复数的有关概念

1 / 7 复数的有关概念 复数的有关概念教学目标 (1)把握复数的有关概念 ,如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。 (2)正确对复数进行分类 ,把握数集之间的从属关系 ; (3)理解复数的几何意义 ,初步把握复数集 c 和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。 (4)培养学生数形结合的数学思想 ,练习学生条理的逻辑思维能力 . 教学建议 (一 )教材分析 1、知识结构 本节首先介绍了复数的有关概念 ,然后指出复数相等的充要条件 ,接着介绍了有关复数的几何表 示 ,最后指出了有关共轭复数的概念 . 2、重点、难点分析 (1)正确复数的实部与虚部 对于复数 ,实部是 ,虚部是 .注重在说复数时 ,一定有 ,否则 ,不能说实部是 ,虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。 说明 :对于复数的定义 ,非凡要抓住这一标准形式以及是实数这一概念 ,这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。 2 / 7 (2)正确地对复数进行分类 ,弄清数集之间的关系 分类要求不重复、不遗漏 ,同一级分类标准要统一。根据上述原则 ,复数集的分类如下 : 注重分清复数分类中的界限 : 设 ,则为实数 为虚数 且。 为纯 虚数且 (3)不能乱用复数相等的条件解题 .用复数相等的条件要注重 : 化为复数的标准形式 实部、虚部中的字母为实数 ,即 (4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时 ,要注重 : 任何一个复数都可以由一个有序实数对 ()唯一确定 .这就是说 ,复数的实质是有序实数对 .一些书上就是把实数对 ()叫做复数的 . 复数用复平面内的点 Z()表示 .复平面内的点 Z 的坐标是(),而不是 (),也就是说 ,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是 1,而不是 .由于 =0+1, 所以用复平面内的点 (0,1)表示时 ,这点与原点的距 离是 1,等于纵轴上的单位长度 .这就是说 ,当我们把纵轴上的点 (0,1)标上虚数时 ,不能以为这一点到3 / 7 原点的距离就是虚数单位 ,或者就是纵轴的单位长度 . 当时 ,对任何 ,是纯虚数 ,所以纵轴上的点 ()()都是表示纯虚数 .但当时 ,是实数 .所以 ,纵轴去掉原点后称为虚轴 . 由此可见 ,复平面 (也叫高斯平面 )与一般的坐标平面 (也叫笛卡儿平面 )的区别就是复平面的虚轴不包括原点 ,而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点 . 复数 z=a+bi 中的 z,书写时小写 ,复平面内点 Z(a,b)中的Z,书写时大写 .要学生注重 . (5)关于共轭复数的概念 设 ,则 ,即与的实部相等 ,虚部互为相反数 (不能认为与或是共轭复数 ). 教师可以提一下当时的非凡情况 ,即实轴上的点关于实轴本身对称 ,例如 :5和 -5也是互为共轭复数 .当时 ,与互为共轭虚数 .可见 ,共轭虚数是共轭复数的非凡情行 . (6)复数能否比较大小 教材最后指出 :“ 两个复数 ,假如不全是实数 ,就不能比较它们的大小 ”, 要注重 : 根据两个复数相等地定义 ,可知在两式中 ,只要有一个不成立 ,那么 .两个复数 ,假如不全是实数 ,只有相等与不等关系 ,而不能比较它们的大小 . 命题中的 “ 不能比较它们的 大小 ” 的确切含义是指 :“ 不论怎样定义两个复数间的一个关系 ,都不能使这关4 / 7 系同时满足实数集中大小关系地四条性质 ”: (i)对于任意两个实数 a,b来说 ,ab,a=b,ba 这三种情形有且仅有一种成立 ; (ii)假如 ab,bc,那么 ac; (iii)假如 ab,那么 a+cb+c; (iv)假如 a0,那么 acbc.(不必向学生讲解 ) (二 )教法建议 1.要注重知识的连续性 :复数是二维数 ,其几何意义是一个点 ,因而注重与平面解析几何的联系 . 2.注重数形结合的数形思想 :由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系 ,所以用 “ 形 ” 来解决 “ 数 ” 就成为可能 ,在本节要注重复数的几何意义的讲解 ,培养学生数形结合的数学思想 . 3.注重分层次的教学 :教材中最后对于 “ 两个复数 ,假如不全是实数就不能本节它们的大小 ” 没有证实 ,假如有学生提出来了 ,在课堂上不要给全体学生证实 ,可以在课下给学有余力的学生进行解答 . 复数的有关概念 教学目标 1.了解复数的实部 ,虚部 ; 2.把握复数相等的意义 ; 3.了解并把握共轭复数 ,及在 复平面内表示复数 . 5 / 7 教学重点 复数的概念 ,复数相等的充要条件 . 教学难点 用复平面内的点表示复数 m. 教学用具 :直尺 课时安排 :1课时 教学过程 : 一、复习提问 : 1.复数的定义。 2.虚数单位。 二、讲授新课 1.复数的实部和虚部 : 复数中的 a 与 b 分别叫做复数的实部和虚部。 2.复数相等 假如两个复数与的实部与虚部分别相等 ,就说这两个复数相等。 即 :的充要条件是且。 例如 :的充要条件是且。 例 1:已知其中 ,求 x 与 y. 解 :根据复数相等的意义 ,得方程组 : 例 2:m 是什么实数时 ,复数 , 6 / 7 (1)是实数 ,(2)是虚数 ,(3)是纯虚数 . 解 : (1) 时 ,z是实数 , , 或 . (2) 时 ,z是虚数 , , 且 (3) 且时 , z 是纯虚数 . 3.用复平面 (高斯平面 )内的点表示复数 复平面的定义 建立了直角坐标系表示复数的平面 ,叫做复平面 . 复数可用点来表示 .(如图 )其中 x轴叫实轴 ,y轴除去原点的部分叫虚轴 ,表示实数的点都在实轴上 ,表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴 x 上 ,不在虚轴上 . 4.复数的几何意义 : 复数集 c 和复平面所有的点的集合是一一对 应的 . 5.共轭复数 (1)当两个复数实部相等 ,虚部互为相反数时 ,这两个复数叫做互为共轭复数。 (虚部不为零也叫做互为共轭复数 ) (2)复数 z 的共轭复数用表示 .若 ,则 :; (3)实数 a的共轭复数仍是 a本身 ,纯虚数的共轭复数是它的相反数 . 7 / 7 (4)复平面内表示两个共轭复数的点 z 与关于实轴对称 . 三、练习 1,2,3,4. 四、小结 : 1.在理解复数的有关概念时应注重 : (1)明确什么是复数的实部与虚部 ; (2)弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求 ; (3)弄清复平面与复数的几何意义 ; (4)两个复数不全是实数就不能比较大小。 2.复数集与复平面上的点注重事项 : (1)复数中的 z,书写时小写 ,复平面内点 Z(a,b)中的 Z,书写时大写。 (2)复平面内的点 Z 的坐标是 (a,b),而不是 (a,bi),也就是说 ,复平面内的纵坐标轴上的单