六年级奥数不定方程与整数分拆讲座

1 / 13 六年级奥数不定方程与整数分拆讲座 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 不定方程与整数分拆 求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题 补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考思维导引详解五年级 第 15讲余数问题 . 解不定方程的 4 个步骤： 判断是否有解； 化简方程； 求特解； 求通解 本讲讲解顺序： 包括 1、 2、 3 题 包括 4、 5 题 包括 6、 7 题，其中 步骤 中加入百鸡问题 复杂不定方程： 、 、 依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程 整数分拆问题： 11、 12、 13、 14、 15 1在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是 4 的数有多少个 ? 【分析与解】设这个两位数为，则数字和为，这个数可以表达为 2 / 13 ，有 即，亦即 注意到和都是 0 到 9 的整数，且不能为 0，因此只能为 1、 2、3 或 4，相应地的取值为 2、 4、 6、 8 综上分析，满足题目条件的两位数共有 4 个，它们是 12、24、 36和 48 2设 A 和 B 都是自然数，并且满足 ,那么 A+B等于多少 ? 【分析与解】将等式两边通分，有 3A+llB=17,显然有 B=l，A=2时满足，此时 A+B=2+1=3 3甲级铅笔 7 分钱一支，乙级铅笔 3 分钱一支张明用 5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支 ? 【分析与解】设购买甲级铅笔支，乙级铅笔支 有 7+3=50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法： 将系数与常数对 3 取模 (系数 7， 3 中， 3 最小 )： 得 =2(mod3)，所以可以取 2，此时取 12； 还可以取 2+3=5，此时取 5； 即、 ,对应为 14、 10 3 / 13 所以张明用 5 角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共 14 支或10支 4有纸币 60张，其中 1 分、 l 角、 1 元和 10元各有若干张问这些纸币的总面值是否能够恰好是 100元 ? 【分析与解】设 1 分、 1 角、 1 元和 10元纸币分别有 a 张、b 张、 c 张和 d 张， 列方程如下： 由 (2)(1)得 注意到 式左边是 9 的倍数，而右边不是 9 的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为 100元 5.将一根长为 374厘米的合金铝管截 成若干根 36厘米和 24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计问：剩余部分的管子最少是多少厘米 ? 【分析与解】 24 厘米与 36 厘米都是 12 的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度必是 12 的倍数，但 374被 12除余 2，所以截完以后必有剩余剩余管料长不小于 2 厘米 4 / 13 另一方面， 374=2712+412+2 ，而 3612=3 ， 2412=2 ，有 39+22=31 即可截成 9 根 36厘米的短管与 2 根 24厘米的短管，剩余 2 厘米 因此剩余部分的管子最少是 2 厘米 6某单位的职工到 郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加男职工每人种 13棵树，女职工每人种 10 棵树，每个孩子种 6 棵树，他们一共种了216棵树那么其中有多少名男职工 ? 【分析与解】设男职工人，孩子人，则女职工 3-人 (注意，为何设孩子数为人，而不是设女职工为人 )， 那么有 =216，化简为 =216，即 =72 有 . 但是，女职工人数为必须是自然数，所以只有时，满足 那么男职工数只能为 12名 7一居民要装修房屋，买来长米和米的两种木条各若干根如果从这些木条中取出一些接 起来，可以得到许多种长度的木条，例如： +=米， +=米那么在米、米、米、米、米这 5 种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的 ? 5 / 13 【分析与解】设米，米两种木条分别，根，则 += ， 即 7+8=34， 36， 37， 38， 39 将系数，常数对 7 取模，有 6 ， l， 2， 3， 4(mod7)，于是最小分别取 6,1, 2， 3， 4 但是当取 6 时， 86=48 超过 34，无法取值 所以米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的 8.小萌在邮局寄了 3 种信，平信每封 8 分，航空信每封 1 角，挂 号信每封角，她共用了 1 元 2 角 2 分那么小萌寄的这 3种信的总和最少是多少封 ? 【分析与解】显然，为了使 3 种信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最后才是平信但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分 所以， 2 分， 10+2 分应该为平信的邮费，最小取 3，才是 8的倍数，所以平信至少要寄 4 封，此时剩下的邮费为122-32=90，所以再寄 4 封挂号信，航空信 1 封即可 于是，小萌寄的这 3 种信的总和最少是 4+1+4=9封 6 / 13 9.有三堆砝码，第一堆中每个砝码重 3 克，第二堆 中每个砝码重 5 克，第三堆中每个砝码重 7 克现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为 130克那么共需要多少个砝码 ?其中 3 克、 5 克和 7 克的砝码各有几个 ? 【分析与解】为了使选取的砝码最少，应尽可能的取 7 克的砝码 1307 ： 18 4 ，所以 3 克、 5 克的砝码应组合为 4 克，或 4+7克重 设 3 克的砝码个， 5 克的砝码个，则 当 =0时，有，无自然数解； 当 =1时，有，有 =2， =1，此时 7 克的砝码取 17个，所以共 需 2+1+17=21 个砝码，有 3 克、 5 克和 7 克的砝码各 2、 1、17个 当 1 时， 7 克的砝码取得较少，而 3、 5 克的砝码却取得较多，不是最少的取 砝码情形 所以共需 2+1+17=20 个砝码，有 3 克、 5 克和 7 克的砝码各2、 1、 17个 10 5 种商品的价格如表 8 1，其中的单位是元现用 60元钱恰好买了 10 件商品，那么有多少种不同的选购方式 ? 7 / 13 【分析与解】设 B、 c、 D、 E、 A 商品依次买了 b、 c、 d、 e、(10-b-c-d-e) 件，则有 =60 =310，显然只能取 0， 1， 2 有 =310，其中 d 可取 0， 1， 2， 3， 4 (1)当 d=0时，有 =310，将系数，常数对 6 取模得： 4(mod6) ，于是最小取 4，那么有 18b=310-434=138 ， b不为自然 数所以 d=0时。不满足； (2)有 =233，将系数，常数对 6 取模得： 5(mod6), 于是最小 ,那么有 18b=233-435=18, ； (3)有 =156，将系数，常数对 6 取模得： o(mod6) ，于是最小取 0，那么有 18b=156， b 不为自然数，所以 d=2 时，不满足； (4)有 =79，将系数、常数对 6 取模得： 1(mod6) ，于是最小那么有 18b=79 43=36 (5)当 d=4时，有 =2，显然不满足 有 =190，其中 d 可以取 0、 1、 2 8 / 13 (1)有 =190，将系数、常数对 6 取模有： 4(mod6) ，于是最小那么有 18b=190-434=18, (2)当 d=1时，有 =113，将系数、常数对 6 取模有： 5(mod6) ，于是最小取 5，即 18+215=113，显然 d=1 时，不满足； (3) 有 =36,显然有时 有 =70，只能取 0， 有 =70，将系数、常数对 6 取模有： 4(rood6) ，于是最小取 4，那么有 18+172=70， 显然不满足 最后可得到如下表的满足情况： 共有 4 种不同的选购方法 11有 43 位同学，他们身上带的钱从 8 分到 5 角，钱数都各不相同每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片画片只有两种： 3 分一张和 5 分一张每 11人都尽量多买 5 分一张的画片问他们所买的 3 分画片的总数是多少张 ? 【分析与解】钱数除以 5 余 0， 1， 2， 3， 4 的人，分别买 0，9 / 13 2， 4， 1， 3 张 3 分的画片因此，可将钱数 8 分至 5 角 2 分这 45 种分为 9 组，每连续 5 个在一组，每组买 3 分画片0+2+4+1+3=10 张， 9 组共买 10 9=90 张，去掉 5 角 1 分钱中买的 2 张 3 分画片， 5 角 2 分中买的 4 张 3 分画片， 43个人买的 3 分画片的总数是 90-2-4=84 张 12哥德巴赫猜想是说： “ 每个大于 2 的偶数都可以表示成两个质数之和 ” 试将 168表示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是 1 【分析与解】个位数字是 1 的两位质数有 11， 31， 41， 61，71 其中 168-11=157， 168-31=137， 168-41=127， 168-61=107，都不是两位数，只有 168-71=97 是两位数，而且是质数，所以 168=71+97 是惟一解 13 (1)将 50 分拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少 ? (2)将 60 分拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少 ? 10 / 13 【分析与解】 (1)首先确定这 10个质数或其中的几个质数可以 相 等 ， 不 然 10 个 互 不 相 等 的 质 数 和 最 小 为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于 50 所以，其中一定可以有某几个质数相等 欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为 2，且最多可有 9 个 2，那么最大质数不超过50 29=32 ，而不超过 32的最大质数为 31 又有，所以满足条件的最大质数为 31 (2)最大的质数必大于 5，否则 10个质数的之和将不大于 50 所以最大的质数最小为 7，为使和为 60，所以尽可能的含有多个 7 607=84 ，而 4=2+2，恰好有即 8 个 7 与 2 个 2 的和为 60，显然其中最大的质数最小为 7 14有 30 个贰分硬币和 8 个伍分硬币，用这些硬币不能构成的 1 分到 1 元之间的币值有多少种 ? 【分析与解】注意到所有 38枚硬币的总币 值恰好是 100分 (即1 元 )，于是除了 50分和 100分外，其他 98种币值就可以两两配对了，即 (1， 99)； (2， 98)； (3， 97)； (4， 96)； ； (49， 51)； 11 / 13 每一对币值中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成，则另一个也一定可以，显然 50分和 100 分的币值是可以组成的，因此只需要讨论币值为 1 分， 2 分， 3 分， ， 48分和 49分这 49种情况 1 分和 3 分的币值显然不能构成 2 分， 4 分， 6 分， ， 46 分， 48 分等 2； 4 种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成 5 分， 7 分， 9 分， ， 47 分， 49 分等 23 种奇数币值的只须分别在 4 分， 6 分 ,8 分， 46 分、 48 分的构成方法上，用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可，譬如， 37分币值的，由于 36分币值可用 18枚贰分硬币构成，用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币，剩下的币值即为 37分 综合以上分析，不能用 30 个贰分和 8 个伍分硬币构成的 1分到 1 元之间的币值只有四种，即 1 分， 3 分， 97 分， 99分 15小明买红、蓝两支笔，共用了 17 元两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵小强打算用 35 元来买这两种笔 (也允许只买其中一种 )，可是他无论怎么买，都不 能把35元恰好用完那么红笔的单价是多少元 ? 【分析与解】如下表 先枚举出所有可能的单价如表 1 12 / 13 再依次考虑： 首先，不能出现 35 的约数否则只买这种笔就可以刚好用完 35元，所以含有 7， 5， 1 的组合不可能 然后，也不能出现 35 17=18 的约数否则先各买一支需17元，那么再买这种笔就可以花去 18元，一共花 35元所以含有 9， 6， 3， 2 的组合也不可能 所以，只有 13+4 的组合可能，经检验 13x+4y=35 这个不定方程确实无自然数解所以红笔的单价为 13元 1庙里有若干个 大和尚和若干