对数与对数运算教学设计

1 / 32 对数与对数运算教学设计 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课 件 m 教学设计 对数与对数运算 第 1 课时 作者：林宁宁，古田一中教师 .本教学设计获福建省教学设计大赛二等奖 . 整体设计 教学内容分析 本节课是新课标高中数学 A版必修 1中第二章对数函数内容的第 1 课时，也就是对数函数的入门对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活 问题及科研中起着十分重要的作用通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数做好准备同时，通过对对数概念的学习，对培养学生对立统一、相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义 学生学习情况分析 2 / 32 现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼因 此，学生已具备了探索、发现、研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法 设计思想 学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，本节课可利用多媒体辅助教学，引导学生从实例中认识对数模型，体会引入对数的必要性在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动、学生讨论的方式来加深理解，更好地突破难点和提高教学效率让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主 动权 教学目标 1理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能 2通过实例使学生认识对数模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互3 / 32 化 3通过学生分组进行探究活动，掌握对数的重要性质通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一 4培养学生的类比、分析、归纳能力，培养学生严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生的探究意识 重点难点 重点： (1)对数的概念； (2)对数式与指数式的相互转化 难点： (1)对数概念的理解； (2)对数性质的理解 教学过程 教学 环节教学程序及设计设计意图 创设情境，引入新课引例 (3 分钟 ) 1一尺之锤，日取其半，万世不竭 (1)取 5 次，还有多长？ (2)取多少次，还有尺？ 分析： (1)为同学们熟悉的指数函数模型，易得 125 132， (2)可设取 x 次，则有 12x， 抽象出： 12x x？ 2 2002 年我国 GDP 为 a 亿元，如果每年平均增长 8%，那么经过多少年 GDP 是 2002 年的 2 倍？ 分析：设经过 x 年，则有 (1 8%)x 2，抽象出： (1 8%)x 2x？让学生根据题意，设未知数，列出方程这4 / 32 两个例子都出现指数是未知数 x 的情况，让学生思考如何表示 x，激发其对对数的学习兴趣，培养学生的探究意识生活及科研中还有很多这样的例子，因此引入对数是必要的 讲授新课一、对数的概念 (3 分钟 ) 一般地，如果 ax N(a 0，且 a1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数 (logarithm)，记作 x logaN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数 注意： (1)底数的限制： a 0 且 a1 ； (2)对数的书写格式正确理解对 数定义中底数的限制，为以后对数函数定义域的确定做准备同时注意对数的书写格式，避免因书写不规范而产生的错误 二、对数式与指数式的互化： (5 分钟 ) 幂底数 a 对数底数 指数 b 对数 幂 N 真数 思考： (1)为什么对数的定义中要求底数 a 0 且 a1? (2)是否是所有的实数都有对数呢？ 负数和零没有对数让学生了解对数与指数的关系，明确对数式与指数式形式的区别， a， b 和 N 位置的不同，及它们的含义互化体现了等价转化这个重要的数学思想 . 5 / 32 三、两个重要对数 (2 分钟 ) (1)常用对数： 以 10 为底的对数 log10N，简记为 lgN； (2)自然对数：以无理数 e 为底的对数 logeN，简记为lnN.(在科学技术中，常常使用以 e 为底的对数 ) 注意：两个重要对数的书写这两个重要对数一定要掌握，为以后的解题以及换底公式作准备 课堂练习 (7 分钟 ) 1将下列指数式写成对数式： (1)24 16； (2)3 3 127； (3)5a 20； (4)12b 2将下列对数式写成指数式： (1)log5125 3； (2) 2； (3)log10a 3求下列各式的值： (1)log264； (2)log927.本练习让学生独立阅读课本例 1 和例 2 后思考完成，从而熟悉对数式与指数式的相互转化，加深对对数概念的理解并要求学生指出对数式与指数式互化时应注意哪些问题，培养学生严谨的思维品质 四、对数的性质 (12 分钟 ) 探究活动 1 求下列各式的值： (1)log31 0； (2)lg1 0； (3) 0； (4)ln1 0. 思考：你发现了什么？ 6 / 32 “1” 的对数等于零，即 loga1 0(a 0 且 a1) ，类比：a0 1(a 0 且 a1) 探究活动由学生独立完成后，通过思考，然后分小组进行讨 论，最后得出结论通过练习与讨论的方式，让学生自己得出结论，从而能更好地理解和掌握对数的性质培养学生类比、分析、归纳的能力 . 探究活动 2 求下列各式的值： (1)log33 1； (2)lg10 1； (3) 1； (4)lne 1. 思考：你发现了什么？ 底数的对数等于 “1” ，即 logaa 1(a 0 且 a1) ，类比：a1 a(a 0 且 a1) 探究活动 3 求下列各式的值： (1) 3； (2)； (3) 89. 思考：你发现了什么？ 对数恒等式： N(a 0 且 a1) 探究活动 4 求下列各式的值： (1)log334 4； (2) 5； (3)lne8 8. 思考：你发现了什么？ 对数恒等式： logaan n(a 0 且 a1). 讲 7 / 32 授 新 课小结负数和零没有对数； “1” 的对数等于零，即 loga1 0； 底数的对数等于 “1” ，即 logaa 1； 对数恒等式： N； 对数恒等式： logaan n.(a 0 且 a1) 将学生归纳的结论进行小结，从而得到对数的基本性质 归纳小结，强化思想 (3 分钟 ) 1引入对数的必要性 对数的概念 一般地，如果 ax N(a 0， 且 a1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数 (logarithm)，记作 x logaN. 2指数与对数的关系 3对数的基本性质 负数和零没有对数； loga1 0； logaa 1； 对数恒等式： N； logaan n.总结是一堂课内容的概括，有利于学生系统地掌握所学内容同时，将本节内容纳入已有的知识体系中，发挥承上启下的作用为下一课时对数的运算打下扎实的基础 作业 布置一、课本习题组第 1,2 题 8 / 32 二、已知 loga2 x， loga3 y，求 a3x 2y 的值 三、求下列各式的值 ： ； ； . 作业是学生信息的反馈，教师可以在作业中发现学生在学习中存在的问题，弥补教学中的不足 板书 设计 对数与对数运算 第 1 课时 引例 1 引例 2 一、对数的定义二、对数式与指数式的 互化练习三、对数的基本性质 四、小结 五、作业布置 教学反思 本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对对数的学习兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认识；最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握 第 2 课时 作者：卢岩冰 9 / 32 整体设计 教学目标 1知识与技能 (1)通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数的运算性质进行运算、求值、化简，并掌握化简求值的技能 (2)运用对数的运算性质解决有关问题 (3)培养学生分析、解决问题的能力 培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度 2过程与方法 (1)让学生经历并推导出对数的运算性质 (2)让学生归纳整理本节所学的知识 3情感态度与价值观 让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性 重点难点 重点：对数运算的性质与对数 知识的应用 难点：正确使用对数的运算性质 教学过程 导入新课 思路 1上节课我们学习了以下内容： 1对数的定义 2指数式与对数式的互化 10 / 32 ab NlogaN b. 3重要性质： (1)负数与零没有对数； (2)loga1 0， logaa 1； (3)对数恒等式 N. 下面我们接着讲对数的运算性质教师板书课题：对数与对数运算 (2) 思路 2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则： aman am n； aman am n； (am)n amn； man .(a 0 且 a1) 从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题：对数与对数运算 (2) 推进新课 新知探究 提出问题 (1)在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算的性质，得出相应的对数运算的性质吗？ (2)如我们知道 am m， an N， aman am n，那 m n 如何表示，能用对数式运算吗？ 11 / 32 (3)在上述 (2)的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？ (4)你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述 . (5)上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？ (6)上述结论能否推广呢？ (7)学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？ 讨论结果： (1)通过问题 (2)来说明 (2)若 aman am n， m am， N an，于是 mN am n，由对数的定义得到 m amm logam， Nann logaN， mN am nm n logamN，logamN logam logaN. 因此 m n 可以用对数式表示 (3)令 m am， N an，则 mN aman am n，所以 m nlogamN. 又由 m am， N an，所以 m logam， n logaN. 所以 logam logaN m n logamN，即 logamN logamlogaN. 设 m am，则 mn (am)n amn.由对数的定义， 所以 logam m， logamn mn.所以 logamn mn nlogam，即logamn nlogam. 这样我们得到对数的三个运算性质： 如果 a 0， a1 ， m 0， N 0，则有 12 / 32 loga(mN) logam logaN； logamN logam logaN； logamn nlogam(nR) (4)以上三个性质可以归纳为： 性质 ：两数积的对数，等于各数的对数的和； 性质 ：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数； 性质 ：幂的对数等于幂指数乘以底数的对数 (5)利用对数运算性质进行运算，所以要求 a 0， a1 ， m 0， N 0. (6)性质 可以推广到 n 个数的情形： 即 loga(m1m2m3mn) logam1 logam2 logam3 logamn(其中 a 0， a1 ， m1， m2， m3， ， mn 均大于 0) (7)纵观这三个性质我们知道， 性质 的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算 性质 的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算 性质 从左往右仍然是降级运算 利用对数的性质 可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，方便了对数式的化简和求值 应用示例 13 / 32 例 1 用 logax， logay， logaz 表示下列各式： (1)logaxyz； (2)logax2y3z. 活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正 利用对数的运算性质，把整体分解成部分 对 (1)logaxyz，可先利用性质 ，转化为两数对数的差，再利用性质 ，把积的对数转化为两数对数的和 对 (2)logax2y3z，可先利用性质 ，转化为两数对数的差，再利用性质 ，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质 ，转化为幂指数与底数的对数的积 解： (1)logaxyz loga(xy) logaz logax logaylogaz； (2)logax2y3z loga(x2y) loga3z logax2 logay loga3z 2logax 12logay 13logaz. 点评：对数的运算性质实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算 变式训练 1若 a 0， a1 ， x 0， y 0， x y，下列式子正确的个数为 ( ) logaxlogay loga(x y)； logax logayloga(x y)； logaxy logaxlogay ； loga(xy) 14 / 32 logaxlogay. A 0B 1c 2D 3 答案： A 2若 a 0， a1 ， x y 0， nN* ，下列式子正确的个数为 ( ) (logax)n nlogax； (logax)n logaxn； logax loga1x； logaxlogay logaxy； nlogax 1nlogax； 1nlogax loganx； logaxn nlogax； logax yx y logax yx y. A 3B 4c 5D 6 答案： B 例 2 求值： (1)； (2)log3127. 解： (1)解法一：设，则 (3)x 33 (3)3，所以 x 3. 解法二： . (2)解法一：令 x log3127，则 3x 127，即 3x 3 3，所以 x 3. 解法二： log3127 log33 3 3. 例 3 计算： (1)lg14 2lg73 lg7 lg18； (2)lg243lg9； (3)lg27 lg8 解： (1)解法一： lg14 2lg73 lg7 lg18 lg(27) 15 / 32 2(lg7 lg3) lg7 lg(322) lg2 lg7 2lg7 2lg3lg7 2lg3 lg2 0. 解法二： lg14 2lg73 lg7 lg18 lg14 lg732 lg7lg18 lg14773218 lg1 0. (2)lg243lg9 lg35lg32 5lg32lg3 52. (3)lg27 lg8 32(lg3 2lg2 1)lg3 2lg2 1 32. 点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如 (3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系； (2)题要避免错用对数的运算性质对数运算性质的灵活运用、运算性质的逆用常被学生所忽视 例 4 设 x log23，求 23x 2 3x2x 2 x 的值 活动：学生思考观察，教师引导，学生有困难及时提示并评价学生的思考过程本题主要考查对数的定义及其运算性质先利用对数的定义求 2x，再求 23x，从而可求，或先化简再代入求值 解法一：由 x log23，得 2x 3,2 x 13，所以 23x 23x2x 2 x 33 1333 13 32 313 132 919. 解法二：由 x log23，得 2x 3,2 x 13，所以 23x 23x2x 2 x (2x 2 x)(22x 1 2 2x)2x 2 x 22x 1 2 2x 32 1 132 919. 知能训练 课本本节练习第 1,2,3 题 16 / 32 【补充练习】 1用 logax， logay， logaz， loga(x y)， loga(x y)表示下列各式： (1)loga3xy2z； (2)logax4z3y2； (3)； (4)logaxyx2 y2； (5)logax yx yy； (6)logayx(x y)3. 解： (1)loga3xy2z loga3x logay2z 13logax (2logay logaz) 13logax 2logay logaz； (2)logax4z3y2 logax loga4z3y2 logax 14(logaz3 logay2) logax 24logay 34logaz logax 12logay 34logaz； (3) logax logax 12logay 23logaz； (4)logaxyx2 y2 logaxy loga(x2 y2) logax logay loga(x y)(x y) logax logay loga(x y) loga(x y)； (5)logax yx yy logax yx y logayloga(x y) loga(x y) logay； (6)logayx(x y)3 3logay logax loga(x y)3logay 3logax 3loga(x y) 2已知 f(x6) log2x，则 f(8)等于 ( ) A 43B 8c 18D 12 解析：因为 f(x6) log2x， x 0，令 x6 8，得，所以 f(8)17 / 32 12. 另解：因为 f(x6) log2x 16log2x6，所以 f(x) 16log2x. 所以 f(8) 16log28 16log223 12. 答案： D 拓展提升 已知 x， y， z 0，且 lgx lgy lgz 0，求的值 活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导大胆设想，运用对数的运算性质由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为 t. 解：令，则 lgt 1lgy 1lgzlgx 1lgz 1lgxlgy 1lgx1lgylgz lgxlgy lgxlgz lgylgz lgylgx lgzlgxlgzlgy lgx lgzlgy lgx lgylgz lgy lgzlgxlgylgy lgzlgz lgxlgx 3，所以 t 10 3 11000即为所求 课堂小结 1对数的运算性质 2对数的运算性质的综合应用，特别是性质的逆向使用 3对数与指数形式比较： 式子 ab NlogaN b 名称 a 幂的底数 18 / 32 b 幂的指数 N 幂值 a 对数的底数 b 以 a 为底的 N 的对数 N 真数 运算 性质 aman am n； aman am n； (am)n amn； (a 0， a1 ， m， nR)loga(mN) logam logaN； logamN logam logaN； logamn nlogam(nR) ； (a 0， a1 ， m 0， N 0) 作业 课本习题组 3,4,5. 设计感想 在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数 的运算性质，推出了对数的运算性质，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算性质来理解记忆，强化性质的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任19 / 32 务 第 3 课时 作者：刘菲 整体设计 教学目标 1知识与技能 推导对数的换底公式，培养学生分析、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度 2过程与方法 让学生经历推导 对数的换底公式的过程，归纳整理本节所学知识 3情感态度与价值观 通过对数的运算性质、对数换底公式的学习，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质；感受对数的广泛应用 重点难点 重点：对数的运算性质、换底公式及其应用 难点：正确使用对数的运算性质和换底公式 教学过程 导入新课 思路 1问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？ a 0，且 a1 ， c 0，且 c1 ， b 0， logab logcblogca.教师直接点出课题：对数与对数运算 (3) 对数的换底公20 / 32 式及其应用 思 路 2前两节课我们学习了以下内容： 1对数的定义及性质； 2对数恒等式； 3对数的运算性质，用对数的运算性质我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容教师板书课题：对数与对数运算 (3) 对数的换底公式及其应用 思路 3从对数的定义可以知道，任意不等于 1 的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以 10 为底或以 e 为底的对数就能方便 地求出任意不等于 1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题：对数与对数运算 (3)对数的换底公式及其应用 推进新课 新知探究 提出问题 (1)已知 lg2， lg3，求 log23 的值； (2)根据 (1)，如 a 0， a1 ，你能用含 a 的对数式来表示log23 吗？ (3)更一般地，我们有 logab logcblogca，如何证明？ 21 / 32 (4)证明 logab logcblogca 的依据是什么？ (5)你能用自己的话概括出换底公式吗？ (6)换底公式的意 义是什么？有什么作用？ 活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力对 (1)目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对 (2)参考 (1)的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对 (3)借助 (1)(2)的思路，利用对数的定义来证明；对 (4)根据证明的过程来说明；对 (5)抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对 (6)换底公式的意义就 在于对数的底数变了，与我们的要求接近了 讨论结果： (1)因为 lg2， lg3，根据对数的定义，所以 2, 3. 不妨设 log23 x，则 2x 3，所以 ()x ,x ， 即， x lg3lg2.因此 log23 lg3lg2 (2)根据 (1)我们看到，最后的结果是 log23 用 lg2 与 lg3 表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以 2 为底的对数转换成了以 10 为底的对数， 不妨设 log23 x，由对数定义知道， 2x 3， 两边都取以 a 为底的对数，得 loga2x loga3， xloga222 / 32 loga3， x loga3loga2， 也就是 log23 loga3loga2. 这样 log23 就表示成了以 a 为底的 3 的对数与以 a 为底的 2的对数的商 (3)证明 logab logcblogca. 证明：设 logab x，由对数定义知道， ax b； 两边取以 c 为底的对数，得 logcax logcbxlogca logcb； 所以 x logcblogca，即 logab logcblogca. 一般地， logab logcblogca(a 0， a1 ， c 0， c1 ， b 0)称为对数的换底公式 (4)由 (3)的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若 m 0， N 0， m N，则 logam logaN. (5)一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商 (6)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算性质创造条件，更方便化简求值 说明：我们使用的计算器中， “log” 通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数 如 log23 lg3lg2， 23 / 32 即计算 log23 的 值 的 按 键 顺 序 为 ：“log”“3”“”“log”“2”“ ” 再如：在前面要求我国人口达到 18 亿的年份，就是要计算x， 所以 x lg18 33( 年 ) 可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多 应用示例 例 1 求 log89log2732 的值 活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数；根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以 2为底的对 数，以 3 为底的对数也可 解法一： log89log2732 lg9lg8lg32lg27 2lg33lg25lg23lg3 109. 解法二： log89log2732 log29log28log232log227 2log23353log23 109. 解法三： log89log2732 log39log38log332log327 23log325log323 109. 点评 ：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键 例 2 计算：24 / 32 (1)log52log4981log2513log734 ；(2)log43log92 . 活动：学生积极交流，教师引导，学生展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价先利用对数运算性质和换底公式进行化简，然后再求值；对 (1)根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简对 (2)利用换底公式把底数统一起来，再化简求值 解： (1) 原 式 lg2lg5lg34lg72lg3 1lg52lg22lg73 12lg2lg54lg32lg7 lg32lg52lg23lg7 3. (2)log43log92 log23log24log22log29 12log2312log32 54log22 14 54 32. 点评：在利用对数的换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果题目中所给的真数和底数互不相同，我们常选择以10 为底的对数进行换底 例 3(1)证明 logaxlogabx 1 logab； (2)已知 ，求证： . 活动：学生思考、讨论，教师适当提示： (1)运用对数换底公式，统一成以 a 为底的对数可直接得解，或利用对数的定25 / 32 义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解； (2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解 (1)证法一：设 logax p， logabx q， logab r，则 x ap，x (ab)q aqbq， b ar. 所以 ap (ab)q aq(1 r)，从而 p q(1 r) 因为 q0 ，所以 pq 1 r，即 logaxlogabx 1 logab. 证法二：显然 x 0 且 x1 ， x 可作为底数，左边logaxlogabx logxablogxa logaab 1 logab右边 (2)证明：因为 loga1b1 loga2b2 loganbn ，所以由换底公式得 lgb1lga1 lgb2lga2 lgbnlgan .由等比定理，所 以 lgb1 lgb2 lgbnlga1 lga2 lgan . 所以 lg(b1b2bn)lg(a1a2an) . 所以 lg(b1b2bn)lg(a1a2an) . 点评：在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简 例 420 世纪 30 年代，里克特 ()制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量26 / 32 越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大 这就是我们常说的里氏震级 m，其计算公式为 m lgA lgA0，其中， A 是被测地震的最大振幅， A0 是 “ 标准地震 ” 的振幅 (使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差 ) (1)假设在一次地震中，一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级 (精确到 )； (2)5 级地震给人的震感已比较明显，计算级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的多少倍 (精确到 1)? 活动：学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项根据题 目给出的数学模型及其含义来解决这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时注意要使实际问题有意义 解： (1)m lg20 lg20000 lg2 lg104 因此，这是一次约为里氏级的地震 (2)由 m lgA lgA0 可得 m lgAA0，即 AA0 10m，所以 A A010m. 当 m时，地震的最大振幅为 A1 A0； 当 m 5 时，地震的最大振幅为 A2 A0105. 所以，两次地震 的最大振幅之比是 A1A2 A0105 527 / 32 398. 答：级地震的最大振幅大约是 5级地震的最大振幅的 398倍 点评：利用所学知识解决实际问题，是教学的一个难点 知能训练 课本本节练习 4. 【补充练习】 (1)已知 lg2 a， lg3 b，则 lg12lg15 等于 ( ) A 2a b1 a bB a 2b1 a bc 2a b1 a bD a2b1 a b (2)已知 2lg(x 2y) lgx lgy，则 xy 的值为 ( ) A 1B 4c 1 或 4D 4 或 1 (3)若 3a 2，则 log38 2log36 _. (4) lg58 _. 答案： (1)c (2)B (3)a 2 (4)1 拓展提升 探究换底公式的其他证明方法： 活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导，大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质 证法一：设 logaN x，则 ax N，两边取以 c(c 0 且 c1)为底的对数，得 logcax logcN，所以 xlogca logcN，即 x logcNlogca.故 logaN logcNlogca. 证法二：由对数 恒等式，得，两边取以 c(c 0 且 c1) 为28 / 32 底的对数，得 logcN logaNlogca，所以 logaNlogcNlogca. 证法三：令 logca m， logaN n，则 a cm， N an，所以N (cm)n cmn. 两边取以 c(c 0 且 c1) 为底的对数，得 mn logcN，所以n logcNm，即 logaN logcNlogca. 对数换底公式的应用：换底公式 logaN logcNlogca(c 0且 c1 ， a 0 且 a1 ， N 0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端 到左端的应用，前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明： 例：化简： logamlogaN logbmlogbN logcmlogcN logdmlogdN. 解：原式 logNm logNm logNm logNm 4logNm. 课堂小结 1对数换底公式； 2换底公式可用于对数式的化简、求值或证明若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以 10 为底的常用对数或以任意数 a(a 0 且 a1) 为 底的对数式的形式 作业 课本习题组 6,11,12. 29 / 32 【补充作业】 1已知，求 log81175 的值 解：因为 log277 13log37 a，所以 log37 3a. 又因为 log35 b， 所以 log81175 14log3(257) 14(log325 log37)14(2log35 log37) 3a 2b4. 2求证： (log23 log49 log827 )log9n32 52. 证 明 ： 左 边 (log23 log49 log827 log2n3n)log9n32 ()1nlog932 nlog231nlog332 log2352log32 52右边 设计感想 本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算性质是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用十分广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学 手段 备课资料 【备选例题】 30 / 32 【例 1 】 化 简 ：logamlogbNlogbmlogcNlogcmlogdNlogdmlogaN. 解：原式log