圆的标准方程教案

1 / 5 圆的标准方程教案 1.教学目标 (1)知识目标 :1.在平面直角坐标系中 ,探索并掌握圆的标准方程 ; 2.会由圆的方程写出圆的半径和圆心 ,能根据条件写出圆的方程 . (2)能力目标 :1.进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力 ; 2.使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解 ; 3.增强学生用数学的意识 . (3)情感目标 :培养学生主动探究知识、合作交流的意识 ,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣 . 2.教学重点 .难点 (1)教学重点 :圆的标准方程的求法及其应用 . (2)教学难点 :会根据不同 的已知条件 ,利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰 当的坐标系解决与圆有关的实际问题 . 3.教学过程 (一 )创设情境 (启迪思维 ) 问题一 :已知隧道的截面是半径为 4m 的半圆 ,车辆只能在道路中心线一侧行驶 ,一辆宽为 ,高为 3m 的货车能不能驶入这个隧道 ? 2 / 5 引导 画图建系 学生活动 :尝试写出曲线的方程 (对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习 ) 解 :以某一截面半圆的圆心为坐标原点 ,半圆的直径 AB 所在直线为 x轴 ,建立直角坐标系 ,则半圆的方程为 x2y2=16(y0) 将 x=代入 ,得 . 即在离 隧道中心线处 ,隧道的高度低于货车的高度 ,因此货车不能驶入这个隧道。 (二 )深入探究 (获得新知 ) 问题二 :1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点 ,半径为的圆的方程 ? 答 :x2y2=r2 2.如果圆心在 ,半径为时又如何呢 ? 学生活动 探究圆的方程。 教师预设 方法一 :坐标法 如图 ,设 m(x,y)是圆上任意一点 ,根据定义点 m 到圆心 c 的距离等于 r,所以圆 c 就是集合 P=m|mc|=r 由两点间的距离公式 ,点 m 适合的条件可表示为 把 式两边平方 ,得 (xa)2(yb)2=r2 方法二 :图形变换法 方法三 :向量平移法 (三 )应用举例 (巩固提高 ) 3 / 5 I.直接应用 (内化新知 ) 问题三 :1.写出下列各圆的方程 (课本 P77练习 1) (1)圆心在原点 ,半径为 3; (2)圆心在 ,半径为 ; (3)经过点 ,圆心在点 . 2.根据圆的方程写出圆心和半径 (1);(2). II.灵活应用 (提升能力 ) 问题四 :1.求以为圆心 ,并且和直线相切的圆的方程 . 教师引导 由问题三知 :圆心与半径可以确定圆 . 2.已知圆的方程为 ,求过圆上一点的切线方程 . 学生活动 探究方法 教师预设 方法一 :待定系数法 (利用几何关系求斜率 -垂直 ) 方法二 :待定系数法 (利用代数关系求斜率 -联立方程 ) 方法三 :轨迹法 (利用勾股定理列关系式 )多媒体课件演示 方法四 :轨迹法 (利用向量垂直列关系式 ) 3.你能归纳出具有一般性的结论吗 ? 已知圆的方程是 ,经过圆上一点的切线的方程是 :. III.实际应用 (回归自然 ) 问题五 :如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图 ,该圆拱跨度AB=20m,拱高 oP=4m,在建造时每隔 4m 需用一个支柱支撑 ,求4 / 5 支柱的长度 (精确到 ). 多媒体课件演示创设实际问题情境 (四 )反馈训练 (形成方法 ) 问题六 :1.求以 c(-1,-5)为圆心 ,并且和 y 轴相切的圆的方程 . 2.已知点 A(-4,-5),B(6,-1),求以 AB为直径的圆的方程 . 3.求圆 x2y2=13 过点 (-2,3)的切线方程 . 4.已知圆的方程为 ,求过点的切线方程 . (五 )小结反思 (拓展引申 ) 1.课堂小结 : (1)圆心为 c(a,b),半径为 r 的圆的标准方程为 : 当圆心在原点时 ,圆的标准方程为 : (2)求圆的方程的方法 : 找出圆心和半径 ; 待定系数法 (3)已知圆的方程是 ,经过圆上一点的切线的方程是 : (4)求解应用问题的一般方法 2.分层作业 :(A)巩固型作业 :课本 P81-82:(习题 ) (B)思维拓展型作业 : 试推导过圆上一点的切线方程 . 3.激发新疑 : 问题七 :1.把圆的标准方程展开后是什么形式 ? 2.方程 :的曲线是什么图形 ? 教学设计说明 5 / 5 圆是学生比较熟悉的曲线 ,初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究 ,因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。 .首先 ,在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上 ,用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程 ,然后 ,利用圆的标 准方程由浅入深的解决问题 ,并通过圆的方程在实际问题中的应用 ,增强学生用数学的意识。另外 ,为了培养学生的理性思维 ,我分别在引例和问题四中 ,设计了两次由特殊到一般的学习思路 ,培养学生的归纳概括能力。在问题的设计中 ,我用一题多解的探究 ,纵向挖掘知识深度 ,横向加强知识间的联系 ,培养了学生的创新精神 ,并且使学生的有效思维量加大 ,随时对所学知识和方法产生有意注意 ,能力与知识的形成相伴而行 ,这样的设计不但突出了重点 ,更使难点的突破水到渠成 . 本节课的设计了五个环节 ,以问题为纽带 ,以探究活动为载体 ,使学生在问题的指引下、 教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入 ,