数学竞赛平面几何讲座5讲(第3讲点共线、线共点)

1 / 14 数学竞赛平面几何讲座 5 讲 (第 3 讲点共线、线共点 ) 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课 件 k 第三讲点共线、线共点 在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。 1.点共线的证明 点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。 n(n4) 点共线可转化为三点共线。 例 1 如图，设线段 AB 的中点为 c，以 Ac 和 cB 为对角线作平行四边形 AEcD， BFcG。又作平行四边形 cFHD， cGkE。求证： H， c， k 三点共线。 证连 Ak， DG， HB。 由题意， ADEckG，知四边形 AkGD是平行四边形，于是 AkDG。同样可证 AkHB。四边形 AHBk是平行四边形，其对角线 AB，kH互相平分。而 c 是 AB中点，线段 kH过 c 点，故 k， c， H三点共线。 2 / 14 例 2 如图所示，菱形 ABcD 中， A=120 ， o 为 ABc外接圆， m 为其上一点，连接 mc交 AB于 E， Am交 cB延长线于 F。求证： D， E， F 三点共线。 证如图，连 Ac， DF， DE。 因为 m 在 o 上， 则 Amc=60=ABc=AcB ， 有 AmcAcF ，得 。 又因为 Amc=BAc ，所以 AmcEAc ，得 。 所以，又 BAD=BcD=120 ，知 cFD ADE 。所以 ADE=DFB 。因为 ADBc ，所以ADF=DFB=ADE ，于是 F， E， D 三点共线。 例 3 四边形 ABcD 内接于圆，其边 AB 与 Dc 的延长线交于点 P， AD 与 Bc的延长线交于点 Q。由 Q 作该圆的两条切线QE和 QF，切点分别为 E， F。求证： P， E， F 三点共线。 证如图。 连接 PQ， 并在 PQ上取一点 m，使得 B， c， m， P 四点共圆，连 cm， PF。设 PF与圆的另一交点为E ，并作 QG丄 PF，垂足为 G。易如 QE2=QmQP=QcQB 3 / 14 Pmc=ABc=PDQ 。 从而 c， D， Q， m 四点共圆，于是 PmPQ=PcPD 由 ， 得 PmPQ+QmPQ=PcPD+QcQB， 即 PQ2=QcQB+PcPD。 易知 PDPc=PE PF，又 QF2=QcQB，有 PE PF+QF2=PDPc+QcAB=PQ2， 即 PE PF=PQ2-QF2。又 PQ2 QF2=PG2 GF2=(PG+GF)(PG GF) =PF(PG GF)， 从而 PE =PG GF=PG GE ，即 GF=GE ，故 E 与 E 重合。 所以 P， E， F 三点共线。 例 4 以圆 o 外一点 P，引圆的两条切线 PA， PB， A， B为切点。割线 PcD 交 圆 o 于 c， D。又由 B 作 cD 的平行线交圆 o 于 E。若 F 为 cD中点，求证： A， F， E 三点共线。 证如图，连 AF， EF， oA， oB， oP， BF， oF， 延长 Fc交 BE 于 G。 易如 oA丄 AP， oB丄 BP， oF丄 cP，所以 P， A， F， o， B 五点共圆，有 AFP=AoP=PoB= 4 / 14 PFB 。 又因 cDBE ，所以有 PFB=FBE ， EFD=FEB ， 而 FoG为 BE的垂直平分线，故 EF=FB， FEB=EBF ， 所以 AFP=EFD ， A， F， E 三点共线。 2.线共点的证 明 证明线共点可用有关定理 (如三角形的 3 条高线交于一点 )，或证明第 3 条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。 例 5 以 ABc 的两边 AB， Ac向外作正方形 ABDE， AcFG。 ABc 的高为 AH。求证： AH， BF， cD交于一点。 证如图。延长 HA到 m， 使 Am=Bc。连 cm， Bm。 设 cm与 BF交于点 k。 在 Acm 和 BcF 中， Ac=cF， Am=Bc， mAc+HAc=180 ， HAc+HcA=90 ， 并且 BcF=90+HcA ， 因此 BcF+HAc=180 mAc=BcF 。 5 / 14 从而 mAcBcF ， Acm=cFB 。 所以 mkF=kcF+kFc=kcF+mcF=90 ， 即 BF丄 mc。 同理 cD丄 mB。 AH， BF， cD为 mBc 的 3 条高线，故 AH， BF，cD三线交于一点。 例 6 设 P 为 ABc 内一点， APB AcB=APc ABc 。又设 D， E 分别是 APB 及 APc 的内心。证明： AP， BD， cE交于一点。 证如图，过 P 向三边作垂线，垂足分别为 R， S， T。 连 RS， ST， RT，设 BD交 AP于 m， cE交 AP于 N。 易知 P， R， A， S； P， T， B， R； P， S， c， T 分别四点共圆，则 APB AcB=PAc+PBc =PRS+PRT =SRT 。 同理， APc ABc=RST ， 由条件知 SRT=RST ，所以 RT=ST。 又 RT=PBsinB， ST=Pcsinc， 所以 PBsinB=Pcsinc，那么 。 由角平分线定理知 6 / 14 。 故 m， N 重合，即 AP， BD， cE交于一点。 例 7o1与 o2 外切于 P 点， QR为两圆的公切线，其中 Q，R 分别为 o1， o2 上的切点，过 Q 且垂直于 Qo2的直线与过 R且垂直于 Ro1的直线交于点 I， IN垂直于 o1o2，垂足为 N，IN与 QR交于点 m。证明： Pm， Ro1， Qo2三条直线交于一点。 证如图，设 Ro1与 Qo2交于点 o， 连 mo， Po。 因为 o1Qm=o1Nm=90 ，所以 Q， o1， N， m 四点共圆，有QmI=Qo1o2 。 而 IQo2=90=RQo1 ， 所以 IQm=o2Qo1 ， 故 QImQo2o1 ，得 同理可证。因此 因为 Qo1Ro2 ，所以有 由 ， 得 moQo1 。又由于 o1P=o1Q， Po2=Ro2， 所以， 即 oPRo2 。从而 moQo1Ro2oP ，故 m， o， P 三点共线，所以 Pm， Ro1， Qo2三条直线相交于同一点。 7 / 14 3.塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用 定理 1(塞瓦 (ceva)定理 ): 设 P， Q， R 分别是 ABc 的 Bc， cA， AB 边上的点。若 AP，BQ， cR相交于一点 m，则 。 证如图，由三角形面积的性质，有 ,. 以上三式相乘，得 . 定理 2(定理 1 的逆定理 ): 设 P， Q， R 分别是 ABc 的 Bc， cA， AB上的点。若，则 AP，BQ， cR交于一点。 证如图，设 AP 与 BQ交于 m，连 cm，交 AB于 R 。 由定理 1 有 .而，所以 . 于是 R 与 R 重合，故 AP， BQ， cR交于一点。 定理 3(梅涅劳斯 (menelaus)定理 ): 一条不经过 ABc 任一顶点的直线和三角形三边 Bc， cA，AB(或它们的延长线 )分别交于 P， Q， R，则 证如图，由三角形面积的性质，有 ,. 8 / 14 将以上三式相乘，得 . 定理 4(定理 3 的逆定理 ): 设 P， Q， R 分别是 ABc 的三边 Bc， cA， AB 或 它们延长线上的 3 点。若 ， 则 P， Q， R 三点共线。 定理 4 与定理 2 的证明方法类似。 塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共线以及与之有关的题目中有着广泛的应用。 例 8 如图，在四边形 ABcD中，对角线 Ac平分 BAD 。在 cD上取一点 E， BE与 Ac相交于 F，延长 DF交 Bc 于 G。求证：GAc=EAc 。 证如图，连接 BD交 Ac于 H， 过点 c 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I，过点 c 作 AD 的平行线交 AE的延长线于 j。 对 BcD 用塞瓦定理，可得 因为 AH是 BAD 的角平分线， 由角平 分线定理知。 代入 式得 因为 cIAB ， cjAD ，则，。 9 / 14 代入 式得 . 从而 cI=cj。又由于 AcI=180 BAc=180 DAc=Acj ， 所以 AcIAcj ，故 IAc=jAc ，即 GAc=EAc. 例 9ABcD 是一个平行四边形， E 是 AB 上的一点， F 为cD 上的一点。 AF 交 ED 于 G， Ec 交 FB 于 H。连接线段 GH 并延长交 AD 于 L，交 Bc于 m。求证： DL=Bm. 证如图，设直线 Lm 与 BA 的延长线交于点 j，与 Dc 的延长线交于点 I。 在 EcD 与 F AB中分别使用 梅涅劳斯定理，得 ， . 因为 ABcD ，所以 ， . 从而，即，故 cI=Aj.而 ， 且 Bm+mc=Bc=AD=AL+LD.所以 Bm=DL。 例 10 在直线 l 的一侧画一个半圆 T， c， D 是 T 上的两点， T 上过 c 和 D 的切线分别交 l 于 B 和 A，半圆的圆心在线段 BA上， E 是线段 Ac和 BD的交点， F 是 l 上的点， EF垂直 l。求证： EF平分 cFD 。 10 / 14 证如图，设 AD 与 Bc相交于点 P，用 o 表示半圆 T 的圆心。过 P 作 PH 丄 l 于 H，连 oD， oc， oP。 由题意知 RtoADRtPAH ， 于是有 . 类似地， RtocBRtPHB ， 则有 . 由 co=Do，有，从而 . 由塞瓦定理的逆定理知三条直线 Ac， BD， PH 相交于一点，即 E 在 PH上，点 H 与 F 重合。 因 oDP=ocP=90 ，所以 o， D， c， P 四点共圆，直径为oP.又 PFc=90 ，从而推得点 F 也在这个圆上，因此 DFP=DoP=coP=cFP ， 所以 EF平分 cFD 。 例 11 如图，四边形 ABcD 内接于圆， AB， Dc 延长线交于 E， AD、 Bc 延长线交于 F， P 为圆上任意一点， PE， PF 分别交圆于 R， S.若对角线 Ac与 BD相交于 T. 求证： R， T， S 三点共线。 先证两个引理。 引理 1: A1B1c1D1E1F1 为圆内接六边形，若 A1D1， B1E1， c1F1交于11 / 14 一点，则有 . 如图，设 A1D1， B1E1， c1F1 交于点 o，根据圆内接多边形的性质易知 oA1B1oE1D1 ， oB1c1oF1E1 ， oc1D1oA1F1 ，从而有 ， . 将上面三式相乘即得， 引理 2： 圆内接六边形 A1B1c1D1E1F1，若满足 则其三条对角线 A1D1， B1E1， c1F1 交 于一点。 该引理与定理 2 的证明方法类似，留给读者。 例 11之证明如图，连接 PD， AS， Rc， BR， AP， SD. 由 EBREPA ， FDSFPA ，知 ,. 两式相乘，得 . 又由 EcREPD ， FPDFAS ，知， .两式相乘，得 由 ， 得 .故 . 对 EAD 应用梅涅劳斯定理，有 12 / 14 由 ， 得 . 由引理 2 知 BD， RS， Ac交于一点，所以 R， T， S 三点共线。 练习 A 组 1.由矩形 ABcD 的外接圆上任意一点 m 向它的两对 边引垂线 mQ和 mP，向另两边延长线引垂线 mR， mT。证明： PR与QT垂直，且它们的交点在矩形的一条对角线上。 2.在 ABc 的 Bc边上任取一点 P，作 PDAc ， PEAB ，PD， PE 和以 AB， Ac 为直径而在三角形外侧所作的半圆的交点分别为 D， E。求证： D， A， E 三点共线。 3.一个圆和等腰三角形 ABc的两腰相切，切点是 D， E，又和 ABc 的外接圆相切于 F。求证： ABc 的内心 G 和 D，E 在一条直线上。 4.设四边形 ABcD 为等腰梯形，把 ABc 绕点 c 旋转某一角度变成 A B c 。证明：线段 A D,Bc 和 B c 的中点在一条直线上。 5.四边形 ABcD内接于圆 o，对角线 Ac 与 BD相交于 P。设三角形 ABP， BcP， cDP和 DAP的外接圆圆心分别是 o1， o2，o3， o4。求证： oP， o1o3， o2o4三直线交于一点。 13 / 14 6.求证：过圆内接四边形各边的中点向对边所作的 4 条垂线交于一点。 7.ABc 为锐角三角形， AH为 Bc边上的高，以 AH为直径的圆分别交 AB， Ac于 m， N； m， N 与 A 不同。过 A 作直线lA 垂直于 mN。类似地作出直线 lB 与 lc。证明：直线 lA，lB， lc共点。 8.以 ABc 的边 Bc， cA， AB 向外作正方形， A1， B1， c1 是正方形的边 Bc， cA， AB的对边的中点。求证：直线 AA1， BB1，cc1相交于一点。 9.过 ABc 的三边中点 D， E， F 向内切圆引切线，设所引的切线分别与 EF， FD， DE 交于 I， L， m。求证： I， L， m在一条直线上。 B 组 10.设 A1， B1， c1 是直线