数学归纳法

1 / 9 数学归纳法 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲 山课件 数学归纳法 教学过程： 一、创设情境，启动思维 情境一、财主儿子学写字的笑话、 “ 小明弟兄三个，大哥叫大毛 ” 的脑筋急转弯等； 教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法 -归纳法，这就是今天的课题 .人们通常也会用归纳法思考问题，小孩也会由此总结出什么年龄人该叫爷爷，什么年龄人叫阿姨，叫哥哥或姐姐 . 情境二：华罗庚的 “ 摸球实验 ” 1、这里有一袋球共 12个， 我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么判断？ 启发回答 : 方法一：把它全部倒出来看一看特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性 方法二：一个一个拿，拿一个看一个 比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球， ，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球特点：有顺2 / 9 序，有过程 2、如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断这一袋球是白球，还是黑球，上述方法可行吗？ 情境三 :回顾等差数列通项公式推导过程： 设计意图：首先设计情境一 ,分析情境，自然引出课题 -归纳法，谈笑间 进入正题 .再通过情境二的交流激发学生的兴趣，调动学生学习的积极性情境三点出两种归纳法的不同特点 .通过梳理我们熟悉的一些问题，很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔 . 二、师生互动，探究问题 承上启下：以上问题的思考和解决，用的都是归纳法 .什么是归纳法？归纳法特点是什么？上述归纳法有什么不同呢？ 学生回答以上问题，得出结论： 1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法 .特点：由特殊 一般； 2.完全归纳法 :把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法； 3.不完全归纳法 :根据事物 的部分 (而不是全部 )特例得出一般结论的推理方法 . 在生活和生产实际中，归纳法有着广泛的应用例如气象工3 / 9 作者、水文工作者，地震工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，地震预测用的就是归纳法 4.引导学生举例： 不完全归纳法实例：如欧拉发现立体图形的欧拉公式 :(V为顶点数 ,E为棱数 ,F为面数 ) 完全归纳法实例：如证明圆周角定理时，分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况讨论 设计意图：从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，并在这里我安排学生举完全归纳法的实例和不完全归纳法实例 ，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳法，并引导学生积极投入到探寻论证方法过程的氛围中 . 三、借助史料 ,引申思辨 问题 1：已知（ nN ）， (1)分别求； (2)由 你会有怎样的一个猜想？这个猜想正确吗？ 问题 2：费马（ Fermat）是 17 世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献他曾认为，当 nN 时，一定都是质数，这是他对 n 0，1， 2， 3， 4 作了验证后得到的后来， 18 世纪伟大的瑞士科 学 家 欧 拉 （ Euler ） 却 证 明 了 4294967297 4 / 9 6700417641 ，从而否定了费马的推测没想到当 n 5 这一结论便不成立 教师总结 :有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个数上！ 问题 3： ,当 nN 时，是否都为质数？ 验证： f（ 0） 41， f（ 1） 43， f（ 2） 47， f（ 3） 53，f（ 4） 61， f（ 5） 71， f（ 6） 83， f（ 7） 97， f（ 8） 113， f（ 9） 131， f（ 10） 151， ， f（ 39） 1601但是 f（ 40） 1681，是合数 承上启下：这里算了 39 个数不算少了吧，但还是不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来 ,寻求数学证明 . 教师设问： ,不完全归纳法为什么会出错？如何弥补不足？怎么给出证明呢？ 设计意图：在生活引例与已学数学知识的基础上，进一步引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全 归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大师都有可能如此那么，不完全归纳法价值体现在哪里？不足之处如何去弥补呢？结论正确性怎样给出证5 / 9 明？学生一定会带着许多问题进入下一阶段探究 . 四、实例再现，激发兴趣 1、演示多米诺骨牌游戏视频 . 师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件： 第一块要倒下 ; 当前面一块倒下时，后面一块必须倒下 ; 当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下 . 再举例：再举几则生活事例：推倒自行车 ,早操排队对齐等 2、学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型） . 设计意图：布鲁纳的发现学习理论认为， “ 有指导的发现学习 ” 强调知识发生发展过程这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习另外，这个环节里，我在培养学生大胆猜想、类比概括能力方面实践的不够好应该让学生在类比多米诺骨牌游戏的基础上说出数学归纳法原理，教师给予肯定和补充即可。事实上，情境的设计都是为学生更好的知识迁移而服务的。概括能力是思维能力的核心鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完 成的心理学认为 “ 迁移就是概括 ” ，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，突破口就是学生的概括过程 五、类比联想，形成概念 6 / 9 1、类比多米诺骨牌过程 ,证明等差数列通项公式 (师生共同完成 ,教师强调步骤及注意点 ) (1)当 n 1 时等式成立； (2)假设当 n k 时等式成立 ,即 , 则 =,即 n k 1 时等式也成立 于是 ,我们可以下结论：等差数列的通项公式对任何 n 都成立 2数学归纳法原理 (学生表述 ,教师补正 )： （ 1）（递推奠基）： n 取第一个值 (例如 )时命题成立； （ 2）（递推归纳）：假设当 n=k(kN* ，且 kn0) 时结论正确；（归纳假设） 利用它证明当 n=k+1 时结论也正确 .（归纳证明） 由 (1)， (2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确，这种证明方法叫做数学归纳法 3、数学归纳法的本质：无穷的归纳 有限的演绎（递推关系） 设计意图：至此，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理 ,揭示递推过程 .教师强调数学归纳法特点 .数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数有关问题的有力工具，一种具普遍性的 方法 . 六、讨论交流，深化认识 7 / 9 例 1、数列中 , 1,(n), 通项公式是什么？你是怎么得到的？ 探讨一：观察数列特点，变形解出 . 探讨二：先计算，的值，再推测通项的公式 ,最后用数学归纳法证明结论 设计意图：通过典型例题使学生探究尝试，一方面体验 “ 观察 归纳 猜想 证明 ” 完整过程，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能使他们体验数学方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力不同的方法也体现解决问题的灵活性 . 七、反馈练习 ,巩固提高 （请两位同学板演以下两题，教师指正） 1、用数学归纳法证明： 1 3 5 （ 2n 1） 2、首项是，公比是 q 的等比数列的通项公式是 3、用数学归纳法证明：时，下列推证是否正确，说出理由？ 证明：假设时，等式成立 就是成立 那么 = 这就是说当时等式成立， 所以时等式成立 . 4、判断下列推证是否正确，若是不对，如何改正 . 求证： 8 / 9 证明： 当 n=1时，左边 右边，等式成立 . 设 n=k时，有 那么，当 n=k+1时，有 ，即 n=k+1时，命题成立 根据 可知，对 nN ，等式成立 . 设计意图：练习题 1， 2 的证明难度不大， 套用数学归纳法的证明步骤不难解答，通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况这样既可以检验学生的学习水平，保证不盲目拔高，同时不冲淡本节课的重点，对例题是一个很好的对比与补充通过 3， 4 的易错辨析，进一步体会数学归纳法证题时的两个步骤、一个结论， “ 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉 ”. 八、总结归纳，加深理解 1、本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法； 2、归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，枚举法仅局限于有限个元素，而不完全归纳法得出 的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法； 3、数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推 (递归 )思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉； 4、本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思9 / 9 想、分类思想、归纳思想、辩证思想 九、布置作业 ,课外延伸 十、书面作