正多边形的有关计算(二)

1 / 7 正多边形的有关计算 (二 ) m 教学目标： 1、复习正多边形的基本计算图，并会通过解一般直角三角形来完成正多边形的计算，解决实际应用问题； 2、通过正十边形的边长 a10 与半径 R 的关系的证明，学习边计算边推理的数学方法； 3、在基本计算图的基础上，能将同圆内接正 n 边形与外切正 n 边形的有关计算数据进行相互转化 4、在解应用题时，使学生学会把实际问题抽象为数学问题，把实物抽象为几何图形的抽象能力； 5、根据条件进行正确迅速计算的运算能力； 6、用代 数计算的结果作证明依据的综合、分析问题，解决问题的能力； 7、通过研究同圆内接正 n 边形与外切正 n 边形的关系，培养学生的观察能力 教学重点： (1)应用正多边形的基本计算图解决实际应用问题； (2)用 边形与外切正 n 边形已知条件与未知元素的相互转化 教学难点： 例 3 的证明 2 / 7 教学过程： 一、新课引入： 上节课我们根据正多边形的定义及其概念，运用将正多边形分割成三角形的方法，得到了化正多边形有关计算为解直角三角 形问题基本计算图，并应用基本计算图解决诸如正三角形、正方形、正六边形的有关计算问题，即解决了含特殊角的正多边形的有关计算问题，本节课我们继续研究正多边形的有关计算问题 正多边形的有关计算方法是基本的几何计算知识之一，掌握这些知识，一方面可以为学生进一步学习打好基础，另一方面，这些知识在生产和生活中常常会用到，掌握后对学生参加实践活动具有实用意义，为此本堂课讲解了几个正多边形有关计算的实例，借以培养学生用数学意识 二、新课讲解： 展示正多边形的一般计算图 7-144，提问以下问 题让学生回忆并作答： 1在 RtAoD 中，斜边 R 是正 n 边形的 _； (安排中下生回答：半径 ) 2直角边 rn 是正 n 边形的 _； (安排中下生回答：边心距 ) 3图中的 an 表示正多边形的什么？ (安排中下生回答：边3 / 7 长 ) 4图中的 an 表示正多边形的什么？ (安排中下生回答：中心角 ) 哪位同学记得解这类题的一般步骤？ (安排中下生回答：先画计算 度数是多少？ (安排中下生回答： 45) 分析完后，安排学生计算出结果 (幻灯给出应用题 )：在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形，测得这个正五边形的边长是 48cm，求它的半径 R和边心距 r5(精确到 ) 解：设正五边形为 ABcDE，它的中心为点 o，连接 oA，作oFAB ，垂足为 F， (问：这一步目的是什么？ )则 oA=R， oF=r5，AoF= ？ (安排学生回答： 36) r5=24ctg36=24(cm) 4 / 7 答：这个正多边形 的半径约为，边心距约为 正多边形的有关计算，在生产和生活中常常会用到，但将实际问题归结为正多边形的有关计算后，解题的步骤方法就依然如故了，本题拨禾轮问题与前题正方形的计算不是同出一辙吗？ 巩固练习：教材中 7，要用圆形铁片截出边长 a 的正方形铁片，选用的圆铁片的直径最小要多长？ 启发，提出下列问题： 1要截出边长为 a 的正方形铁片与选用的直径最小的圆铁片它们之间是什么关系？ (安排中等生回答：正方形是圆的内接正方形 )2这题实质是给出了正方形的什么元素，求什么元素？ (安排中下生回答：给出正方形边长求半径 ) 请同学们以最快的速度，求出答案 幻灯给出顶角 36 的等腰三角形，作如下启发思考的提问： 1如图 7-146，已知 ABc 中 AB=Ac， A=36 ，哪位同学知道 B 与 c 的度数？ (安排中下生回答 )2如果 BD 平分ABc 交 Ac于 D，你发现图形中与 Bc相等的线段有哪些？ (安排中下生回答 )3你发现图形中哪两个三角形相似？ (安排中等生回答 )4如果 Ac=a， Bc应是多少？怎么计算？ (安排学生讨论、研究 ) 5 / 7 (继续启发思考提问 )：大家观察证明中 Bc2=DEAc 这一步，因 Bc=AD，所以前等式变为 AD2=DcAc ，也就是说点 D 将线段 Ac 分为两部分，其中较长的线段 AD 是较小线段 cD 与全线段 Ac的比例中项，哪位同学记得点 D 应叫做线段 Ac的什么点？ (安排回忆起来的学生回答：黄金分割点 )由上面的证明我们知道 AD应是 Ac的黄金分割线段，由于 Bc与 AD相等，观察发现 Bc是顶角 36 角的等腰三角形的底， Ac 是这等腰三角形的腰？通过上面证明哪位同学能说一下你所得的结论？ (安排中上学生回答：顶角 36 角的等腰三角形的底边长是它腰长的黄金分割线段 )若腰长为 a 则底边长应是多少？ (安排中等生回答： 1哪位同学知道正十边形的中心角的度数是多少？ (安排中下生回答： 36)2 大家想想看，正十边形的夹 36 中心角的半径与边长组成一个什么图形？ (安排中等生回答：顶角36 的等腰三角形 )3如果一个正十边形的半径为 R，那么这个正十边形的边长 a10应该等于多少？ 幻灯供题：已知 o 的内接正六边形的边长为 2，求 o 的6 / 7 外切正三角形的边长 大家观察 o 的 半径 oc，它与内接正六边形 ABcDEF、外切正 mNP 有什么联系？ (安排中上学生回答： oc 是内接正六边形的半径，它又是外切正 mNP 的弦心距 )由于正六边形的边长等于半径，知边长为 2 即知 o 的半径 R=2，而半径 oc又是 o 外切 通过这题你发现连接圆内接正 n 边形与圆外切正多边形的桥梁是什么？ (安排中等学生回答：这个圆的半径 R)这 R 是内接正 n 边形的半径又是同圆外切正多边形的边心距，所以解这类题的关键在于根据已知条件首先求出 R，再将 R 转化求出未知元素 三、课堂小 结： 哪位同学能说一下，这堂课我们都学习了什么知识？ (安排上等生归纳 ) 1应用正多边形的有关计算解决实际问题 3明确了连接圆内接正 n 边形与