程上来说都是十分重要的，因 此，多年来一直是人们感兴趣的课题。但是到目前为止，由于运动方程及边界条件的复 杂性，求解三维运动方程的解析解几乎是不可能的。因此，在电子计算机出现以前就已 发展了许多处理这类问题的近似方法。在电子计算机出现后近似方法特别是数值方法又 得到进一步发展，现在已广泛采用有限元法来处理这类问题。目前，由于石英晶体谐振 器向着小型化和高频化的目标发展，需要对其振动模式进行精确的研究，有限元法自然 就成为分析晶体谐振器的有力工具。同时这种发展趋势也对有限元分析方法提出了更高 的要求，因为在分析时所需的计算量和存储量变得非常大。虽然从理论上讲利用有限元 法可以求解三维运动方程，但是庞大的矩阵运算对计算机的运算速度及内存有很高的要 求，其求解结果的后处理也非常复杂。 宁波大学硕士学位论文 - 9 - 本论文的目的是建立一个较为准确的有限元模型来模拟AT 切石英晶体谐振器和声 表面波谐振器。尽管有限元计算潜在的能保证足够精度的计算能力早已为大家所熟知， 但是因为缺乏计算资源和时间的限制他们并没有广泛应用于高频元件的设计。如今，在 计算机技术的最新进展以及可以预见的未来计算机的性能将不断提高的情况下，以及通 用有限元软件提供越来越丰富的求解功能以及方便的前后处理功能的情况下，尝试使用 有限元模型来为 AT 切石英晶体谐振器和声表面波器件设计提供帮助就变得十分有意 义。 ANSYS 当中适用于本文前两部分分析的功能是模态分析。所谓模态分析是分析结 构的动力特性，与结构受什么样的荷载没有关系，只要给定了质量、弹性模量、泊松比 等材料参数，并施加了边界约束就可以得到此状态下的各阶自振频率和振型，也称为模 态。模态分析只能得到固有频率及其对应的振型。结构包含有若干阶固有频率（理论上 无穷多），每阶固有频率都有其对应的振型，这个振型是指结构恰好按照此阶频率进行 振动时，结构的振动变形形状。 使用ANSYS 进行分析的主要步骤包括物理模型的构造、单元类型的选择、材料参 数的选定，网格密度的确定等多方面的内容。其中，有限元网格划分是进行有限元数值 模拟分析至关重要的一步，它直接影响着后续数值计算分析结果的精确性。 宁波大学硕士学位论文 - 10 - 3 石英晶体板厚度剪切振动的有限元分析 3.1 问题的描述 由于AT 切石英晶体的压电性很弱，不管是解析法还是有限元数值解法，略去方程 中的压电项，都会使得求解的复杂性和计算量大大降低，不考虑压电效应的运动方程是 文献中普遍乐于采用的21。同样，本文的计算也没有考虑压电效应，而只是采用了 AT 切石英晶体的弹性常数。所以，实际计算的是三维各项异性板的自由振动。虽然本文使 用了ANSYS 中的Muiltipysics 模块，选择了SOLID226 这样的耦合场单元，但是在预 处理时并未定义材料的压电常数和介电常数。从而在计算中忽略了电场的影响以及压电 耦合。这里只需要选择材料的弹性常数和密度，甚至不必加载约束，便可在网格划分后 直接使用模态分析选项，在给定的频率区间上计算出模型的一系列振动模态，其中包括 振动频率和振动形式。而由于在高频段，使用有限元计算得到的模态结果数目众多14， 这个频率区间的选取成了能否找到需要的厚度剪切模态的关键因素。根据从弹性理论得 到的该模态频率的计算公式 , 4 1 66 c b f = (3.1) 其中，b为板厚半长，c66为弹性常数，为密度。估计了有限元模拟时，此模态出现的 大致频率范围。 对于厚度m1012 4 =b的 AT切石英晶体板，公式计算得出的厚度剪切模态频率 为16546376.21Hz。为了使得最后的有限元计算得到频率值的近似为1，以便于观察同 一模态频率的变化和调整模态的求解区间，计算前要先根据这一公式对频率进行归一化 处理，即每个弹性常数都要乘以 66 2 16cb。 3.2 算例 3.2.1 有限元模型建立 对于板在某些尺寸，在高频振动时，各种振动形式之间的耦合非常强烈12。而另外 一些尺寸，例如很薄的板，又会使模型需要划分的单元过多。因此，为了得到较为清晰 的厚度剪切模态，同时又不至于使计算量过大，根据以往的理论和实验分析结果，本文 分别对矩形板和圆板的尺寸作了如下定义： 宁波大学硕士学位论文 - 11 - 图3.1所示的矩形板模型参数： m.105 .122m,1012m,10252 444 =cba 图3.1. 矩形板模型. 图3.2所示的圆形板模型参数： m.1012m,1012 44 =ba 图3.2. 圆形板模型. 计算使用20节点六面体单元SOLID226，这种单元可以用来模拟各向异性材料。 为使有限元结果更加准确，模型的网格划分一般采取一个波长至少8个节点的原则。所 Y 2a X 2c Z a Y X 2b 2b Z 宁波大学硕士学位论文 - 12 - 以对于厚度剪切模态，厚度方向最好划分4个以上的单元。同时，单元的长、宽、高差 别不能过大，以免影响精度。 3.2.2 材料参数的选定 分析使用的压电材料是AT切石英晶体。参考文献18设定其中的弹性常数为： .N/m10 29.012.530000 2.5368.810000 0038.619.925.73.66- 009.92102.837.42-27.15 005.77.42-129.778.25- 003.66-27.158.25-86.74 29 = pq c 石英晶体密度为： 3 kg/m2649= 在ANSYS中输入弹性常数时，需要注意它们的排列顺序。不同于通常的x, y, z, yz, xz, xy排列，软件中的顺序应当是x, y, z, xy, yz, xz。所以，部分弹性系数的位置需要变 动，针对AT切石英晶体，调整后的排列顺序为： . c0c000 0c0ccc c0c000 0c0ccc 0c0ccc 0c0ccc 5556 44434241 6566 34333231 24232221 14131211 3.2.3 结果及讨论 如前所述，因预计的厚度剪切模态频率在1附近，所以，经过数次尝试，最终设定 模态求解范围为0.998至1.08，求解数目为100个。计算的结果数目众多，通常每0.01 个基频的区间内就有几十个甚至几百个模态，而且其中有相当一部分模态看上去杂乱无 章。对于这种情况，选取适当的模型尺寸、频率计算范围以及网格的疏密和均匀程度就 变得十分重要。 宁波大学硕士学位论文 - 13 - 其中，模型的尺寸决定了剪切模态是否明显，下面板的不同尺寸对模态的影响分析 中就可以看到。 频率的范围和模态计算数目的选取，为的是在保证能找到剪切模态的情况下，尽量 减少计算量，节约时间。这对于长达数小时的计算很有必要。改变模型后，通常需要一 两次大范围的计算才能找到剪切频率出现的大致区间。 网格的疏密关系到计算的精确性，计算中可以看到在网格太少的时候，计算结果无 论是位移云图和频率都不稳定。在低频模态分析中，这种情况并不明显。但是，在高频 剪切振动分析时，随着网格密度的增加，位移云图会变得更加平滑，频率也会趋向与某 一近似值。 另外，在对结果的观察过程中，要使用resultsviewer选项，迅速地找到需要的模 态。 由于实际的高频的剪切振动模态很难观察到具体的振动位移。所以，在有限元计算 结果中寻找这一模态，依据的是理论计算得出的频率和近似的位移。同时，ANSYS还 能提供振动的动画，使得在筛选时得到更加直观的印象。另外，在选择合适的模型和频 率区间的情况下，从位移云图上看，只有少数几个模态是清晰可辨的，再从中找出厚度 剪切模态就很容易了。 在此基础上，本文首先对不同网格密度下，计算得到的厚度切模态频率进行分析。 表3.1显示随着自由度数的增加，该频率逐渐趋向于1.003附近，证明本文的方法得到 的计算结果是收敛的，且频率值的有限元解比较接近于理论解。 表3.1 不同自由度下的厚度剪切模态频率 矩形板网格划分形式 自由度数 厚度剪切频率 210050 168615 1.0067854741 310050 229971 1.0037648348 410050 291327 1.0032140185 510050 352683 1.0030583722 610050 414039 1.0030015187 图3.3和图3.4分别给出了矩形板和圆形板厚度剪切模态位移ux的云图, 两者的振 动频率各自约为1.003058和1.005462。以矩形板为例，从中可以看出，X方向的位移显 示了此模态的主要振动形式，且其位移最大值为2398，相比Y, Z方向的最大位移346 和87要大得多。因此，虽然耦合了其他的振动形式，仍然可以认为它是厚度剪切振动 模态。 宁波大学硕士学位论文 - 14 - 图3.3. 矩形板厚度