大一高数知识点总结

1 / 114 大一高数知识点总结 第一章 基础知识部分 &初等函数 一、函数的概念 1、函数的定义 函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。 设有两个变量 x 与 y，如果对于变量 x 在实数集合 D 内的每一个值，变量 y按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称 x 是自变量， y是 x 的函数 ，记作 y=f，其中自变量x 取值的集合 D 叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 2、函数的表示方法 解析法 即用解析式表示函数。如 y=2x+1, y= x ，y=lg(x+1),y=sin3x 等。 便于对函数进行精确地计算2 / 114 和深入分析。 列表法 即用表 格形式给出两个变量之间函数关系的方法。 便于差的某一处的函数值。 图像法 即用图像来表示函数关系的方法 非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。 分段函数 即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如 1?2x?1, x?0?xsin, f?x?y?x ?2x?1,x?0?0 x?0 x?0 3 / 114 隐函数 相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如 y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量 x、 y 之间的函数关系式是由一个含 x， y 的方程 F(x,y)=0 给出的，如2x+y-3=0， e可得 y=3-2x，即该隐函数可化为显函数。 参数式函数 若变量 x,y之间的函数关系是通过参数式方程 ? x?y 而由 2x+y-3=0?x?y?0 等。 ?x?t?， ?t?T?给出的， ?y?t? 这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t 称为参数。 反函数 如果在已给的函数 y=f(x)中，把 y看作自变量，x 也是 y 的函数，则所确定的函数 x=(y) 叫做 y=f(x)的反4 / 114 函数，记作 x=f1(y) 或 y= f1(x)( 以 x表示自变量 ). 二、函数常见的性质 1、单调性 2、奇偶性 =f；奇：关于 y 轴对称， f=-f(x).） 3、周期性=f， T为周期） 4、有界性 2、复合函数 如果 y 是 u的函数 y=f(u),而 u又是 x的函数 u=(x) ，且 (x) 的值域与 f(x)的定义域的交非空，那么 y 也是 x的函数，称为由 y=f(u)与 u=(x) 复合而成的复合函数，记作 y=f(x) 。 3、初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。 四、函数关系举例与经济函数关系式 1、函数关系举例 2、经济函数关系式 5 / 114 总成本函数 总成本 = 固定成本 + 变动成本 平均单位成本 =总成本 /产量 总收益函数 销售总收益=销售价格 产量 总利润函数 总利润 =销售总收益 -总成本 需求函数 若其他因素不变，需求量 Q=f(P)(P 为产品销售价格 ) &函数的极限 一、数列的极限 对于无穷数列 an，当项数 n 无限增大时，如果 an 无限接近于一个确定的常数 A，则 lim 称 A 为数列 an的极限，记为 a=A，或当 n 时， anA 。 nn lim1lim 6 / 114 若数列 an存在极限，也称数列 an收敛，例如 ?0， C?C， q=0q?1) 。 n 若数列 an没有极限，则称数列 an发散。 数列极限不存在的两种情况： 数列有界，但当 n 时，数列通项不与任何常数无限接近，如： ?1? n?1 ； 数列无界，如数列 n2。 二、当 x0 时，函数 f的极限 如果当 x 的绝对值无限增大时，函数 f(x)无限地接近一个确定的常数 A，那称 A 为函数 f(x)当 x 时的极限，记作 7 / 114 lim f?x?A，或当 x 时， f(x) A 。 x? 单 向极限定义 如果当 x?或 ?x?时，函数 f(x)无限接近一个确定的长寿湖 A，那么称 A为函数 f(x)当 x?或 ?x?时得极限，记作 lim?lim? ?。 ?f?x?A?fx?A?x?n? 三、当 XXo 时，函数 f 的极限 1、当 XXo 时，函数 f(x)的极限定义 如果当 x无限接近Xo(记作 XXo) 时，函数 f(x)无限接近于一个确定的常数 A，则称 A为函数 f(x)当 XXo 时的极限，记作 lim 8 / 114 f?x?A，或当 XXo 时， f(x) A 。 n? 2、当 XXo 时，函数 f(x)的左极限和右极限 如果当 XXo 时，函数 f(x)无限接近一个确定的常数 A，则称函数 f(x)当 XXo 时的左极限为 A，记作四、无穷大与无穷小 1、无穷大与无穷小的定义 ? ?lim?fx?Af?x?x?x0?x?x0 lim ? A?。 ? 9 / 114 lim 如果当 XXo 时， f(x)0 ，就称 f(x)当 XXo 时的无穷小，记作 f?x?0；如 x?x0 果当 XXo 时， f(x)的绝对值无限增大，就称函数 f(x)当XXo 时为无穷大，记作 lim f?x?。其中，如果当 XXo 时， f(x)向正的方向无限增大，就称函数 f(x)当 X x?x0 lim Xo 时为正无穷大，记作 f?x?；如果当 XXo 时， f(x)向负的方向无限增大， 10 / 114 x?x0 就称函数 f(x)当 XXo 时为负无穷大，记作 2、无穷小与无穷大的关系 在自变量的同一变化中，如果 f(x)为无穷大，那么 lim f?x?。 x?x0 1 为无穷小；反之，如果 f(x)f(x) 为无穷小，那么 1 11 / 114 为无穷大。 f(x) 根据这个性质，无穷大的问题可以转化为无穷小的问题。 3、无穷小的性质 性质 1：有限个无穷小的代数和为无穷小； 性质 2：有限个无穷小的乘积为无穷小； 性质 3：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。 4、无穷小的比较 设 a 与 b 是自变量同一变化中的两个无穷小，记作 a=o(b)； a =0，则称 a是比 b 低阶的无穷小； ba (2) 如果 lim=, 则称 a 是比 b高 阶的无穷小； b (1)如果 lim 12 / 114 a =c(c为非零的常数 ),则称 a是比 b 同阶的无穷小。 b a 特别的，当 c=1,即 lim=1 时，称 a 与 b 是等阶无穷小，记作a b。 b (3) 如果 lim &极限运算法则 法则一 若 lim u=A， lim v=B，则 lim(uv)=lim ulim v=AB; 法则二 若 lim u=A， lim v=B，则 lim(uv)=lim ulim v=AB ； 法则三 若 lim u=A， lim v=B，且 B0 ，则 lim 13 / 114 ulimuA= vlimvB 推论 若 lim u=A， C 为常数， kN ，则 (1)lim Cu=Clim u=CA ； (2)lim u= (lim u)k=A 注 运用这一法则的前提条件是 u与 v 的极限存在。 k k &两个重要极限 一、 limsin x =1 x?0x 14 / 114 lim?1?x 二、 ?1?=e x?x? &函数的连续性 一、函数连续性的概念 1.函数在某点的连续性 若函数 f(x)在点 x0及其左右有定义，且处连续， x0 为函数f(x)的连续点。 理解这个定义要把握三个要点： f(x)要在点 x0及其左右有定义； lim f(x)=f(x0)，则称函数 f(x)在点 x0 15 / 114 x?x0 lim f(x)要存在 x?x0 lim f(x)= f(x0)。 x?x0 增量 x=x -x0 y= f(x) - f(x0) 设函数 f(x)在点 x0 及其左右有定义，如果当自变量 x 在点x0 处的增量 x 趋近于零时，相应的函数增量 y 也趋近于零，即 16 / 114 lim 则称函数 f(x)在点 x0处连续， x0?y?0， ?x?0 为 f(x)的连续点。 2.函数在区间上的连续性、连续函数 如果函数 f(x)在区间上每一点上连续，则称函数 f(x)在区间上连续。 如果函数 f(x)在某个区间上连续，就称 f(x)是这个区间上的连续函数。 二、连续函数的运算与初等函数 的连续性 1.连续函数的运算 如果两个函数在某一点连续，那么它们的和、差、积、商在这一点也连续。 设函数 u?在点 x0 处连续，且 u0?x0?，函数 y=f(u)17 / 114 点 u0处连续，那么复合函数 y?f(?x0?)在点 x0处也连续。 2.初等函数的连续性 初等函数在其定义域内是连续的。 第二章 微分与导数 &导数的概念 设函数 y=f(x)在点 x0 处及其左右两侧的小范围内有定义，当 x0 时，若 ?y 得极限 ?x 存在，则称 y=f(x)在点 x0 处可导，并称此极限值为函数y=f(x) 点 x0处的导数，记作 limf?x0?x?f?x0?y 18 / 114 ， ?x0?f ? ?x?0?x?x?0?x lim 还可记作 y x?x0或 dydy x?x0 dxdx x?x0 19 / 114 。 ? (x0)和 f? (x0)都存在且等于 A， 即 函数 f(x)在点 x0可导且 f(x0)=A 等价于 f? ?x0?f?x0?A。 f?x0?A?f? 根据这个定理，函数在某点的左、右导数只要有一个不存在，或者虽然都存在但不相等， 该点的导数就不存在。 &导数的四则运算法则和基本公式 第一讲 : 一 . 数列函数 : 1. 类型 : 极限与连续 (1)数列 : *an?f(n); *an?1?f(an) (2)初等函数 : (3)分段函数 : *F(x)? 20 / 114 ?f1(x)x?x0?f(x)x?x0 ; *F(x)?;* , ?ax?x0?f2(x)x?x0 (4)复合 (含 f)函数 : y?f(u),u?(x) (5)隐式 (方程 ): F(x,y)?0 (6)参式 (数一 ,二 ): ? ?x?x(t) ?y?y(t) (7)变限积分函数 : F(x)? ? x 21 / 114 a f(x,t)dt (8)级数和函数 (数一 ,三 ): S(x)? 2. 特征 (几何 ): ?ax,x? nnn?0 ? (1) 单 调 性 与 有 界 性 ( 判别 ); (f(x) 单调 ?x0,(x?x0)(f(x)?f(x0)定号 ) (2)奇偶性与周期性(应用 ). 3. 反函数与直接函数 : y?f(x)?x?f 二 . 极限性质 : 1. 类型 : *liman; *limf(x)(含 x?); *limf(x)(含x?x0?) n? 22 / 114 x? ?1 (y)?y?f?1(x) x?x0 2. 无穷小与无穷大 (注 : 无穷量 ): 3. 未定型 : 0? ,1,?,0?,00,?0 0? 4. 性质 : *有界性 , *保号性 , *归并性 三 . 常用结论 : an n?1, a(a?0)?1, (a?b?c?maxa(b, c, ) ?a?0?0 n! 23 / 114 n n 1n1n1nn 1xnlnnxx x?1, lix?0?0, (x?0)?, lim, lim? x?x?x?0xex x xlnx?0 lim, e?x?0? n ?0x? , 24 / 114 ?x? 四 . 必备公式 : 1. 等价无穷小 : 当 u(x)?0时 , ux(?)ux(; ) tanu(x)?u(x); 1?cosu(x)? sin 12 u(x); 2 eu(x)?1?u(x); ln(1?u(x)?u(x); (1?u(x)?1?u(x); unx(?)ux; ( arctanu(x)?u(x) arcsi 2. 泰勒公式 : 12 25 / 114 x?o(x2); 2!122 (2)ln(1?x)?x?x?o(x); 2134 (3)sinx?x?x?o(x); 3! 12145 (4)cosx?1?x?x?o(x); 2!4! ?(?1)2? x?o(x2). (5)(1?x)?1?x? 2! 26 / 114 (1)e?1?x? x 五 . 常规 方法 : 前提 : (1)准确判断 , 1. 抓大弃小 ( 0?1 ,1,?M(其它如 :?,0?,00,?0); (2)变量代换(如 :?t) 0?x ?), ? 2. 无穷小与有界量乘积 (?M) (注 :sin ? 1 ?1,x?) x 27 / 114 3. 1处理 (其它如 :0,?) 4. 左右极限 (包括 x?): 1 1x (1)(x?0); (2)e(x?); ex(x?0); (3)分段函数 : x, x, maxf(x) x 00 5. 无穷小等价替换 (因式中的无穷小 )(注 : 非零因子 ) 6. 洛必达法则 (1)先 ” 处理 ”, 后法则 ( 0xlnxxlnx 最后方法 ); (注意对比 : lim 与 lim) x?1x?001?x1?x v(x) 28 / 114 (2)幂指型处理 : u(x)?e v(x)lnu(x) (如 : e 1x?1 ?e?e(e 1x1x11?x?1x ?1) (3)含变限积分 ; (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式 (皮亚诺余项 ): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数 : f(x)?limF(x,n)(?分段函数 ) n? 29 / 114 六 . 非常手段 1. 收敛准则 : (1)an?f(n)?limf(x) x? (2)双边夹 : *bn?an?cn?, *bn,cn?a? (3)单边挤 : an?1?f(an) *a2?a1? *an?M? *f(x)?0? ?f ?fx0( ) ?x?0?x 1112n ?)f(?)?f(?)fxd( 3. 积分和 : lif, x) 0n?nnnn 30 / 114 2. 导数定义 ( 洛必达 ?): li 4. 中值定理 : limf(x?a)?f(x)?alimf(?) x? x? 5. 级数和 (数一三 ): ? 2nn! (1)?an 收敛 ?liman?0, ( 如 limn) (2)lim(a1?a2?an)?an, n?n?nn? n?1n?1 ? 31 / 114 ? (3)an与 ?(a n?1 n ?an?1)同敛散 七 . 常见应用 : 1. 无 穷 小 比 较 ( 等价 , 阶 ): *f(x)?kxn,(x?0)? (1)f(0)?f(0)?f (2) (n?1) (0)?0,f(n)(0)?a?f(x)? 32 / 114 ana x?(xn)?xn n!n! ? x f(t)dt?ktndt x 2. 渐近线 (含斜 ): f(x) ,b?limf(x)?ax?f(x)?ax?b? x?x?x 1 33 / 114 (2)f(x)?ax?b?,(?0) x (1)a?lim 3. 连续性 : (1)间断点判别 (个数 ); (2)分段函数连续性 (附 :极限函数 , f(x)连续性 ) 八 . a,b上连续函数性质 1. 连通性 : f(a,b)?m,M ( 注 :?0?1, “ 平均 ”值 :?f(a)?(1?)f(b)?f(x0) 2. 介值定理 : (附 : 达布定理 ) (1)零点存在定理 : f(a)f(b)?0?f(x0)?0(根的个数 ); (2)f(x)?0?( ? x a 34 / 114 f(x)dx)?0. 第二讲 :导数及应用 (一元 )(含中值定理 ) 一 . 基本概念 : 1. 差商与导数 : f(x)?lim ?x?0 f(x?x)?f(x)f(x)?f(x0) ; f(x0)?lim x?x0?xx?x0 (1)f(0)?lim x?0 f(x)?f(0)f(x) 35 / 114 ?A(f连续 )?f(0)?0,f(0)?A) (注 :lim x?0xx (2)左右导 : f?(x0),f?(x0); (3)可导与连续 ; (在 x?0 处 , x连续不可 导 ; xx可导 ) 2. 微 分 与 导数 : ?f?f(x?x)?f(x)?f(x)?x?o(?x)?df?f(x)dx (1)可微 ?可导 ; (2)比较 ?f,df 与 0的大小比较 (图示 ); 二 . 求导准备 : 1. 基本初等函数求导公式 ; (注 : (f(x) 2. 法则 : (1)四则运算 ; (2)复合法则 ; (3)反函数三 . 各类求导 (方法步骤 ): dx1 ? dyy 36 / 114 f(x?h)?f(x?h) h 1. 定义导 : (1)f(a)与 f(x)x?a; (2)分段函数左右导 ; (3)lim h?0 ?F(x)x?x0 (注 : f(x)?, 求 :f(x0),f(x)及 f(x)的连续性 ) , x?xa?0 2. 初等导 (公式加法则 ): (1)u?fg(x), 求 :u(x0)( 图形题 ); (2)F(x)? (3)y? ? 37 / 114 x a f(t)dt, 求 :F(x) ( 注 : (?f(x,t)dt),(?f(x,t)dt),(?f(t)dt) a a a xbb ?f1(x)x?x0 ,求 f?(x0),f?(x0)及 f(x0) (待定系数 ) ?f2(x)x?x0 dyd2y, 3. 隐式 (f(x,y)?0)导 : dxdx2 38 / 114 (1)存在定理 ; (2)微分法 (一阶微分的形式不变性 ). (3)对数求导法 . ?x?x(t)dyd2y ,2 4. 参式导 (数一 ,二 ): ?, 求 : dxdx?y?y(t) 5. 高阶导 f(n)(x)公式 : (e) ax(n) 1(n)bnn! ; )?ae; (n?1 a?bx(a?bx) nax(n) 39 / 114 (sinax) ?ansin(ax? ? 2 ?n); (cosax)(n)?ancos(ax? ? 2 ?n) 1(n?1)2(n?2) (uv)(n)?u(n)v?Cnuv?Cnuv? 注 : f 40 / 114 (n) f(n)(0) (0)与泰勒展式 : f(x)?a0?a1x?a2x2?anx?an? n! n 四 . 各类应用 : 1. 斜率与切线 (法线 ); (区别 : y?f(x)上点 M0和过点 M0的切线 ) 2. 物理 : (相对 )变化率 ?速度 ; 3. 曲率 (数一二 ): ? 曲率半 径 , 曲率中心 , 曲率圆 ) 41 / 114 4. 边际与弹性 (数三 ): (附 : 需求 , 收益 , 成本 , 利润 ) 五 . 单调性与极值 (必求导 ) 1. 判别 (驻点 f(x0)?0): (1) f(x)?0?f(x)?; f(x)?0?f(x)?; (2)分段函数的单调性 (3)f(x)?0?零点唯一 ; f(x)?0?驻点唯一 (必为极值 ,最值 ). 2. 极值点 : (1)表格 (f(x)变号 ); (由 lim x?x0 f(x)f(x)f(x) ?0,lim?0,lim2?0?x?0 的特点 ) x?x0x?x0xxx (2)二阶导 (f(x0)?0) 42 / 114 注 (1)f 与 f,f的匹配 (f图形中包含的信息 ); (2)实例 : 由 f(x)?(x)f(x)?g(x)确定点 “x?x0” 的特点 . (3)闭域上最值 (应用例 : 与定积分几何应用相结合 , 求最优 ) 3. 不等式证明 (f(x)?0) (1)区别 : *单变量与双变量 ? *x?a,b与x?a,?),x?(?,?)? (2) 类型 : *f?0,f(a)?0; *f?0,f(b)?0 吉林大学 高数 复习 公式 高 等 数 学 公 式 平方关系： sin()+cos()=1 tan()+1=sec() cot()+1=csc() 43 / 114 积的关系： sin=tan*cos cos=cot*sin tan=sin*sec cot=cos*csc sec=tan*csc csc=sec*cot 倒数关系： tancot=1 sincsc=1 cossec=1 44 / 114 直角三角形 ABC中 , 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边 , 余弦等于角 A的邻边 比斜边 正切等于对边比邻边 , 两角和与差的三角函数： cos(+)=coscos -sinsin cos( -)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1 -tantan) tan( -)=(tan -tan)/(1+tantan) 三角和的三角函数： 45 / 114 sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin -sin sinsin cos(+)=coscoscos -cossinsin -sincossin -sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan -tantantan)/(1 -tantan -tantan -tantan) 吉林大学 高数 复习 公式 倍角公式： sin(2)=2sincos=2/(tan+cot) cos(2)=cos() -sin()=2cos() -1=1-2sin () tan(2)=2tan/1 -tan() 三倍角公式 sin(3)=3sin -4sin() 46 / 114 cos(3)=4cos() -3cos 半角公式： sin(/2)=(1 -cos)/2) cos(/2)=(1+co s)/2) tan(/2)=(1 -cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 降幂公式 sin()=(1 -cos(2)/2=versin(2)/2 cos()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan()=(1 -cos(2)/(1+cos(2) 万能公式： sin=2tan(/2)/1+tan(/2) 47 / 114 cos=1 -tan(/2)/1+tan(/2) tan=2tan(/2)/1 -tan(/2) 积化和差公式： sincos=(1/2)s in(+)+sin( -) cossin=(1/2)sin(+) -sin( -) coscos=(1/2)cos(+)+cos( -) 吉林大学 高数 复习 公式 sinsin= -(1/2)cos(+) -cos( -) 和差化积公式： sin+sin=2sin(+)/2cos( -)/2 sin -sin=2cos(+)/2sin( -)/2 48 / 114 cos+cos=2cos(+)/2cos( -)/2 cos -cos= -2sin(+)/2sin( -)/2 推导公式 tan+cot=2/sin2 tan -cot= -2cot2 1+cos2=2cos 1-cos2=2sin 1+sin=(sin/2+cos/2) 三角函数的角度换算 公式一： 设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 49 / 114 sin sin cos cos tan tan cot cot 公式二： 设 为任意角， + 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系： sin sin cos cos tan tan cot cot 公式三： 任意角 与 - 的三角函数值之间的关系： 50 / 114 sin sin cos cos tan tan cot cot 吉林大学 高数 复习 公式 公式四： 利用公式二和公式三可以得到 - 与 的三角函数值之间的关系： sin sin cos cos tan tan cot cot 51 / 114 公式五： 利用公式一和公式三可以得到 2 - 与 的三角函数值之间的关系： sin sin cos cos tan tan cot cot 公式六： /2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系： sin cos cos sin tan cot cot tan 52 / 114 sin cos cos sin tan cot cot tan sin cos cos sin tan cot cot tan sin cos cos sin tan cot 53 / 114 cot tan (以上 kZ) 吉林大学 高数 复习 公式 高 等 数 学 公 式 (tgx)?sec2x(arcsinx)?1(ctgx)?csc2x?x2(secx)?secx?tgx(arccosx)?1(cscx)?cscx?ctgx?x2(ax)?axlna(arctgx)?1 1?x2 (logx)?1 axlna(arcctgx)?1 1?x2 导数公式： ?tgxdx?lncosx?C 54 / 114 ?ctgxdx?lnsinx?C?dxcos2x?sec2xdx?tgx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?dx?csc2 sin2x?xdx?ctgx?C ?cscxdx?lncscx?ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?dx?cscx?ctgxdx?cscx?Ca2?x2?1aarctgx a?C ?dx?axdx?ax lna?C x2?a2?12alnx?a x?a?C?shxdx?chx?C ?dx1a? a2?x2?x2alna?x?C?chxdx?shx?C?dxx 55 / 114 a2?x2?arcsina?C?dx?ln(x?x2?a2 2)a2?Cx? ? 22 In n?sinxdx?cosnxdx?n?1 00nIn?2 ?x2?a2dx?x2 2x2?a2?a 2ln(x?x2?a2)?C ?x2?a2dx?xx2?a2?a2 56 / 114 lnx?x2 2?a2 2?C ?a2?x2dx?x 2a2?x2?a2 2arcsinx a?C 高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数 (y=arctanx)，对数函数 (y=lnx)，幂函数 (y=x)，指数函数 (y?ax)，三角函数 (y=sinx)，常数函数 (y=c) 2、分段函数不是初等函数。 x2?xx 57 / 114 ?lim?1 3、无穷小：高阶 +低阶 =低阶 例如： lim x?0x?0xx sinx 4、两个重要极限： (1)lim?1 x?0x (2)lim?1?x?e x?0 1 x ?1? lim?1?e x? 58 / 114 ?x? g(x) x 经验公式：当 x?x0,f(x)?0,g(x)?， lim?1?f(x)? x?x0 ?e x?x0 limf(x)g(x) 例如： lim?1?3x?e x?0 1 59 / 114 x x?0? ?3x?lim? x? ?e?3 5、可导必定连续，连 续未必可导。例如： y?|x|连续但不可导。 6、导数的定义： lim ?x?0 f(x?x)?f(x) ?f(x) ?x 60 / 114 x?x0 lim f(x)?f(x0) ?f?x0? x?x0 7、复合函数求导： df?g(x)?f?g(x)?g(x) dx 例如： y?x?x,y? 2x?2x?1 2x?x4x2?xx 1? 1 61 / 114 8、隐函数求导： (1)直接求导法； (2)方程两边同时微分，再求出 dy/dx x2?y2?1 例如：解：法 (1),左右两边同时求导 ,2x?2yy?0?y? x ydyx 法 (2),左右两边同时微分 ,2xdx?2ydy? dxy 9、由参数方程所确定的函数求导：若 ? ?y?g(t)dydy/dtg(t)? ， 则 ， 其 二 阶 导 数 ：dxdx/dth(t)?x?h(t) d(dy/dx)d?g(t)/h(t)? 62 / 114 dyd?dy/dx? 2dxdxdx/dth(t) 2 10、微分的近似计算： f(x0?x)?f(x0)?x?f(x0) 例如：计算 sin31? 11、函数间断点的类型： (1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如： y? sinx ， y?sgn(x)(2)第二类：振荡间断点和无穷 间断点；例如： f(x)?sin?， y?断点） 12、渐近线： 水平渐近线： y?limf(x)?c x? 63 / 114 ?1?x? 1 19、改变凹凸性的点： f(x0)?0， f(x0)不存在 20、可导函数 f(x)的极值 点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。 21、中值定理： (1)罗尔定理： f(x)在 a,b上连续， (a,b)内可导，则至少存在一点 ?，使得 f(?)?0 (2)拉格朗日中值定理： f(x)在 a,b上连续， (a,b)内可导，则至少存在一点 ?，使得 f(b)?f(a)?(b?a)f(?) (3)积分中值定理： f(x)在区间 a,b上可积，至少存在一点 ?，使得 b ?f(x)dx?(b?a)f(?) 64 / 114 a 22、常用的等价无穷小代换： xsinxarcsinxarctanxtanxex?12(?x?1)ln(1?x)1?cosx 12x2111 tanx?sinxx3,x?sinxx3,tanx?xx3 263 23、对数求导法：例如， y?xx，解： lny?xlnx? 1 y?lnx?1?y?xx?lnx?1? y 24、洛必达法则：适用于 “ 65 / 114 0?” 型， “” 型， “0?” 型等。当 0? x?x0,f(x)?0/?,g(x)?0/?， f(x),g(x)皆存在，且 g(x)?0，则 f(x)f(x)ex?sinx?10ex?cosx0ex?sinx1 lim?lim 例 如 ， limlimlim? 2x?x0g(x)x?x0g(x)x?0x?0x?0x2x22 25、无穷大：高阶 +低阶 =高阶 例如， 26、不定积分的求法 (1)公式法 (2)第一类换元法 (3)第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元： 1)三角换元： 23 66 / 114 ?x?1?2x?3?lim? x? 2x5 x2?2x?lim?4 x?2x5 3 a2?x2，可令 x?asint； x2?a2，可令 x?atant； x2?a2，可令 x?asect 2)当有理分式函数 中分母的阶较高时，常采用倒代换 x? 1 t 67 / 114 27、分部积分法： udv?uv?vdu，选取 u的规则 “ 反对幂指三 ” ，剩下的作 v。分部积 x3 分出现循环形式的情况，例如： ecosxdx,secxdx ? ? 28、有理函数的积分： 例如： 3x?22(x?1)?x11 dx?2dx?x(x?1)3?x(x?1)3?x(x?1)2?x?13dx 11x?1?xx?1?x1dx?需要进行拆分，令 ?x(x?1)2 68 / 114 x(x?1)2x(x?1)2x(x?1)(x?1)2 其中，前部分 ? 111? 2xx?1(x?1) 29、定积分的定义： ?f(?)?x ?f(x)dx?lim? a ?0 i i i?1 69 / 114 b n 30、定积分的性质： b (1)当 a=b时， ?f(x)dx?0； ab a (2)当 ab时， ?f(x)dx?f(x)dx a 70 / 114 b a?aa (3)当 f(x)是奇函数， ?f(x)dx?0,a?0 a (4)当 f(x)是偶函数， b ?a ?f(x)dx?2?f(x)dx cb (5)可加性： 71 / 114 ?f(x)dx?f(x)dx?f(x)dx a a c x x d 31、变上限积分： ?(x)?f(t)dt?(x)?f(t)dt?f(x) ?dxaa d 推广： dx 72 / 114 u(x) ?f(t)dt?f?u(x)?u(x) a b 32、定积分的计 算： b b ?f(x)dx?F(b)?F(a) a 33、定积分的分部积分法： udv?uv?vdu 例如： xlnxdx ? 73 / 114 a b a ? a ? ?b b? 34、反常积分： (1)无穷限的反常积分： ?f(x)dx?lim?f(x)dx a 74 / 114 a b bt?a? (2)无界函数的反常积分： 35、平面图形的面积： (1)A? ?f(x)dx?lim?f(x)dx a t d ?f(x)?f(x)?dx (2)A?(y)?(y)?dy 2 75 / 114 1 2 1 a c 2 (2)绕 y轴旋转， ?f(x)dxV?(y)dy ? 2 a c b 76 / 114 d b 36、旋转体的体积： (1)绕 x轴旋转， V? 高等数学知识点总结 导数公式： 2 (tanx)?secx(ctanx)?cscx(secx)?secx?tanx(cscx)?cscx?cotx(a)?alna(log ax x 2 77 / 114 (arcsinx)?(arccosx)?(arctanx)? 1?x 2 1?x1 2 1?x 2 x)? 1xlna (arccotx)? 11?x 78 / 114 2 基本积分表： 三角函数的有理式积分： ?tan?sec?a?x?a? xdx?lncosx?C ?cotxdx?lnsinx?C xdx?lnsecx?tanx?C ?cos?sin dx 2 xx 79 / 114 ? ?sec?csc 2 xdx?tanx?Cxdx?cotx?C dx 2 2 ?cscxdx?lncscx?cotx?C dx 2 ?sec 80 / 114 x x?tanxdx?secx?C xdx?cscx?C x ?xdx?adx?xdx 2 2 ? 1a1 arctanlnln xa 81 / 114 ?C?C?C ?cscx?cot?a dx? a x?ax?aa?xa?xxa lna ?C 22 2a12a ?shxdx?chxdx? ? 82 / 114 2 ?chx?C?shx?C ?ln(x? x?a)?C 2 2 22 a?x 2 ?arcsin?C dxx?a 83 / 114 2 2 ? 2 In? ?sin 02 n xdx?cos n xdx? 84 / 114 2 n?1naaa 2 In?2 x?a)?Cx?axa?C 2 2 2 2 ? sinx? 85 / 114 2u1?u x?adx?x?adx?a?xdx? 2 2 2 2 2 x2x2x2 x?a?x?a?a?x? 2 2 86 / 114 2 2 2 2 2 ln(x?lnx?arcsin 2 2 ?C 2 ， cosx?2 87 / 114 1?u1?u 2 ， u?tan2 x2 ， dx? 2du1?u 2 一些初等函数： 两个重要极限： e?e 2e?e 2shxchx 88 / 114 2x ?x x ?x 双曲正弦 :shx? 双曲余弦 :chx? 双曲正切 :thx?arshx?ln(x?archx?ln(x?arthx? 12ln1?x1?x lim sin x(1? x1x 89 / 114 x?0 ?1) x lim e?ee?e xx ?x?x x? ?e ? x?1） x?1) 90 / 114 2 三角函数公式： 诱导公式： 和差角公式： 和差化积公式： sin(?)?sin?cos?cos?sin?cos(?)?cos?cos?sin?sin?tan(?)?cot(?)? tan?tan?1?tan?tan?cot?cot?1cot?cot? sin?sin?2sinsin?sin?2cos ?2 cossin ?2 91 / 114 ?2 ?2 cos?cos?2coscos?cos?2sin ?2 cossin ?2 ?2 ?2 倍角公式： sin2?2sin?cos? cos2?2cos?1?1?2sin?cos?sin?cot2?tan2? 92 / 114 cot?12cot?2tan?1?tan? 222 2 2 2 sin3?3sin?4sin?cos3?4cos?3cos?tan3? 3tan?tan?1?3tan? 2 3 3 3 93 / 114 半角公式： sintan ? 2 ? ?cos? 21?cos?1?cos? asinA 1?cos?sin?bsinB ? 94 / 114 cos cot ? 2 ? 1?cos? 2 ? 2 1?cos?sin? 2 ? 95 / 114 2 ?c sin?1?cos? ? 2 ? 1?cos?1?cos? 2 ? sin?1?cos? 正弦定理： 96 / 114 ? sinC ?2R 余弦定理： c?a?b?2abcosC 反三角函数性质： arcsinx? ? 2 ?arccosx arctanx? ? 2 ?arccotx 高阶导数公式 莱布尼兹公式： 97 / 114 n (uv)?u (n) ? ?C k?0 kn u (n?k) v (k) 98 / 114 (n) v?nu (n?1) v? n(n?1)2! u (n?2) v? n(n?1)?(n?k?1) k! u 99 / 1