高一数学同角三角函数基本关系式及诱导公式知识点总结及例题

1 / 48 高一数学同角三角函数基本关系式及诱导公式知识点总结及例题 同角三角函数基本关系式及诱导公式 1 同角三角函数的基本关系 sin (1) 平方关系： 22商数关系： tan . cos 2. 诱导公式 3 ， tan 2，则 cos _. 1 (2016 大纲全国 )已知 ?2? 答案 55 sin 解析 tan 2， 2， sin 2cos . cos 1 又 sin2 cos2 1， (2cos )2 cos2 1，cos2. 5 2 / 48 3 ， ?， cos 又 ?2?5 2sin cos 2 若 tan 2，则的值为 _ sin 2cos 3 答案 4 2tan 13解析 原式 tan 24 13 已知 是第二象限的角， tan ，则 cos _. 2 25答案 5 解析 是第二象限的角， cos 又 sin2 cos2 1， tan 25cos . 5 445 ? 的值是 _ 4 sin cos tan?3?36 3 / 48 33答案 4 ? ? 解析 原式sin?costan3?3?6? ? sin ? cos tan ? ?3?6?3?sin 1， cos 2 ?3?3 ( 3) 42?2?22 ，则 sin? _. 5 已知 cos?3?6?3? 2 答案 3 2 sin? ?6 ? 解析 sin?3?2? 2? cos? ? . sin?2 ?6?6?3 题型分析 深度剖析 题型一 同角三角函数基本关系式的应用 1 例 1 已知在 ABC 中， sin A cos A5 4 / 48 (1)求 sin Acos A 的值； (2)判断 ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求 tan A 的值 1 思维启迪：由 sin A cos A 及 sin2A cos2A 1，可求 sin A， cos A的值 5 1 解 (1)sin A cos A 5 1 两边平方得 1 2sin Acos A， 25 12sin Acos A . 25 12(2)由 sin Acos A 可知 cos A (3)( sin Acos A)2 1 2sin Acos A 2449 1， 2525 又 sin A0， cos A0， 5 / 48 7sin A cos A . 5 43 由 ， 可得 sin A， cos A， 55 4 5sin A4tan A . cos A33 5 探究提高 (1)对于 sin cos ， sin cos ， sin cos 这三个式子，已知其中一个式 子的值，其余二式的值可求转化的公式为 (sin cos )2 12sin cos ； (2)关于 sin ， cos 的 齐次式，往往化为关于 tan 的式子 (1)已知 tan 2，求 sin2 sin c os 2cos2 ； (2)已知 sin 2sin ， tan 3tan ，求 cos . 解 (1)sin2 sin cos 2cos2 sin2 sin cos 2cos2 sin cos 6 / 48 tan2 tan 24 . 5tan 1 (2)sin 2sin ， tan 3tan ， sin2 4sin2 ， tan2 9tan2 ， 由 得： 9cos2 4cos2 ， 得： sin2 9cos2 4， 36cos2 sin2 1， cos2 cos . 84 题型二 三角函数的诱导公式的应用 53? ，求 cos? 的值； 例 2 (1) 已知cos?6?3?6?73 ?的值 (2)已知 5 思维启迪： (1)将 看作一个整体，观察 与 的关系 666 7 / 48 (2)先化简已知，求出 cos 的值，然后化简结论并代入求值 ?5 ? ， 解 (1)?6?6?5?. ?6?6 5? cos? ? ? cos?6?6? ?3 ， cos?6?3 5?3 . 即 cos?6?3 (2)cos( 7) cos(7 ) 3 cos( ) cos 5 3cos . 5 7 ? sin(3 )tan?2? ? tan?7 ? sin( )?2? 8 / 48 ? sin tan?2? ?sin?2 ? sin ?cos?2? cos 3 sin cos . sin 5 探究提高 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键另外 ，切化弦是常用的规律技巧 3 ?tan? ?cos?2 ?sin?2? (1 )； cos? 3?sin? 3 ? sin? x?cos?2 x?tan? x ?31 的值 (2)已知 f(x) f?3? xcos?2? ? ?tan cos sin? 2 ?2?解 (1)原式 cos?3 ? sin?3 ? ?tan cos sin?2 ? ? cos ?sin tan cos cos ? cos 9 / 48 ?sin tan cos sin cos 1. sin cos sin sin xcos x? tan x?(2)f(x)sin x cos xtan x sin x， 3131 31 sin? ? sin f?3?3?3 310 sin sin?3?32 题型三 三角函数式的化简与求值 11例 3 (1)已知 tan 的值； 32sin cos cos 3 tan? ?cos?2 ?sin?2?(2) 化简： . cos? ?sin? ? 思维启迪：三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察 10 / 48 式子的规律，使用恰当的公式 1 解 (1)因为 tan 3 sin2 cos21 所以 2sin cos cos 2sin cos cos tan2 12 2tan 13 tan cos? ?sin?2?(2) 原式 cos? ?sin? ? sin ?cos tan cos sin?2?cos 1. cos sin sin 探究提高 在三角变换中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简 5 ? (0 ， ) ， 已知 sin?2?5 cos2? ?cos2?42?42?sin? ? 11 / 48 cos?3 ? 求的值 5 解 sin?25 cos 525 ，又 (0 ， ) ， sin 55 cos2? ?cos2?42?42? sin? ? cos?3 ? sin2?cos2?42?42 sin cos sin 2 3sin cos sin cos 分类讨论思想在三角函数化简中的应用 典例： (12分 )化简： sin?4n 14n 1 ? cos? ? (nZ) ?4?4?cos?2 ? 审题视角 (1)角中含有变量 n，因而需对 n 的奇偶分类讨论 (2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看 12 / 48 第节 同角三角函数的基本 关系式与诱导公式 一、选择题 330 等于 ( D ) (A) (B)- (C) (D)- 解析 :tan 330=tan(360 -30)=tan( -30)= -tan 30= -.故选 D. 2.若 cos =, 则 tan 等于 ( C ) (A)- (B) (C)-2 (D)2 解析 :由已知得 sin = -=-=-, tan = -2.故选 C. 3.已知 sin( -)=log81 , 且 4, 则 tan(2 -) 的值为( B ) (A)- (B) 13 / 48 (C) (D) 解析 :sin( -)=sin =log8= -,又 , 得 cos =, tan(2 -)=tan( -)= -tan = -2=.故选 B. 24.已知 tan =2, 则 sin+sin cos -2cos 等于 ( D ) (A)- (B) (C)- 2(D) 2解析 :sin+sin cos -2cos = = =.故选 D. 5.若 是三角形的内角 ,且 sin +cos =, 则 tan 等于( B ) (A) (B)- (C)- (D)-或 - 解析 :将 sin +cos = 两边同时平方 , 14 / 48 整理得 2sin cos =-,由这个结果可知角 是第二象限角 ,并且 (sin -cos )=1 -2sin cos =, 由于 sin -cos 0, 所以 sin -cos =, 将该式与 sin 2 +cos = 联立 ,解得所以 tan = -.故选 B. 6.已知 f()=, 则 f 的值为 ( B ) (A) (B)- (C) (D)- 解析 :f()= -cos , f= -cos= -cos=-cos= -cos=-.故选 B. 二、填空题 7.当 kZ 时 ,= . 15 / 48 解析 :若 k为偶数 ,则原式 = =-1;若 k为奇数 ,则原式 = 答案 :-1 8.设 = -1. ,sin +cos =, 则 tan = . 解析 :将 sin +cos = 两边平方得 sin cos = 由 得或 又 0 sin 故 tan =. 答案 : 9.若函数 f(x)=sin(x+) -2cos(x-) 是奇函数 ,其中 为锐角 , 则 sin 2cos = . 解析 :因为函数 f(x)=sin(x+) -2cos(x-) 是奇函数 ,所以16 / 48 f(0)=sin -2cos =0, 所以 tan =2. 由于 为锐角 ,故 解得 sin =,cos =. 所以 sin 2cos =. 答案 : 三、解答题 10.已知函数 f(x)=. (1)求函数 y=f(x)的定义域 ; (2)设 tan = -,求 f() 的值 . 解 :(1)由 cos x0, 得 x+k,kZ, 所以函数的定义域是 xx+k,kZ . 17 / 48 (2)tan = -, f()= = =-1-tan =. 11.已知关于 x的方程 2x-( (1)+ 的值 ; 2+1)x+m=0 的两个根为 sin 和 cos ,(0,2), 求 : (2)m的值 ;网 (3)方程的两根及 的值 . ?sin?cos?解 :(1)?sin?cos? +=+ m, 2 = 18 / 48 =sin +cos =. (2)将 式两边平方得 1+2sin cos =. 所以 sin cos =. 由 式得 =, 所以 m=. 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 一、基本知识： 同角三角函数的基本关系式： 平方关系： 商式关系： 倒数关系： 诱导公式： A函数名称不变，符号看象限。 B 函数名称要改变，符号看象限。 19 / 48 方法总结：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 用公式二或一 用公式一 用公式三、四、五 三、例题分析： 例 1、求值：求下列角度的三角函数值。 1. sin( 330)=_ ， 2、 cos4080=_ 3、cos(?210?) 27? 5、 cot(?1470?) 4 4、 tan 例 1 化简 20 / 48 sin(2 -)tan(+ )cot(- -) cos( -)tan(3 -) 例 2、设 的值为 例 3、计算 =_. tan1tan2tan3tan88tan89 例 2 例 5、已知函数 f(x)=asin(x ) bcos(x ) ，其中 a， b， ， 都是非零实数，且满 足 f(1997)= 1，则 f(1998)= 例 4、已知 A、 B、 C 为 ABC 的三个内角，求证： cos= cosA； 1 21 / 48 例 2 若 sincos= ， ( ， )，求 cos sin 的值 842 变式 1 条件同例， 求 cos+sin 的值 变式 2 已知 cos sin= 例 3 已知 tan=3 求 1+2sincos1+ tan 例 4、证明： = cos sin 1 tan 例 5、化简： 1?2sin 3 ， 求 sincos ， sin+cos 的值 2 4sin?2cos? 22 / 48 ； cos2+sinco s 的值 5cos?3sin? ? 2 cos ? 2 ?1?2sin ? 2 cos 23 / 48 ? 2 ， ?0? ? ? ? 2? 已知 ?是第三象限角，求 ?cos?cos? 的值。 ? 1?cos?1?cos? 求 cos2( 24 / 48 ? ?)?cos2(?)的值。 44 已知 cot?0，求 sin?2?sin?4?3?的值。 若 f(cosx)?cos17x, 求 f(sinx) sin?cos ? ?3?2? ， 25 / 48 求 sin?cos? sin3?2?cos3?2? 三、 填空题 (1 4 每题 2 分， 第 5 小题 3 分， 第 6 小题 4分， 共 15 分 ) 1. sin(450 a) sin(180 a)+cos(450 a)+cos(a 180) 的值为 _ 3. sin500cos130+sin230cos400 tan320cot140 的 值 为 _ 4. 1+tan505_0 6. sin( 660)cos420 tan330cot( 690)=_ 三、 填空题 (1 2 每题 2 分， 第 3 小题 3 分， 第 4 小题 4分， 共 11分 ) 三、练习 1 sin2150+sin2135+2sin210+cos2225 的 值 是 ( ) A 134 B 4 C 1194 D 4 26 / 48 同角三角函数基本关系与诱导公式 强化训练题 班级 姓名 得分 一选择题： 1 给 出 下 列 等 式 ， sin(?3?)?sin? ；sin(630?)?cos? ； cos(?4?)?cos? ； cos(?3?)?sin? 其中正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 2 已知 sin?m,(m?1,?3?) ，那么 tan? 2 2?mA B ? C ? 27 / 48 D ?222m?m?m?mmmm 7anA? ，则 t 13 512512A B C ? D ? 1251253在 ?ABC 中，若 sinA?cosA? 4若 ?为第一象限角，那么 sin2?， tan? 2， cos2?， cos? 2 中，取值必为正的有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3个 5 ?2sin(?3)cos(?3)化简的结果是 A sin3?cos3 B cos3?sin3 二填空题： C cos3?sin3 D ?cos3?sin3 28 / 48 6 sin315?sin(?1215?)?cos570?sin(?840?)? 7 若 cos?，且 ?的终边过点 P(x,2)，则 tan? ?8已知角 ?终边上的一点 P(3a,4a)(a?0)，那么 cos(540?) 9已知 sin(3?)?17?） ，求 cos(22 10若角 ?的终边落在直线 y?x上，则 ? 三解答题 11 已知 29 / 48 3sin?5cos?1? ，求 2sin2?sin?cos?cos2? 的值 2sin?7cos?11 sin(5400?x)1cos(3600?x)12 化简： ?tan(9000?x)tan(450?x)tan(?8100?x)sin(?x) 13 求证： 1?sin?cos?1?sin? 1?sin?cos?cos? 1?m2 14已知 cos? (m?1)，求 sin?与 tan?的值 21?m 15已知 sin?asin?， tan?btan?，其中 ?为锐角，求证：cos? a2?1 b2?1 参考答案 30 / 48 一选择题： 1 A 2 B 3 D 4 C 5 A 二填空题： 6 531 7 8 ? 9 ? 10 ?2 452 1 5222 三解答题： 11解：由条件得： sin?2cos?，代入 sin?cos?1 得： cos? 2sin?sin?cos?cos?11cos? 12 解：原式 ?22211 5sin(180?x)cos(90?x)cos(?90?x)cos(360?x) ?tan(180?x)sin(90?x)sin(?90?x)sin(?x) (?sinx)(?sinx)(?sinx)cosxsinx?sinxcosx (?tanx)cosx(?cosx)(?sinx)tanx? cos?(1?sin?)?cos2?cos?(1?sin?)?(1?sin2?)13证明： 左边 ? ?cos?(1?sin?cos?)cos?(1?sin?cos?) 31 / 48 (1?sin?)(1?sin?cos?)1?sin? 右边 cos?(1?sin?cos?)cos? 原等式成立 注：本题也可由 cos?1?sin?及等比定理得证 1?sin?cos? 1?m2 14解： cos? (m?1) ， cos?0 且 cos?1 21?m ? 是第二或第三象限角，且 1?m2 24m2 (m?1) sin?1?cos?1?()?2221?m(1?m)22 当 ?是第二象限角时， sin?2m?2mtan?，； 1?m21?m2 2m2mtan?当 ?是第三象限角时， sin?， 221?m1?m 32 / 48 15证明：将 sin?asin? 、 tan?btan? 两边分别相除可得： bcos?acos? 再由 得： sin 222?b2cos2?a2(sin2?cos2?)?a2 22a2?11?cos?bcos?a，即 cos?2 b?12 又 ? 为锐角， cos?a2?1 2b?1 a2?1注：本题也可由条件将 a、 b代入 2并化简得证 b?1 同角三角函数基本关系式及诱导公式 必修四： (新课标 )同角三角函数基本关系式及诱导公式 (典型例题 +习题 +答案 ) 33 / 48 1 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： 2 cos2 1.(2)商数关系： sin cos tan . 2. 诱导公式 1 (2016 大纲全国 )已知 ? ， 32 ， tan 2，则 cos _. 答案 5 5 解析 tan 2， sin cos 2， sin 2cos . 又 sin2 cos2 1， (2cos )2 cos2 1，cos21 5. 34 / 48 又 ? ， 3 2?， cos 52 若 tan 2，则 2sin cos sin 2cos 的值为 _ 答案 3 4 解析 原式 2tan 13 tan 2 43 已知 是第二象限的角， tan 1 2，则 cos _. 答案 25 5 解析 是第二 象限的角， cos 又 sin2 cos2 1， tan sin cos 1 2， cos 25 35 / 48 5. 4 sin 43cos 5 6tan? 4 3? 的值是 _ 答案 33 4 解析 原式 sin? ? 3cos? 6tan? 3 ? sin 3? cos 6? tan 36 / 48 3? ?3 ?2? 3 2( 3) 3 4 ?22 ，则 sin? _. 5 已知cos?3?6?3? 2 答案 3 2 sin? ?6 ? 解析 sin?3?2? 2? cos? ? . sin?2 ?6?6?3 题型分析 深度剖析 37 / 48 题型一 同角三角函数基本 关系式的应用 1 例 1 已知在 ABC 中， sin A cos A5 (1)求 sin Acos A 的值； (2)判断 ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求 tan A 的值 1 思维启迪：由 sin A cos A 及 sin2A cos2A 1，可求 sin A， cos A的值 5 1 解 (1)sin A cos A 5 1 两边平方得 1 2sin Acos A， 25 12sin Acos A . 25 12(2)由 sin Acos A 可知 cos A (3)(sin A cos A)2 1 2sin Acos A 38 / 48 2449 1， 2525 又 sin A0， cos A0， 7sin A cos A . 5 43 由 ， 可得 sin A， cos A， 55 45sin A4tan A . cos A33 5 探究提高 (1)对于 sin cos ， sin cos ， sin cos 这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求转化的公式为 (sin cos )2 12sin cos ； (2)关于 sin ， cos 的齐次式，往往化为关于 tan 的式子 (1)已知 tan 2，求 sin2 sin cos 2cos2 ； (2)已知 sin 2sin ， tan 3tan ，求 cos . 解 (1)sin2 sin cos 2cos2 39 / 48 sin2 sin cos 2cos2 sin cos tan2 tan 24 . 5tan 1 (2)sin 2sin ， tan 3tan ， sin2 4sin2 ， tan2 9tan2 ， 由 得： 9cos2 4cos2 ， 得： sin2 9cos2 4， 36cos2 sin2 1， cos2 8cos 4. 题型二 三角函数的诱导公式的应用 例 2 (1)已知 cos? ?6? 3 40 / 48 3，求 cos?5 ?6? 的值； (2)已知 5 ，求 sin(3 )tan? 7 2? 的值 思 维启迪： (1)将 6 看作一个整体，观察 5 6 与 6 的关系 (2)先化简已知，求出 cos 的值，然后化简结论并代入求值 解 (1)? ?6 ? ?5 ?6 ? ， 5 41 / 48 6 ? ?6?. cos?5 ?6? cos? ? ?6 ? cos? ?6 ? 3 3， 即 cos?5 ?6? 3 3. 42 / 48 (2)cos( 7) cos(7 ) cos( ) cos 3 5 cos 3 5. sin(3 )tan? 7 2? sin( )? tan?7 ?2 ? sin tan? ?2? 43 / 48 sin? sin ?2 ? ?cos? ?2? sin cos 3 sin cos 5. 探究提高 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键另外，切化弦是常用的规律技巧 3 ?tan? ?cos?2 ?sin?2? (1) ； cos? 3?sin? 3 ? sin? x?cos?2 x?tan? x ?31 的值 (2)已知 f(x) f?3 x?cos?2? ? ?tan cos sin? 2 ?2?解 (1)原式 cos?3 ? sin?3 ? 44 / 48 ?tan cos sin?2 ? ? cos ?sin tan c os cos ? cos ?sin tan cos sin cos 1. sin cos sin sin xcos x? tan x?(2)f(x)sin x cos xtan x sin