本科毕业论文-关于高阶导数求法及应用的探讨.doc

丽水学院2011届学生毕业论文关于高阶导数求法及应用的探讨数理学院 数学与应用数学 数072本 孔晓燕 指导老师:兰春霞摘要：本文对高阶导数的求解技巧、拓展通式及在其他学科领域的应用等方面作了具体阐述。关键词：高阶导数；技巧；应用极值问题是大学数学的重点内容之一，在高中的数学学习中也占了一定的比例。而求导数是这一部分的基础。求高阶导数是求导问题的一个难点，解决这一问题的关键是找到合适的求解方法。高阶导数在工程学、经济学和物理学都有广泛的应用，对其进行研究以便提高对导数更深层次的认识，有助于问题的发现和解决。事实上，高阶导数的求解并不容易，本文通过对微积分的重新认识、整理、对其中的高阶导数求法进行总结、归纳，对已有的方法深入理解、剖析，从高阶导数的求解技巧、拓展公式和应用等方面作具体阐述。1 高阶导数的求解技巧阅读了大量文献后，对微积分的高阶求导的发展史、特点及其相关知识、重要性有了一定的了解，对高阶导数的求解技巧可概括为直接法、间接法（有理分式的函数（真分式）、三角函数、隐函数）、公式法及其运用。以下作具体介绍。1.1 直接法求出函数的一阶、二阶、三阶等导数后，分析归纳出规律性，从而写出阶导数的表达式。例1：求的n阶导数.解： 对于，由三角函数的求导公式得继续求导，将出现周而复始的现象。为了得到一般n阶导数公式，可将上述导数公式改写为一般地，可推得以后作为公式使用，同理推出一系列常用函数的阶导数公式：(1);（是正整数）。(2).(3);.(4).(5).(6).例2：设解： 用直接法。 ， 依此类推，得 (1)直接法的特点是：对比较简单的函数来说很方便；其缺点：对较复杂函数的高阶求导结果不容易推导。1.2 间接法通过恒等变形将函数分解成常用函数或其代数和，进而利用常用函数的阶导数公式求出它的阶导数。1.2.1有理分式的函数（真分式）将其分解成部分分式之和，然后用的阶导数公式。例3：设解： 先将有理分式分解为部分分式之和利用已知的结果有 (2)1.2.2三角函数利用三角恒等式将其化成的代数和的形式，然后用的阶导数的公式。例4：已知，求。解： ， 用的n阶导数公式，得. (3)1.2.3隐函数假设由方程确定是的函数，若求时，只需对上式求次关于的导数，方法类似于隐函数微分法，但要注意式中的及其各阶导数等都是的函数。最后从个求导后的等式中解出。例5：设方程确定是的函数，求.解：方程可化为 两边对求导，得 即 (4)由(4)式解得 再对(4)两边关于求导， 得 (5)由(5)式解得 即 再对(5)两边关于求导，得 (6)由(6)式解得 将所解代入上式得 .1.3 公式法1.3.1莱布尼兹公式法高等数学中关于两个函数乘积的高阶导数,莱布尼兹公式已经给出了著名的高阶导数公式,在求解某些函数的高阶导数值时,此公式有时可以给计算起到了发现一般规律的作用。求函数的高阶导数一般的方法是采用由低到高逐阶求导的方法,这种方法求解高阶导数的一般规律时有时很难归纳,如果将所求的单个函数转化到乘积形式,可以借助莱布尼兹公式去发现函数的高阶导数的一般规律。一阶导数的运算法则可直接移植到高阶导数，容易看出对于乘法求导法则，设，则其中。这个公式称为莱布尼兹公式。例6： 设，求。解： 令由已知公式有 应用莱布尼兹公式（）得 (7)例7：设 用莱布尼兹公式求.解： 令，由已知公式有 应用莱布尼兹公式得 (8)通过例7与例2的同题异法的比较，知道一题可有多解，应该有选择地进行求解以求方便。1.3.2泰勒展式法若函数按的幂展开的幂级数，则必是函数的Taylor展示：因此，若得到展开式，特别的，则知例8: 设,求.解：，再将其两端从0到积分可得：，故. (9)1.3.3欧拉公式法例9：设解： 由Euler公式，得 故 (10)2 高阶导数的拓展通式高阶导数区别于一般导数，有其特有的新型表达及一系列拓展通式，并非统一不变或者定势思维，需要学者自己的探究和钻研，在前人的基础上进一步发展高阶导数。2.1 多个函数乘积的高阶导数通式定理1 设（以下简记为）都具有阶导数，那么，也具有阶导数且有公式如下： (11)其中，是个非负整数，求和是对所有的进行的。证明：对自然数使用归纳法 时，由公式 (12) (12)（其中是对适合的进行的），此时命题成立。假设，命题成立即 其中是对所有的非负整数取和的，为任意正整数。当时，记，使用公式(12)和假设命题有 （13）其中，是对所有适合的非负整取和的。令，则，此时，（13）变成其中是对所有适合的非负整数取和的，时，命题成立。由数学归纳法知，当为任意自然数，定理成立，证毕。当m=2时，它是著名的莱布尼兹公式。显然，该定理是莱布尼兹公式的推广。例10：已知，求.解： 由已知公式有 其中，是个非负整数，求和是对所有的进行的。 因此 (14)2.2 关于复合函数高阶导数的递推式的高阶导数的一般表达式： (15)其中是j次常系数齐次微分多项式且 并且对一些特殊j给出了的具体表达式： (16)下面通过一个例子说明复合函数高阶导数的递推式(2.3)的应用。例11：设,求解： 令,即, 则： 由高阶函数的一般表达式有 (17) (18) (19)2.3 柯西型积分的高阶导数引理1 设是可求长曲线，是上的连续函数，对于每个自然数及复平面C上的每个点，定义函数 则每个在区域G=C-上解析，且 (20)定理2 设是可求长曲线，是上的连续函数，定义则 对于每个自然数和复平面C上的每个点都成立。定理3 设G是由有限条Jordan曲线围成的有界区域，在G内解析，在上连续，则 对于任意自然数和G内的任意均成立.例12：设解： 当时，由高阶导数公式 故 (21)3 高阶导数在其他学科领域的应用3.1 高阶导数在经济学中的应用举例例13：设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定)就售出，总收入为(元)。如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售，年末总收入为。假定银行的年利率为,并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求时的值。解： 根据连续复利公式，这批酒在窖藏年末售出总收入的现值为. 而，所以. 令，得唯一驻点. 又， 则有 . 于是，是极大值点，即最大值点，故窖藏(年)售出，总收入的现值最大。当时，(年).3.2 高阶导数在物理领域的应用举例密度差随深度呈线性变化时，可表示为，式中：为深度处的密度差；为地表处的密度差；为密度差随深度的变化率。Murthy提出的截面为任意边数的二度体多边形。其变密度正演公式为 (22)这里，为N边多边形角点的坐标， 若和或者和，则，当时，也为零； 也有类似的形式。 直接对(1)中的或求偏导，可分别得到水平或垂向导数。对于高阶导数，就要连续多次求偏导数。但这样做十分繁琐，公式冗长。为此，必须另找捷径。 由数学分析理论中有关导数的定义可知，如果要计算垂直方向上的一次导数，只要正演出两个不同高度的重力异常值，然后按式 (23)就可算出点的一次导数(只要足够小)。 如果要计算垂向二次导数，只要计算出三个高度的值，然后按式 (24)就可算出点的二次导数(只要足够小)。从上面可以看出，若要计算阶导数，则只需计算出层不同高度处的重力异常值即可。其计算公式可用一通式表示，即 (25)式中：为导数的阶数；为不同高度处值系数的绝对值，可按式 取值。为高度处的重力异常值，的取值为 3.3 高阶导数和遗传神经网络的关系传统的求解函数高阶导数值的方法就是先求出高阶导数的函数表达式,然后将自变量值代入,就得到了此点的高阶导数值。高阶导数的函数表达式的推导比较的烦琐,尤其对于复合函数来说。利用改进的遗传算法和神经网络各自的优点,提出求解函数高阶导数值的GA-Network法。算法采用多目标优化的思想,使用“动态自适应策略”和“罚函数法”。利用神经网络来构造函数泰勒展式的网络结构,用遗传算法对网络进行学习,最后得到网络的输出结果即高阶导数值。通过对初等函数的仿真实验,可以看出此方法有比较高的精度,它也为函数导数值的求解提供了一种方法。函数的高阶导数是泰勒公式的重要组成部分,而泰勒公式是微积分学中的一个重要的内容,它是微积分学中值定理的推广。它在判断函数的增减性、曲线的凸凹性、函数极值、近似计算、误差估计和求函数极限方面应用十分广泛。因此研究函数在某点的高阶导数是很有意义的。具体主要进行以下步骤：泰勒展示的神经网络构造（神经网络模型搭建、神经网络参数设定）；遗传算法进行学习（初始化群体、编码、计算个体适应度、对种群操作、下一代群体的形成、终止条件）。仿真实例：对于以下的2个算例,用matlab7.04在联想微机上实现。它的基本配置: pentium(R) 4 cpu 2.4GHZ 2.39GHZ,256M的内存。所求均是初等函数在0处的导数值,且最高阶数均为4。（1），由大学数学可知，在0处的4阶泰勒展式为。 仿真结果一（2），已知在0处的一阶导数值是1，二阶是0，三阶是-1，四阶是0。仿真结果二4 小结本文是在阅读了大量参考文献，重新了解高阶导数的产生、含义以及前人对其求解的探讨，将各种求解方法进行梳理和总结，主要从高阶导数的求解技巧、拓展通式和它在其他学科领域的应用三方面进行阐述。求高阶导数是求导问题的难点，认真审题，抓住题干，选择合适的求导方法是值得商榷的、力争达到的目标。在运用时，从问题的本身出发，结合已学的基本方法，发现两者之间的联系，设法实现问题的转化。这需要从前人的经验中吸取精华，更需要实战和经验总结来做指导！参考文献:1 华东师范大学数学系.数学分析(三版)M.高等教育出版社,2004.2 宋道金 赵文玲.多个函数乘积的高阶导数通式J.淄博师专学报,1995,(04).3 田长生.关于复合函数高阶导数的递推式J.广东民族学院学报,1994(04):8-11.4 赵业鑫.柯西型积分的高阶导数公式证明J.工科数学,1995,(11):258-260.5 杨 辉、王宜昌.复杂形体重力异常高阶导数的正演计算J.石油地球物理勘探,1998(04):279-280.6 刘向虎、李艳芳.遗传神经网络在求解初等函数高阶到数值中的应用J.软件导刊,2010,(03):30-32.7 孙怀云等.微积分辅导人大修订本M.电子科技大学出版社,2006:63.8 张鸿.高阶导数的求解技巧J.绥化学院学报,2008,28(02):190-191.9 严志丹 王伟.关于高阶导数求法的探讨J塔里木大学学报,2010.22(02):45-4610张玉祥.探讨正切函数的n阶导数J.黄河水利职业技术学院学报,2005,17(03):50-52.11韦煜.高阶导数公式的证明J.黔南民族师范学院学报,2003.(06):8-912刘占国.高阶导数应用研究J.长春工程学院学报,2001,2(03):5-613唐仁献.高阶导数的新的表达式及其应用J.零陵学院学报,2004,(03):17-21谢辞：从课题的选择到论文的最终完成，兰老师始终都给予了细心的指导和不懈的支持。对于毕业之际的迷茫和找寻工作的艰难而对论文产生的暂时性影响，老师都表示深切的关怀和理解，希望借此机会向兰春霞老师表示最衷心的感谢！此外，本文最终得以顺利完成，也是与数理学院其他老师的帮助分不开的，虽然他们没有直接参与我的论文指导，但在开题时也给我提供了不少的意见，提出了一系列可行性的建议，在此向他们表示深深的感谢！Discussing of the methods and applications of higher order derivatives College of Mathematics and Physics Mathematics and Applied Mathematics