分式与分式方程导学案（新北师大）

1 / 25 分式与分式方程导学案（新北师大） 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址文 章来源 m 第五章 分式与分式方程 第一节认识分式（一） 【学习目标】 1、了解分式的概念，明确分式和整式的区别； 2、能用分式表示简单问题数量之间的关系； 3、会判断一个分式何时有意义； 4、会根据已知条件求分式的值。 【学习重难点】重点：掌握分式的概念； 难点：正确区分整式与分式。 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合 【学习过程】 模块一预习反馈 一、学习准备 1、分式的概念：整式 A 除以整式 B，可以表示成的形式，如果中含有字母，那么我们称为 _ 2、分式与整式的区别：分式一定含有分母，且分母中一定含有；而整式不一定含有分母，若含有分母，分母中一定不含有字母。 3、分式有意义、无意义或等于零的条件： 2 / 25 （ 1）分式有意义的条件：分式的的值不等于零； （ 2）分式无意义的条件：分式的的值等于零； （ 3）分式的值为零的条件：分式的的值等于零，且分式的的值不等于零； 4、阅读教材：第一节认识分式 二、教材精读 5、理解分式的概 念 分析：区分整式与分式的唯一标准就是看分母，分母中不含字母的是整式，分母中含有字母的是分式。 提示：是一个常数，而不是字母。 解： 注意：理解分式的概念，应把握以下三点：（ 1）分式中， A、B 是两个整式，它是两个整式相除的商，分数线由括号和除号两个作用，如可以表达成；（ 2）分式中 B 一定含有字母，而分子 A 中可以含有字母，也可以不含字母；（ 3）分式中，分母的值是零，则分式没有意义，如分式中， 6、 分析：根据分式有意义的条件进行计算，此题即为求分母不等于零时 x 的取值范围。 模块二合作探究 7 、 下 列 代 数 式 ：， 其 中 是 分 式 的 有 ：3 / 25 _. 8、当 x 取何值时，下列分式有意义？ 9、当 x 取何值时，下列分式无意义？ 10、当 x 取何值时，下列分式的值为零？ 模块三形成提升 1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ 5x 7 ， 3x2 1 ， ， ， ， ， 答：_.（填序号） 2、当 x 取何值时，分 式无意义？ 3、当 x 为何值时，分式的值为正？ 4、若分式的值为零 ,则 x 的值是 _。 模块四小结评价 本课知识点： 1 、 分 式 的 概 念 ：_ 4 / 25 2、分式有意义、无意义或等于零的条件： （ 1）分式有意义的条件：分式的的值不等于零； （ 2）分式无意义的条件：分式的的值等于零； （ 3）分式的值为零的条件：分式的的值等于零，且分式的的值不等于零； 二 、本课典型例题： 三、我的困惑： 第五章 分式与分式方程 第一节分式（二） 【学习目标】 1、让学生初步掌握分式的基本性质； 2、掌握分式约分方法，熟练进行约分； 3、了解什么是最简分式，能将分式化为最简分式； 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合 【学习重难点】重点：掌握分式的概念及其基本性质； 难点：正确区分整式与分式，以及运用分式的基本性质来化简分式。 【学习过程】 模块一预习反馈 学习准备 分式的基本性质：分 式的和都同时乘以（或除以）同一个不5 / 25 等于零的整式，分式的值不变。用字母表示为：，（ m 是整式，且 m0 ）。 2约分： （ 1）概念：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为 _ （ 2）约分的关键：找出分子分母的公因式； 约分的依据：分式的基本性质； 约分的方法：先把分子、分母分解因式（分子、分母为多项式时），然后约去它们的公因式，约分的最后结果是将一个分式变为最简分式或整式。 3最简分式：分子与分母没有 _的分式叫做最简分式。 二、教材精读 分析：解有关分式恒等变形的填空题，一般从分子或分母的已知项入手，观察变化方式，再把未知项作相应的变形。本题中是隐含条件。 注意：（ 1）要深刻理解 “ 都 ” 与 “ 同 ” 的含义， “ 都 ”的意思是分子与分母必须同时乘（或除以）同一个整式，“ 同 ” 说明分子与分母都乘（或除以）的整式必须是同一个整式。 在分式的基本性质中，要重视这个条件，如，隐含着这个条件，所以等式是正确的，但，分子、分母同乘 y，由于没有6 / 25 说明这个条件，所以这个等式变形不正确。 若原分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先把分式的分子 或分母用括号括上，再乘或除以整式 m，如：。 （ 4）分式的分子、分母或分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，如： ;若只改变其中一个的符号或三个符号，则分式的值变成原分式的值的相反数，如 . 模块二合作探究 4、填空： (1)=(2)= （ 3)=(4)= 5、约分：（ 1）（ 2）（ 3）（ 4） 6 、代数式 ， ， ， 中，是最简分式的是_.（填序号） 模块三形成提升 1、填空： （ 1）（ 2） 2、不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含 “ -”号 . (1)(2)（ 3)(4) 解： 3、判断下列约分是否正确： 7 / 25 （ 1） =（）（ 2） =（）（ 3） =0（） 4、把分式中的都扩大为原来的 3 倍，则分式的值变为原来的倍。 5、 化简分式 已知，求的值。 模块四小结评价 一、本课知识点： 二、本课典型例题： 第五章 分式与分式方程 第二节分式的乘除法 【学习目标】 1、经历探索分式的乘除法法则的过程，并结合具体情境说明其合理性； 2、会进行简单分式的乘除法计算，具有一定的化归能力； 3、在学知识的同时学到类比转化的思想方法，受到思维训练，能解决与分式有关的简单实际问题； 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合 【学习重难点】重点：掌握分式的乘除法法则； 难点：熟练地运用法则进行计算，提高运算能力。 【学习过程】 模块一预习反馈 一、学习准备 8 / 25 1、分式的乘除法法则（与分数的乘除法法则类似）：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的，把分母相乘的积作为积的；两分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式。 2、分式乘除法运算步骤和运算顺序： （ 1）步骤：对分式进行乘除运算时，先观察各分式，看各分式的分子、 分母能否分解因式，若能分解因式的应先分解因式。当分解因式完成以后，要进行 _，直到分子、分母没有 _时再进行乘除。 （ 2）顺序：分式乘除法与整式乘除法运算顺序相同，一般从左向右，有除法的先把除法转化为乘法。 二、教材精读 3、 分析：（ 1）题中分子、分母都是单项式，可直接运用法则计算；（ 2）应先分解因式，然后约分，但需注意符号的变化。 模块二合作探究 4、计算： 模块三形成提升 1、计算：（ 1）（ 2）（ 3） 9 / 25 模 块四小结评价 一、本课知识点： 1、分式的乘除法法则（与分数的乘除法法则类似）：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的，把分母相乘的积作为积的；两分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式。 二、本课典型例题： 第五章 分式与分式方程 第三节分式加减法（一） 【学习目标】 1、会进行简单分式的加减运算 ,具有一定的代数化归能力； 2、能解决一些简单的实际问题，进一步体会分式的模型作用； 3、结合已有数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气； 【学习方法】自主探究与小 组合作交流相结合 【学习重难点】重点：分式的通分； 难点：如何确定最简公分母。 【学习过程】 模块一预习反馈 学习准备 10 / 25 1、同分母分式相加减： （ 1）法则：同分母的分式相加减，不变，把相加减。 （ 2）注意： 字母表示为：。 “ 分子相加减 ” 是各个分式的 “ 分子整体 ” 相加减，即各个分子都应有括号。当分子为单项式时，括号可以省略；当分子为多项式时，括号不能省略。 分式加减运算的结果，必须化为最简分式或整式。 2、分式的通分： （ 1）概念：根据分式的基本性质，把异分母分式化 成同分母分式的过程，叫分式的 _。 （ 2）通分的方法：先求各分式的 _-，然后用每一个分式的分母去除这个最简公分母，用所得的商去乘相应分式的分子、分母； （ 3）通分的依据： _。 二、教材精读 3、进一步理解同分母的分式相加减的法则： 分析：（ 1）同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，结果要化成最简分式或整式；（ 2）因为，把分式化成同分母后，依同分母分式加减法法则运算。 通分： 分析：通 分的关键：确定几个分式的最简公分母。 11 / 25 模块二合作探究 5、分式，的最简公分母是 6、计算： (1)(2) 模块三形成提升 1、通分：（ 1）和（ 2）和（ 3）和 2、计算：（ 1）（ 2） （ 3） 模块四小结评价 一、本课知识点： 1、同分母分式相加减：法则：同分母的分式相加减，不变，把相加减。 2、分式通分的概念：根据分式的基本性质，把异分母分式化成同分母分式的过程，叫分式的 _。 二、本课典型例题： 三 、我的困惑： 第五章 分式与分式方程 第三节分式加减法（二） 【学习目标】 1、会进行异分母分式的通分； 12 / 25 2、会进行异分母分式的加减运算； 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合 【学习重难点】重点：掌握异分母分式的加减运算； 难点：分式的混合运算，异分母分式相加减要先通分，通分时注意分子和分母同乘以一个整式，避免出现分母乘分子不乘的错误；进行分式运算时要注意运算顺序。 【学习过程】 模块一预习反馈 学习准备： 1、异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为 _的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。 2、分式的混合运算： 与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘除，后算加减，遇有括号，先算括号内的。 3、确定最简公分母的一般步骤： 取各分母的 _的最小公倍数； 凡出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式都要取； 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取_的； 如 果 分 母 是 多 项 式 ， 一 般 应 先13 / 25 _。 二、教材精读： 3、进一步理解异分母分式的加减法法则 分析：先找最简公分母，再通分把它们化成同分母分式，然后再相加减。 模块二合作探究 4、（ 2） 5、 6、用两种不同的运算顺序计算 7、计算： 模块三形成提升 1、计算：（ 1）（ 2）（ 3） 2、计算：（ 1）（ 2）（ 3） 3、计算： (1)(2) 模块四小结评价 一、本课知识点： 异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为 _的分式，然后再按同分母分式的加减法14 / 25 法则进行计算。 二、本课典型例题： 三、我的困惑： 第五章 分式与分式方程 第四节分式方程（一） 【学习目标】 1、能找出现实情景中的等量关系； 2、会通过设适当的未知数根据等量关系列出分式方程； 3、通过列出的方程归纳出它们的共同特点，得出分式方程的概念 .了解分式的概念，明确分式和整式的区别； 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合 【学习重难点】重点：理解分式方程的定义、找出问题中的等量关系列出方程； 难点：如何找出等量 关系，如何把等量关系转化为分式方程。 【学习过程】 模块一预习反馈 学习准备： 1、分式方程的概念：中含有未知数的方程叫做分式方程； 2、判断分式方程的条件： 方程； 分母中含有未知数； 3、与整式方程的区别：分母中是否含有 _； 4、列分式方程解应用题。 15 / 25 二、教材精读： 5、进一步理解分式方程 例 1 中是分式方程的有（） A 2 个个个个 6、例 2 甲、乙两地相距 1500km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的倍。 （ 1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？ （ 2）如果设特快列车的平均速度为 xkm/h，那么 x 满足怎样的方程？ （ 3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 yh，那么 y 满足怎样的方程？ 解： 模块二合作探究 6、例 2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知七年级同学捐款总额为 4900 元，八年级同学捐款总额为 5000 元，八年级捐款人数比七年级多 20 人，而且两个年级人均捐款额恰好相等。如果设七年级 捐 款 人 数 为 x 人 ， 那 么 x 满 足 怎 样 的 方 程 ？_（列出方程） 16 / 25 模块三形成提升 1、 A、； B、； c、中，（）是分式方程 ,（）是整式方程。理由：_。 2、判断下列方程中哪些是分式方程？ （ 1）；（ 2）；（ 3）； （ 4）；（ 5）；（ 6）； （ 7）；（ 8）答： _。（填序号） 3、甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做 1 天后，再由两队合作 2 天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、 乙两队单独完成各需多少天？ 解：设 列出方程为：。 模块四小结评价 一、本课知识点： 1、分式方程的概念：中含有未知数的方程叫做分式方程； 2 、 判 断 分 式 方 程 的 条 件 ：_. 二、本课典型例题： 三、我的困惑： 17 / 25 第五章 分式与分式方程 第四节分式方程（二） 【学习目标】 1、体会分式方程到整式方程的转化思想，掌握分式方程的解法； 2、了解分式方程产生增根的原因，会检验根的合理性； 3、培养学生的数学转化思想和观察、类比、探索的能力； 【学习方法】自主探究总结与小组合作交流相结合 【学习重难点】重点：掌握分式方程的解法解、分式方程要验根； 难点：解分式方程及验根。 【学习过程】 模块一预习反馈 学习准备： 1、解分式方程的一般步骤： （ 1）去分母（即在方程的两边都乘以最简公分母），把原分式方程化为； （ 2）解这个整式方程； （ 3）检验：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母的值不等于零的根是原分式方程的，使最简公分母的值等于零的根是原方程的。 2、增根 18 / 25 （ 1）概念：将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解 (或根 )，这种根通常称为增根； （ 2）认识增根： 增根是去分母后所得的根； 增根使最简公分母的值为； 增根（填 “ 是 ” 或 “ 不是 ” ）原方程的根。 教材精读： 3、进一步理解如何解分式方程 例 1 解方程 解 ： 方 程 两 边 都 乘 _ ，得_. 解 这 个 方 程 ， 得_ 检 验 ： 将 _ ，得_ 所以_ 例 2 解方程： 解 ： 方 程 两 边 都 乘 _ ，得_. 19 / 25 解 这 个 方 程 ， 得_ 检 验 ： 将 _ ，得_ 所以_ 模块二合作探究 4、解分式方程 解 ： 方 程 两 边 都 乘 _ ，得_. 解 这 个 方 程 ， 得_ 检 验 ： 将 _ ，得_ 所以_ 5、若方程有增根，求 m 的值。 20 / 25 分析：若分式方程有增根，则最简公分母必须等于零，由此我们可以找出所有可能的增根，再利用增根满足整式方程，列出关于 m 的方程，求出 m 的值即可。 模块三形成提升 1、关于 x 的方程有增根，则增根只能是（） A、 1B、 2c、 3D、 0 2、关于 x 的方程有增根，则的值为（） A、 1B、 0c、 D、 3、解下列方程： 4、当为何值时，关于 x 的方程有增根。 模块四小结评价 一、本课知识点： 1 、 解 分 式 方 程 的 一 般 步 骤 ：_ 2 、 什 么 是 增 根 ：_ 二、本课典型例题： 21 / 25 三、我的困惑： 第五章 分式与分式方程 第四节分式方程（三） 【学习目标】 1、经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程； 2、掌握列分式方 程解应用题的一般步骤； 3、会列出分式方程解决简单的应用题，提高学生的分析问题、解决问题的能力和应用意识； 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合 【学习重难点】重点：列分式方程解应用题； 难点：对所求出的分式方程的根进行检验的思想的重视 【学习过程】 模块一预习反馈 学习准备： 1、列分式方程解应用题的一般步骤： （ 1）：审清题意； （ 2）：设未知数； （ 3）：找出等量关系； （ 4）：列出分式方程； （ 5）：解这个分式方程； （ 6）：检验，既要验证根 是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意； 22 / 25 （ 7）：写出答案。 2、列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的区别： 列分式方程解应用题时要注意，既要验证求出的未知数的值是否是所列分式方程的根，又要检验根是否。 教材精读： 3、例 1 甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工 90 个玩具所用的时间与乙加工 120个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两人每天共加工 35 个玩具，求甲乙两人每天各加工多少个玩具？ 分析：等量关系是：甲用的时间与乙用的时间相等。 解题方案： 解：设甲每天加工个玩具，则乙每 天加工（）个玩具， 甲加工 90个玩具所用的时间为 _，乙加工 120个玩具所用的时间为 _； 根据题意 ,列出相应方程 _； 解这个方程得 _； 检验： _； 答：甲每天加工 _个玩具，乙每天加工 _个玩具。 模块二合作探究 4、例 2 某市从今年 1 月 1 日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 .小丽家去年 12 月的水费是 15 元，而今年 7 月23 / 25 的水费则是 30元。已知小丽家今年 7 月的水量比 去年 12月的用水量多 5，