抛物线　说课

1 / 12 抛物线 说课 一、内容简析： 1、知识梳理 定义 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹 方程 =2px（ p0 ），焦点是 F（， 0） =2py（ p0 ），焦点是 F（ 0，） 性质 以曲线 c： y2=2px（ p 0）为例 1.范围： x0 2.对称性：关于 x 轴对称 3.顶点：原点 o 4.离心率： e=1 5.准线： x= 6.焦半径 P（ x， y） S， |PF|=x+ 2、重点、难点： 本节重点是抛物线的定义、四种方程及几何性质。难点是四种方程的运用及对应性质的比较、辨别和应用，关键是定义的运用。 建议在教学中注意以下几点： 1）圆锥曲线统一定义：平面内与一定点 F 和定直线 l 的距2 / 12 离之比为常数 e 的点的轨迹，当 0 e 1 时，表示椭圆；当e=1时，表示抛物线；当 e 1 时，表示双曲线； 2）由于抛物线的离心率 e=1，所以与椭圆及双曲线相比，它有许多特殊的性质，而且许多性质是可以借助于平面几何的知识来解决的； 3）抛物线方程中，字母 p 的几何意义是抛物线的焦点 F 到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离 .牢记它对解题非常有益； 4）求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程； 5）在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，所以要注意相互转化； 6）在定义中，点 F 不在直线 L 上，否则轨迹不是抛物线。 二、教学目标： 1、掌握抛物线的定义、标准方程和简单几何性质； 2、学会利用定义与简单的几何 性质解决与抛物线有关的问题。 3、在教学中渗透辩证、全面看待事物的思想与方法。 三、点击双基 1.（ XX年春季北京）在抛物线 y2=2px上，横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5，则 p 的值为 .1c. 3 / 12 答案： c 2.设 a0 ， aR ，则抛物线 y=4ax2的焦点坐标为 A.（ a， 0） B.（ 0， a） c.（ 0，） D.随 a 符号而定 答案： c 3.以抛物线 y2 2px（ p 0）的焦半径 PF为直径的圆与y 轴位置关系为 A.相交 B.相离 c.相切 D.不确定 . 答案： c 4.以椭圆 +=1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于 A、 B 两点，则 |AB|的值为 _. 答案： 5.（ 2002 年全国）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： 焦点在 y 轴上； 焦点在 x 轴上； 抛物线上横坐标为 1的点到焦点的距离等于 6； 抛物线的通径的长为 5； 由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（ 2， 1） . 能使这抛物线方程为 y2=10x的条件是 _.（要求填写合适条件的序号） 答案： 四、典型例题： 4 / 12 【例 1】求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （ 1）过点（ 3， 2）； （ 2）焦点在直线 x 2y 4=0上 . 剖析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数 p；从实际分析，一般需确定 p 和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论 . 解：（ 1）设所求的抛物线方程为 y2= 2px或 x2=2py（ p 0）， 过点（ 3， 2）， 4= 2p（ 3）或 9=2p2. p= 或 p=. 所求的抛物线方程为 y2= x 或 x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是 y= . （ 2）令 x=0得 y= 2，令 y=0得 x=4， 抛物线的焦点为（ 4， 0）或（ 0， 2） . 当焦点为（ 4， 0）时， =4， p=8 ，此时抛物线方程 y2=16x； 焦点为（ 0， 2）时， =2， p=4 ，此时抛物线方程为 x2= 8y. 所求的抛物线 的方程为 y2=16x 或 x2= 8y，对应的准线方程分别是 x= 4， y=2. 评述：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为5 / 12 主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解 . 【例 2】如下图所示，直线 l1 和 l2 相交于点 m， l1l2 ，点 Nl1 ，以 A、 B 为端点的曲线段 c 上任一点到 l2 的距离与到点 N的距离相等 .若 AmN 为锐角三角形， |Am|=， |AN|=3，且 |NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段 c 的方程 . 剖析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线 方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注 x、 y 的取值范围 . 解：以直线 l1 为 x 轴，线段 mN 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段 c 是以点 N 为焦点，以 l2为准线的抛物线的一段 .其中 A、 B 分别为曲线段 c 的端点 . 设曲线段 c的方程为 y2=2px（ p0）（ xAxxB ， y0），其中 xA、 xB为 A、 B 的横坐标， p=|mN|， 所以 m（， 0）、 N（， 0） . 由 |Am|=， |AN|=3，得 （ xA+） 2+2pxA=17， （ xA） 2+2pxA=9. 联立解得 xA=，代入 式，并由 p0， 或解得 p=4， p=2， xA=1xA=2. 因为 AmN 为锐角三角形，所以 xA. 6 / 12 所以故舍去 P=2， P=4， xA=1. 由点 B 在曲线段 c 上，得 xB=|BN| =4. 综上，曲线段 c 的方程为 y2=8x（ 1x4 ， y0） . 评述：本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力 . 【例 3】设抛物线 y2=2px（ p0）的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于 A、 B 两点，点 c 在抛物线的准线上，且Bcx 轴 .证明直线 Ac经过原点 o. 剖析：证直线 Ac 经过原点 o，即证 o、 A、 c 三点共线，为此只需证 koc=koA.本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决 . 证法一：设 AB： x=my+，代入 y2=2px，得 y2 2pmy P2=0. 由韦达定理，得 yAyB= p2， 即 yB= . Bcx 轴，且 c 在准线 x=上， c （， yB） . 则 koc=koA. 故直线 Ac经过原点 o. 证法二：如下图，记准线 l 与 x 轴的交点为 E，过 A 作 ADl ，垂足为 D. 7 / 12 则 ADEFBc. 连结 Ac交 EF于点 N，则 =， =. |AF|=|AD| ， |BF|=|Bc|， |EN|=|NF| ， 即 N 是 EF 的中点 .从而点 N 与点 o 重合，故直线 Ac 经过原点 o. 评述：本题的 “ 几何味 ” 特别浓，这就为本题注入了活力 .在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到 yAyB= p2这个重要结论 .还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目 . 五、闯关训练 一）、夯实基础 1.（ XX年高考 新课程）设 a0， f（ x） =ax2+bx+c，曲线 y=f（ x）在点 P（ x0， f（ x0）处切线的倾斜角的取值范围为 0，则 P 到曲线 y=f（ x）对称轴距离的取值范围为 A. 0， B. 0， c. 0， | D. 0， | .答案： B 2.（ XX年全国 ， 8）设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是 8 / 12 A.， B. 2， 2 c. 1， 1 D. 4， 4 答案： c 3.（ XX年春季上海）直线 y=x 1 被抛物线 y2=4x截得线段的中点坐标是 _. 答案：（ 3， 2） 4.在抛物线 y=4x2上求一点，使 该点到直线 y=4x 5 的距离最短，该点的坐标是 _. 答案：（， 1） . 5.下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点 A（ 0， 9），其轨迹方程是 y=ax2+c（ a 0）， D=（ 6， 7）为 x 轴上的给定区间 . （ 1）为使物体落在 D 内，求 a 的取值范围； （ 2）若物体运动时又经过点 P（ 2，），问它能否落在 D 内？并说明理由 . 答案：运动物体能落在 D 内 . 6.正方形 ABcD中，一条边 AB在直线 y=x+4上，另外两顶点c、 D 在抛物线 y2 x 上，求正方形的面积 . 答案： 50 二）、培养能力 7.给定抛物线 y2=2x，设 A（ a， 0）， a 0， P 是抛物线上的9 / 12 一点，且 PA =d，试求 d 的最小值 . 答案 dmin=. 8.过抛物线 y2=2px（ p 0）焦点 F 的弦 AB，点 A、 B 在抛物线准线上的射影为 A1、 B1，求 A1FB1. 解：由抛物线定义及平行线性质知 A1FB1=180 （ AFA1+BFB1 ） =180 （ 180 A1AF ）（ 180 B1BF ） =（ A1AF+B1BF ） =90. 三）、实际应用 某大桥在职涨水时有最大跨度的中央桥孔的上部呈抛物线形，跨度为 20 米，拱顶距水面 6 米，桥墩高出水面 4 米，现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过 18 米，目前吃水线上部分中央船体高 5 米，宽 16 米，且该货船在现在状况下还可多装 1000 吨货物，但每装 150 吨货物，船体吃水线就要上升 0。 04米，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？ 四）、探究创新 9.（ XX 年春季北京）已知动圆过定点 P（ 1， 0），且与定直线 l： x= 1 相切，点 c 在 l 上 . （ 1）求动圆圆心的轨迹 m 的方程； （ 2）设过点 P，且斜率为的直线与曲线 m 相交于 A、 B 两10 / 12 点 . 问 ABc 能否为正三角形？若能，求点 c 的坐标；若不能，说明理由 . 当 ABc 为钝角三角形时，求这时点 c 的纵坐标的取值范围 . 解：（ 1）依题意，曲线 m 是以点 P 为焦点，直线 l 为准线的抛物线，所以曲线 m 的方程为 y2=4x，如下图 . （ 2） 由题意得，直线 AB的方程为 y=（ x 1） . 消去 y，得 3x2 10x+3=0.由 y=（ x 1）， y2=4x， 解得 A（，）， B（ 3， 2）， 若 ABc 能为正三角形， 设 c（ 1， y），则 |Ac|=|AB|=|Bc|， （ +1） 2+（ y） 2=（ 3） 2+（ 2+） 2， （ 3+1） 2+（ 2+y） 2=（ 3） 2+（ 2+） 2. 解得 y= . 但 y=不符合（ 1），所以 组成的方程组无解 .因此直线l 上不存在点 c 使 ABc是正三角形 . 设 c（ 1， y）使 ABc 成钝角三角形，由 得 y=2， y=（ x 1）， 11 / 12 x= 1， 即当点 c 的坐标为（ 1， 2）时， A、 B、 c 三点共线，故 y2. 又 |Ac|2=（ 1） 2+（ y） 2= +y2， |Bc|2=（ 3+1） 2+（ y+2） 2=28+4y+y2， |AB|2=（） 2=. 当 |Bc|2 |Ac|2+|AB|2， 即 28+4y+y2 y+y2+， 即 y时， cAB 为钝角 . 当 |Ac|2 |Bc|2+|AB|2， 即 y+y2 28+4y+y2+， 即 y时， cBA 为钝角 . 又 |AB|2 |Ac|2+|Bc|2，即 +y2+28+4y+y2，即 y2+y+ 0，（ y+） 2 0. 该不等式无解，所以 AcB 不可能为钝角 . 因此，当 ABc 为钝角三角形时，点 c 的纵坐标 y 的取值范围是 y或 y（ y2 ） . 六、思悟小结 本节主要内容是抛物线的定义、方程及几何性质 .解决本节问题时应注意以下 几点： 1.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般12 / 12 用轨迹法 . 2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算 . 3.解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注