分期付款中的有关计算（二）

1 / 7 分期付款中的有关计算（二） 分期付款中的有关计算（二） 教学目的： 通过 “ 分期付款中的有关计算 “ 的教学，使学生学会从数学角度对某些日常生活中的问题进行研究 教学重点：分期付款问题进行独立探究的基本步骤 教学难点：将实际问题转化为数学问题 一、复习引入： 1研究性课题的基本过程： 生活实际中的问题存在的可行方案启迪思维留有余地 搜集整理信息独立探究个案提出解答并给答辩 创建数 学模型验证并使用模型结论分析 2分期付款使用模型：分期付款购买售价为 a 的商品 ,分 n 次经过 m 个年（月）还清贷款 ,每年（月）还款 x,年（月）利率为 p,则每次应付款： 二、例题讲解 例 1 购买一件售价为 a 元的商品。采用分期付款时要求在 m个月内将款全部付清，月利率为 p，分 n(n是 m 的约数 )次付款，那么每次付款数的计算公式为 推导过程：设每次付款 x 2 / 7 则：第 1 期付款 x 元（即购货后个月时），到付清款时还差个月，因此这期所付款连同利息 之和为： 第 n 期付款（即最后一次付款） x 元时，款已付清，所付款没有利息 . 各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为： 货款到 m 个月后已增值为 根据规定可得： 即： 解之得： 例 2 某人，公元 2000 年参加工作，考虑买房数额较大。需做好长远的储蓄买房计划，打算在 XX年的年底花 50万元购一套商品房，从 2001 年初开始存款买房，请你帮我解决下列问题： 方案 1：从 2001 年开始每年年初到建设 银行存入 3 万元，银行的年利率为 %，且保持不变，按复利计算（即上年利息要计入下年的本金生息），在 XX年年底，可以从银行里取到多少钱？若想在 XX年年底能够存足 50万，每年年初至少要存多少呢？ 方案 2：若在 2001 年初向建行贷款 50万先购房，银行贷款3 / 7 的年利率为 %，按复利计算，要求从贷款开始到 XX 年要分 10年还清，每年年底等额归还且每年 1 次，每年至少要还多少钱呢？ 方案 3：若在 2001 年初贷款 50 万元先购房，要求从贷款开始到 XX 年要分 5 期还清，头两年第 1 期付款，再过两年付第二期 ，到 XX 年年底能 够还清，这一方案比方案 2 好吗？ 启迪思维，留有余地： 问题 1：按各种方案付款每次需付款额分别是多分别是多少？ 每次付款额是 50万元的平均数吗？（显然不是，而会偏高） 那么分期付款总额就高于买房价，什么引起的呢？（利息） 问题 2：按各种方案付款最终付款总额分别是多分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是可以归结为上一问题）。 于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多分别是多少？ 设为 x。 搜集、 整理信息： (1)分期付款中规定每期所付款额相同 ; (2)每年利息按复利计算 ,即上年利息要计入下年本金 . 例如 ,由于年利率为 %， ,款额 a 元过一个年就增值为 4 / 7 a(1+%)=(元 ); 再过一个月又增值为 (1+%)=(元 ) 独立探究方案 1 可将问题进一步分解为： 1.商品售价增值到多少？ 2.各期所付款额的增值状况如何？ 3当贷款全部付清时，房屋售价与各期付款额有什么关系？ 提出解答 ,并给答辩： 按复利计算存 10年本息和（即从银行里取到钱）为： 3+3+3 = （万元） 设每年存入 x 万元，在 XX年年底能够存足 50万则： 解得 x=（万元） 通过方案 1 让学生了解了银行储蓄的计算，也初步掌握了等比数列在银行储蓄中的应用，储蓄买房时间长久，显然不切合我的实际，于是引出分期付款问题； 独立探究方案 2： 分析方法 1：设 每年还 x，第 n 年年底欠款为，则 2001年底： =50（ 1+%） x 2002年底： =（ 1+%） x =50 （ 1+%） x x 5 / 7 XX年底： =（ 1+%） x =50 x （ 1+%） x x =50 解得： （万元） 分析方法 2： 50 万元 10 年产生本息和与每年存入 x 的本息和相等，故有 购房款 50万元十年的本息和： 50 每年存入 x 万元的本息和： x+x+x =x 从而有 50 x 解得： x=（万元）， 10年共付：万元。 独立探究方案 3： 分析：设每期存入 x 万元，每一期的本息和分别为：第 5 期为 x，第 4 期 x，第 3 期 x，第二期： x，第 1 期 x，则有 1+x =50 解得： （万元） 此时， 10年共付： 5= （万元） 创建数学模型： 比较方案 1、 2、 3 结果，经过猜想得：分期付款购买售价为 a的商品 ,分 n次经过 m个年还清贷款 ,每年还款 x,年利率为 p,则 6 / 7 验证并使用模型：（ 略） 结论分析： 方案 类别 付（存）款 次数 付（存）款方法 每期所付款表达式 每期 付款 付款 总额 1 10 每隔 1 年存款 1 次，存 10次 50 2 10 每年付款 1 次，付 12次 7 / 7 3 5 每隔 2 年付款 1 次，付 5 次 方案 3 比方案 2 多付了： =(万元 )。所以方案 2 更好。 方案 1每年虽存款少，但需等 10年后才能买房。由于 (万元 )，如若本地的年房租低于 (万元 )就可以考虑先租 10年房后再买房的方案，当然还要考虑 10 年后的房价是升还降的