平面向量的数量积的物理背景及其含义

1 / 15 平面向量的数量积的物理背景及其含义 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 平面向量的数量积的物理背景及其含义 一、教材分析 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识 .主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5 个重要性质；平面向量数量积的运算律 . 二教学目标 1了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义； 2体会平面向 量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算； 3体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 三、教学重点难点 重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义， 2、性质与运算律及其应用。 难点：平面向量数量积的概念 四、学情分析 2 / 15 我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细 五、教学方法 1实验法：多媒体、实物投影仪。 2学案导学：见后面的学案 。 3新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑 情境导入、展示目标 合作探究、精讲点拨 反思总结、当堂检测 发导学案、布置预习 六、课前准备 1学生的学习准备：预习学案。 2教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排： 1 课时 八、教学过程 (一 )预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 （二）情景导入、展示目标。 创设问题情景，引出新课 1、提出问题 1：请同学们回顾一下，我们已经 研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？ 3 / 15 期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题 2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？ 期望学生回答：物理模型 概念 性质 运算律 应用 3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义 （三）合作探究，精讲点拨 探究一：数量积的概念 1、给出有关材料并提出问题 3： （ 1）如图所示，一物体在力 F 的作用下产生位移 S， 那么力 F 所做 的功： W=|F|S|cos 。 （ 2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空： W （功）是量， F （力）是量， S （位移）是量， 是。 （ 3）你能用文字语言表述 “ 功的计算公式 ” 吗 ? 期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 2、明晰数量积的定义 （ 1）数量积的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量4 / 15 b cos 叫做与的数量积（或内积），记作： ，即： = cos （ 2）定义说明： 记法 “& #8226;” 中间的 “” 不可以省略，也不可以用 “” 代替。 “ 规定 ” ：零向量与任何向量的数量积为零。 （ 3）提出问题 4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ 期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。 （ 4）学生讨论，并完成下表： 的范围 090 =90 0180 的符号 例 1：已知，当 ， ， 与的夹角是 60 时，分别求 . 解： 当 时，若与同向，则它们的夹角 ， cos0 361 18； 5 / 15 若与反向，则它们的夹角 180 ， cos180 36 （ -1） 18； 当 时，它们的夹角 90 ， ； 当与的夹角是 60 时，有 cos60 36 9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是 0 ，180 ，因此，当 时，有 0 或 180 两种可能 . 变式：对于两个非零向量、，求使 |+t|最小时的 t 值，并求此时与 +t的夹角。 探究二：研究数量积的意义 1.给出向量投影的概念： 如图，我们把 cos （ cos ） 叫做向量在方向上（在方向上）的投影， 记做： oB1= cos 2.提出问题 5：数量积的几何意义是什么？ 期望学生回答：数量积 等于的长度与在的方向上的投影 cos的乘积。 3.研究数量积的物理意义 请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位 移的数6 / 15 量积。 探究三：探究数量积的运算性质 1、提出问题 6： 比较 与 的大小，你有什么结论？ 2、明晰：数量积的性质 3.数量积的运算律 （ 1）、提出问题 7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？ 预测：学生可能会提出以下猜想： = （ ） =() （ +） =+ （ 2）、分析猜想： 猜想 的正确性是显而易见的。 关于猜 想 的正确性，请同学们先来讨论：猜测 的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？ 期望学生回答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测 是不正确的。 （ 3）、明晰：数量积的运算律： 7 / 15 例 2、（师生共同完成）已知 =6， =4,与的夹角为 60 ，求（ +2） （ -3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？ 解：（ +2） （ -3） =.-3.+2.-6. =36-34644 =-72 评述：可以和实 数做类比记忆数量积的运算律 变式：（ 1） (+)2=2+2+2 （ 2） (+)(-)=2 2 （四）反思总结，当堂检测。 教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。 设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录） （五）发导学案、布置预习。 我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义，那么，在下一节课我们一起来学习数量积的坐标运算。模。夹角。这节课后大家可以先预习这一部分，着重分析坐标的作用 设计意图：布置下节课 的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。 九、板书设计 8 / 15 十、教学反思 本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和 几何两个方面对数量积的 “ 质变 ” 特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。 临清三中数学组编写人：王晓燕审稿人：刘桂江李怀奎 平面向量的数量积的物理背景及其含义 课前预习学案 9 / 15 一、预习目标： 预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律； 二、预习内容： 1.平面向量数量积（内积）的定义： 2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 3 “ 投影 ” 的概念：作图 4.向量的数量积的几何意义： 5两个向量的数量积的性质： 设、为两个非零向量， e 是与同向的单位向量 . 1e=e= 2= 设、为两个非零向量， e 是与同向的单位向量 . e=e= 3当与同向时， =当与反向时， =特别的 =|2 或 4cos= 5| 10 / 15 三、提出疑惑： 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 1 说出平面向量的数量积及其几何意义； 2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 学习重难点：。平面向量的数量积及其几何意义 二、学习过程 创设问题情景，引出新课 1、提出问题 1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？ 2、提出问题 2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？ 3、新课引入：本节课我们仍然按照 这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含11 / 15 义 探究一： 数量积的概念 1、给出有关材料并提出问题 3： （ 1）如图所示，一物体在力 F 的作用下产生位移 S， 那么力 F 所做的功： W= （ 2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空： W （功）是量， F （力）是量， S （位移）是量， 是。 （ 3）你能用文字语言表述 “ 功的计算公式 ” 吗 ? 2、明晰数量积的定义 （ 1）数量积的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 cos叫做与的 数量积（或内积），记作： ，即： = cos （ 2）定义说明： 记法 “” 中间的 “” 不可以省略，也不可以用 “” 代替。 “ 规定 ” ：零向量与任何向量的数量积为零。 （ 3）提出问题 4：向量的数量积运算与线性运算的结果有12 / 15 什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ （ 4）学生讨论，并完成下表： 的范围 090 =90 0180 的符号 例 1：已知， ，当 ， ， 与的夹角是 60 时，分别求 . 解： 变式： .对于两个非零向量、，求使 |+t|最小时的 t 值，并求此时与+t的夹角 . 探究二：研究数量积的意义 1.给出向量投影的概念： 如图，我们把 cos （ cos ） 叫做向量在方向上（在方向上）的投影， 记做： oB1= cos 13 / 15 2.提出问题 5：数量积的几何意义是什么？ 3.研究数量积的物理意义 请同学们用一句话来概括功的数学本质： 探究三：探究数量 积的运算性质 1、提出问题 6：比较 与 的大小，你有什么结论？ 2、明晰：数量积的性质 3.数量积的运算律 （ 1）、提出问题 7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？ （ 2）、明晰：数量积的运算律： 例 2、（师生共同完成）已知 =6， =4,与的夹角为60 ，求（ +2） （ -3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？ 解： 变式：（ 1） (+)2=2+2+2 14 / 15 （ 2） (+)(-)=2 2 （三）反思总结 (四 )当堂检测 1.已知 |=5， |=4，与的夹角 =120o ，求 . 2.已知 |=6， |=4，与的夹角为 60o求 (+2)(-3) . 3.已知 |=3， |=4，且与不共线， k 为何值时，向量 +k与 -k互相垂直 . 4.已知，当 ， ， 与的夹角是 60 时，分别求 . 5.已知 |=1， |=， (1)若 ，求 ； (2)若、的夹角为 ，求 |+|； (3)若 -与垂直，求与的夹角 . 6.设 m、 n 是两个单位向量，其夹角为 ，求向量 =2m+n与 =2n-3m的夹角 . 课后练习与提高 1.已知 |=1， |=，且 (-)与垂直，则与的夹角是（） D. 2.已知 |=2， |=1，与之间的夹角